函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.兩點間的距離公式

兩點間的距離公式:

設(shè)有兩點4（xi,yi）,8（x2,”），則這兩點間的距離為AB=J（X[-X2）2+（丫[-丫2）2.

說明：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點間的距離可直接套用此公式.

2.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

3.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線y=fcv+b,（AWO,且k,匕為常數(shù)）

①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y—kx+b,即y=-日-6；

（關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k（-x）+h,即y=-近+方；

（關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-y^k（-%）+b,BPy^kx-b.

（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）

4.一次函數(shù)與一元一次不等式

（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)>=丘+6的值大于（或小于）0的自變量x的取值范

圍；

從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所

構(gòu)成的集合.

（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式質(zhì)+6>0（或<0）

對應(yīng)一次函數(shù)y=fcr+4它與x軸交點為（-2，0）.

k

當(dāng)%>0時，不等式去+〃>0的解為：不等式"+bVO的解為：xV

kk

當(dāng)k<0,不等式fcc+%>0的解為：xV衛(wèi)，不等式fcrHbVO的解為：x>上.

kk

5.一次函數(shù)與二元一次方程（組）

（1）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+h=O（a,

匕為常數(shù)，"W0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時,

求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)

值.

（2）二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系

元一次方程一次函數(shù)

f

表達(dá)式:ax*6y+c=0，士達(dá)代：y二-~?dA為0

DD

圖象卜的坐標(biāo)點im.n）./（.

方程的嫡:x=m.y=n

為橫型標(biāo).n為總坐標(biāo)

m.n表示實散（m.n）表示平面內(nèi)-外點

（3）一次函數(shù)和二元一次方程（組）的關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用：要準(zhǔn)確的將條件轉(zhuǎn)化為

二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義.

6.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

kn

（2）判斷正比例函數(shù)尸垢和反比例函數(shù)尸，■在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)為:

kn一

①當(dāng)k\與k?同號時，正比例函數(shù)y=k\x和反比例函數(shù)了=—馬在同一直角坐標(biāo)系中有2個交

x

點；

kn一

②當(dāng)kt與異號時，正比例函數(shù)丁=匕工和反比例函數(shù)y=-2在同一直角坐標(biāo)系中有0個交

x

點.

7.二次函數(shù)的圖象

（1）二次函數(shù)y=o?（aWO）的圖象的畫法：

①列表：先取原點（0,0）,然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線QWO）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

（2）二次函數(shù)ynqf+bx+c（aWO）的圖象

二次函數(shù)y=aj^+bx+c（a^O）的圖象看作由二次函數(shù)y—a）?的圖象向右或向左平移|-上|

2a

個單位，再向上或向下平移?%0）個單位得到的.

4a

8.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)丫=0?+法+，（a#0）的頂點坐標(biāo)是（-旦，4ac~b）,對稱軸直線X=--L,

2a4a2a

二次函數(shù)yuaf+fer+c（aWO）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)a>0時，拋物線y=or2+bx+c（々W0）的開口向上，x<-士-時，y隨x的增大而減??；

2a

x>一旦時，y隨X的增大而增大；》=一2時，y取得最小值比上，即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)aVO時?，拋物線y=o?+法+c（a20）的開口向下，x<時，y隨x的增大而增大；

2a

2

X>一旦時，y隨X的增大而減??；彳=一2時-，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線）=蘇+版+，（a￥0）的圖象可由拋物線的圖象向右或向左平移|一旦|個單

2a

位，再向上或向下平移I若33個單位得到的.

9.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

2

二次函數(shù)丫="2+公+0（aWO）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（-旦，4ac~b）.

2a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸X=-應(yīng)成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足

2a

函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.

②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.

③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（xi,0）,（m，0）,則其

對稱軸為x=X1二，2.

2

10.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故”不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

11.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)夕=0^+灰+。（a,b,c是常數(shù)，a#0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0,BPax^+bx+c

=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).

（1）二次函數(shù)juaf+foc+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程公?+公+。=0

根之間的關(guān)系.

△=信-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=層-4砒＞0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=y-4在=0時、拋物線與x軸有1個交點；

△=/-4acV0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-m）（a,b,c是常數(shù)，“WO）,可直接得到拋

物線與x軸的交點坐標(biāo)（XI,0）,（A2,0）.

12.二次函數(shù)與不等式（組）

二次函數(shù)＞=“/+辰+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）與不等式的關(guān)系

①函數(shù)值y與某個數(shù)值機(jī)之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得

自變量x的取值范圍.

②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點

直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解.

13.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

14.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀

化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

選擇題（共5小題）

1.（2021秋?莊河市期末）已知awO,函數(shù)y=or與y=-or2+a在同一直角坐標(biāo)系中的大

致圖象可能是（）

2.(2020秋?青島期末)如圖，函數(shù)曠=區(qū)+。依工0)與丫=生(s=0)的圖象交于點4(2,3),

X

3(-6,—1),則不等式履+6>%的解集為()

A.x<-6或0<x<2B.-6<x<0或x>2C.x>3或一l<x<0D.x>2

3.(2021秋?金安區(qū)期中)如圖，在矩形ABCD中，43=4,4)=8,點M從點8出發(fā),

以每秒1個單位的速度沿著A-。運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著CfOfAfB運動，其中一點到達(dá)終點，另一點也停止運動，設(shè)%MN=S，時間

為f(s),則S與r之間的函數(shù)圖象大致為()

4.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法，試運用這一思想方法確定函數(shù)y=x2+l與y=3的

X

交點的橫坐標(biāo)X。的取值范圍是()

A.0<x0<1B.1<x0<2C.2<x0<3D.-1<x0<0

5.如圖，直線y="+6交坐標(biāo)軸于A(-3,0)、3(0,5)兩點，則不等式―丘-的解集為(

二.填空題(共17小題)

6.(2020秋?張店區(qū)期末)如圖，直線y=or+6與x軸交于A點(4,0),與直線y=點交于8

點(2,〃)，則關(guān)于x的一元一次方程or+b=/nr的解為.

7.(2021秋?崇川區(qū)校級月考)如圖，若反比例函數(shù)y=&與一次函數(shù)%=奴+6的圖象交

X

k

于A(2,y)、8(-1,J?)兩點，則不等式分+匕>￡的解集為.

X

y

8.(2021秋?天長市月考)已知，在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)y=?2+法+，與一次函數(shù)

%=皿+"的圖象如圖，它們相交于點8(0,2),C(3,8),拋物線的頂點。(1,0),直線8C交

x軸于點A.

(1)當(dāng)時，x的取值范圍是.

(2)當(dāng)當(dāng)%時，x的取值范圍是—?

9.(2021秋?黔西南州期中)如圖，拋物線)，=/在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(橫坐標(biāo)、縱

坐標(biāo)都為整數(shù)的點)依次為4,4,4,…4，將拋物線y=*2沿直線/；y=x向上平移，

得到一系列拋物線，且滿足條件：①拋物線的頂點M2,例3,…，河”都在直線y=x

上；②拋物線依次經(jīng)過點4，AjA,..........A“，則頂點⑼的坐標(biāo)為.

10.(2021秋?宜州區(qū)期中)已知二次函數(shù)、=?2+法+。的圖象如圖所示，則方程

11.（2021秋?臺州期中）如圖，“心”形是由拋物線y=-Y+6和它繞著原點。，順時針旋

轉(zhuǎn)60。的圖形經(jīng)過取舍而成的，其中點C是頂點，點A,3是兩條拋物線的兩個交點，點E,

F,G是拋物線與坐標(biāo)軸的交點，則45=，F(xiàn)G=,CE=.（寫出其中兩個

12.（2021?福州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（m,2-機(jī)），點Q（〃,3）,則線段尸。的

n

長度的最小值是—.

13.（2021秋?江漢區(qū)校級月考）拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y<0時，x的取值范圍

是

14.（2021秋?姑蘇區(qū)期中）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C分別在y軸和x軸上,

AB//x軸，cosB=].點P從3點出發(fā)，以km/s的速度沿邊54勻速運動，點。從點A出

發(fā)，沿線段AO-OC-C8勻速運動.點P與點。同時出發(fā)，其中一點到達(dá)終點，另一點也

隨之停止運動.設(shè)點P運動的時間為"s）,ABPQ的面積為5匕田），已知S與f之間的函數(shù)

關(guān)系如圖②中的曲線段OE、線段EF與曲線段2.以下說法正確的是.（填序號）

①點。的運動速度為3m/s；

②點3的坐標(biāo)為（9,18）；

③線段切段的函數(shù)解析式為S=-t；

2

④曲線FG段的函數(shù)解析式為S=-2/+9f：

10

⑤若NBPQ的面積是四邊形OABC的面積的1,則時間r=&或，=身士普.

圖①圖②

15.（2021春?花都區(qū)期末）已知一次函數(shù)y=+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式

依+6..1的解集為.

16.（2021?阜寧縣二模）已知一次函數(shù)y=Ax+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式

2乙-。＜0的解集為?

y

17.（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，若直線y="+b經(jīng)過A,B兩點,直線y=而經(jīng)過

A點，則關(guān)于x的不等式+的解集是

18.（2020?浙江自主招生）如圖，拋物線y=gf-7x+T與x軸交于點A,B,把拋物線

在x軸及其下方的部分記作G，將向左平移得C2，Q與x軸交于點8,D.若直線

y=gx+機(jī)與G，C?共有3個不同的交點，則機(jī)的取值范圍是.

19.（2021秋?揭東區(qū)期末）如圖，直線《：y=x+2與直線4：y="+。相交于點P（m,4）,

則方程組：的解是—.

[y=KX-^b

20.（2021秋?青島期末）如圖，一次函數(shù)》=依+力與y=x+2的圖象相交于點尸（九4）,則

方程組卜=：+：的解是

[y=kx+b

21.（2021春?營口期末）如圖，直線x=x+b與％=丘-1相交于點P，則關(guān)于x的不等式

22.（2021春?雨花區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y="和y=-x+Z>的圖象，如

圖所示，則不等式6<-x+6的解集為—.

23.（2021?和平區(qū)一模）如圖，拋物線卜=加+法-或，交y軸于點A,交x軸于8（-1,0）,

C（5,0）兩點，拋物線的頂點為。，連接AC,CD.

（1）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點。的坐標(biāo)；

（3）過點。作x軸的垂線交AC于點G,點，為線段CD上一動點，連接G”，將ADGH沿

G”翻折到AGH/?（點A,點G分別位于直線8的兩側(cè)），GR交CD于■點、K,當(dāng)AG//K為

直角三角形時.

①請直接寫出線段"K的長為；

②將此RtAGHK繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為以0。<&<180。），得到若直線MN

分別與直線8,直線OG交于點P,Q,當(dāng)ADP。是以PQ為腰的等腰三角形時，請直接

寫出點P的縱坐標(biāo)為

這個函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探究，以下是他的研究過程，請補(bǔ)充完整:

（1）列表:

.V—2.-2-1.ST8：5-1.7-1.3<)-1.0^>-0.7(5-0.600.60.7L051.31.71.81.922.1

1695

V3.720.60-1.2()-2.0-1.2()00.63m0.60-1.2()-2.C-1.2()00.6n3.7

23332

其中機(jī)=；n=；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，描出了表中各組對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，根據(jù)描出的點，

畫出該函數(shù)的圖象；

（3）觀察函數(shù)圖象，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)；

（4）進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：

①方程4/+2=0有個互不相等的實數(shù)根；

②有兩個點（占，y）和（々，必）在此函數(shù)圖象上，當(dāng)當(dāng)>%>2時，比較y和力的大小關(guān)系

為:%—為（填或"="）:

③根據(jù)。的取值范圍判斷關(guān)于x的方程/-4/+2=。實數(shù)根情況.

25.(2021秋?沐陽縣校級月考)如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象過點4-1,0)、點

8(0,3).

(1)該二次函數(shù)的頂點是一；

(2)點C為點3關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，直線y=/nr+〃經(jīng)過A、C兩點，滿足

or2+fec+c>/nx+〃的x的取值范圍是.

(3)在對稱軸上找一點M,使|M4-MC|取得最大值，求出此時M的坐標(biāo).

26.(2021秋?惠城區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y="2+6x+c與x軸交于點

A(-l,0)和點B,與y軸交于點C,頂點。的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)求出拋物線的解析式；

(2)如圖1.若點P在拋物線上且滿足=求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2.M是直線8c上一個動點，過點M作軸交拋物線于點N,。是直線AC

上一個動點，當(dāng)AQMV為等腰直角三角形時，直接寫出此時點用的坐標(biāo).

圖1

27.(2020秋?勃利縣期末)如圖，拋物線y=x?+拉—支與x軸交于A(-l,0),8(3,0)兩點,

直線/與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標(biāo)為2.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式.

(2)點”是線段AC上的點(不與A,C重合)過〃作MF〃y軸交拋物線于F,若點M

的橫坐標(biāo)為機(jī)，請用含加的代數(shù)式表示9的長.

28.(2021秋?溫州校級期中)如圖，拋物線丫=3k2-6-4交x軸于點A,C,交y軸于

點B>AC=6.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為x軸上一動點，將線段依繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PD.當(dāng)點。在拋物

線上時，求點P的坐標(biāo).

函數(shù)圖象中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.兩點間的距離公式

兩點間的距離公式：

設(shè)有兩點A（xi,yi）,B（必”），則這兩點間的距離為AB=J（X[-*2）2+（y1-丫2）2

說明：求直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點間的距離可直接套用此公式.

2.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

3.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線（kWO,且匕匕為常數(shù)）

①關(guān)于x軸對稱，就是無不變，y變成-y：-y=kx+b,即y=-日-b；

（關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k（-x）+b,即y=-近+方；

（關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）

③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-y=A（-x）+6,即>=丘-江

（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）

4.一次函數(shù)與一元一次不等式

（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=Ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范

圍；

從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線產(chǎn)=區(qū)+匕在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所

構(gòu)成的集合.

（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式心:+6>0（或<0）

對應(yīng)一次函數(shù)y=fcr+4它與x軸交點為（-2，0）.

k

當(dāng)&>0時，不等式去+〃>0的解為：x>-A,不等式履+〃V0的解為：xV衛(wèi)；

kk

當(dāng)％<0,不等式五+匕>0的解為：x<_A,不等式依+6V0的解為：x>上.

kk

5.一次函數(shù)與二元一次方程（組）

（1）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+h=0（a,

b為常數(shù)，aWO）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為0時,

求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線確定它與x軸交點的橫坐標(biāo)

值.

（2）二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系

元一次方程一次函數(shù)

?衣達(dá)式:ax+dy+c=O喪.達(dá)代：y~~二x-二fb7'^0)

-bb

圖象卜的坐標(biāo)點n）.〃

方觀的解:x=m,y=n

為橫坐標(biāo),n為總坐標(biāo)

m,n*.云實教（m.n）表示平面內(nèi)-八點

（3）一次函數(shù)和二元一次方程（組）的關(guān)系在實際問題中的應(yīng)用：要準(zhǔn)確的將條件轉(zhuǎn)化為

二元一次方程（組），注意自變量取值范圍要符合實際意義.

6.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數(shù)〉=%》和反比例函數(shù)y="在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)為:

X

①當(dāng)心與心同號時，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)>="在同一直角坐標(biāo)系中有2個交

X

點；

②當(dāng)kt與&2異號時，正比例函數(shù)y=%x和反比例函數(shù)）?=也■在同一直角坐標(biāo)系中有0個交

x

點.

7.二次函數(shù)的圖象

（1）二次函數(shù)y=o?（a#0）的圖象的畫法：

①列表：先取原點（0,0）,然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序用

平滑的曲線連接起來.畫拋物線(。#0)的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)y=o?+6x+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)y=aP+6x+c(“W0)的圖象看作由二次函數(shù)y=o?的圖象向右或向左平移|也|個

2a

單位，再向上或向下平移居生出1個單位得到的.

4a

8.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)y-a^+bx+c(aWO)的頂點坐標(biāo)是(-紅，4ac-b),對稱軸直線尸-也,

2a4a2a

二次函數(shù)丁=。/+公+。(々NO)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)”>0時，拋物線、=??+/>+，(“#())的開口向上，x<-也時，y隨X的增大而減小；

2a

2

X>-旦時，y隨X的增大而增大；x=-旦時，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當(dāng)aV0時，拋物線y=a?+6x+c(aW0)的開口向下，xV-也時，y隨x的增大而增大；

2a

2

X>-2時，y隨X的增大而減??；x=-旦時，y取得最大值%￡也_,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線>=取2+瓜+。QW0)的圖象可由拋物線)=0?的圖象向右或向左平移也?個單

2a

位，再向上或向下平移居空匕I個單位得到的.

4a

9.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

2

二次函數(shù)y=/+〃x+c(aWO)的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是(-M,4ac-b,).

2a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸x=-互成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足

2a

函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點是拋物線的最高點或最低點.

②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.

③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是(XI,0),(X2,0),則其

對稱軸為x=—_—.

2

10.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故4不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

11.拋物線與X軸的交點

求二次函數(shù)yuG?+fov+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0,即

=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).

(1)二次函數(shù)(a,b,c是常數(shù)，a^O)的交點與一元二次方程a^+bx+cuO

根之間的關(guān)系.

△=啟-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=層-4%>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=廿-4改=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=房-4改<0時，拋物線與x軸沒有交點.

(2)二次函數(shù)的交點式：y—a(x-xi)(x-%2)(a,b,c是常數(shù)，aWO),可直接得到拋

物線與x軸的交點坐標(biāo)(xi,0),(%2,0).

12.二次函數(shù)與不等式(組)

二次函數(shù)juaf+fcv+c(a、b、c是常數(shù)，“聲0)與不等式的關(guān)系

①函數(shù)值y與某個數(shù)值機(jī)之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得

自變量x的取值范圍.

②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點

直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解.

13.二次函數(shù)綜合題

(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

14.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀

化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系:(2)函

數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；(3)線與方程的對應(yīng)關(guān)系;(4)所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中,在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

選擇題(共5小題)

1.(2021秋?莊河市期末)已知awO,函數(shù)y=?r與丫=-以2+4在同一直角坐標(biāo)系中的大

C.D.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)

【分析】分a>0和“<0兩種情況分類討論即可確定正確的選項.

【解答】解：當(dāng)a>0時，函數(shù)y=的圖象位于一、三象限，y=—以2+。的開口向下，交

y軸于正半軸，A選項符合；

當(dāng)a<0時，函數(shù)y=ar的圖象位于二、四象限，>=-01?+a的開口向上，交y軸于負(fù)半軸，

沒有符合的選項.

故選：A.

【點評】本題考查了正比例函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的圖象的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例系

數(shù)的符號確定其圖象的位置，難度不大.

2.（2020秋?青島期末）如圖，函數(shù)曠="+伙發(fā)*0）與丫='（.片0）的圖象交于點4（2,3）,

X

A.x<-6或0cx<2B?-6<x<0或x>2C.x>3或一1cxvOD.x>2

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】不等式入+方>'的解集，在圖象上即為一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方

X

時的自變量的取值范圍.

【解答】解：?函數(shù)y="+匕（弁w0）與y='（加*0）的圖象相交于點A（2,3）,B（-6,-l）?

x

.?.不等式米+人>生的解集為：x>2或-6<x<0,

x

故選：B.

【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用.

3.（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形鉆8中，AB=4,AQ=8,點M從點5出發(fā),

以每秒1個單位的速度沿著5fAfO運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著CfOfA—8運動，其中一點到達(dá)終點,另一點也停止運動，設(shè)時間

為r(s),則S與f之間的函數(shù)圖象大致為()

【考點】動點問題的函數(shù)圖象

【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①2,②2<f<4,③4麴16,

@6</?8；依據(jù)/的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致

圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：①當(dāng)旗力2H寸，此時，點M在4?上，點N在CD上,

由題意得：CN=2t,

:,DN=CD-CN=4-2t.

S=-DN-AD=-x(4-2t)xS=\6-8t.

22

?.?畫2,

此時函數(shù)的圖象是以(0,16)和(2,0)為端點的線段；

②當(dāng)2<f<4時，此時點M在A3上，點N在上，如圖,

由題意得：DN=2t-4,MB=t.

:.AM=AB-BM=4-t,

11,

.■.S=-￡)7V-AA/=-(2r-4)(4-r)=-r2+6r-8=-(f-3)2+l.

22

.?.此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線f=3的拋物線的一段；

③當(dāng)4蒯6時，此時點M,N均在線段45上，

此時s=0,函數(shù)圖象為x軸上以(4,0)和(6,0)為端點的線段；

④當(dāng)6<f,,8時，此時點M在線段AO上，點N在線段AB上，如圖,

由題意得：A/V=2^—12,M=t—4.

：.DM^AD-AM-12-t.

:.S=-DM-AN=-(l2-t)(2t-12)=-t2+18t-12.

22

6<8,

.?.當(dāng)f=8時，S=8.

.?.此時的函數(shù)的圖象是拋物線5=-r+18/-72上以(6,0)和(8,8)為端點的一段.

綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為3,

故選：B.

【點評】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析

式是解題的關(guān)鍵.

4.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中常用的思想方法，試運用這一思想方法確定函數(shù)y=f+l與y=3的

X

交點的橫坐標(biāo)X。的取值范圍是()

A.0<x0<1B.1<<2C.2<x0<3D.—1<<0

【考點】反比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作出函數(shù)y=f+l與y=3的圖象，即可

得解.

【解答】解：如圖，函數(shù)y=x?+l與y=3的交點在第一象限，橫坐標(biāo)與的取值范圍是

X

]<x0<2,

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，準(zhǔn)確畫出大致函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，

此類題目利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡便.

5.如圖，直線>=履+6交坐標(biāo)軸于A(-3,0)、3(0,5)兩點，則不等式-丘-。<()的解集為(

A.x>-3B.x<-3C.x>3D.x<3

【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式

【分析】首先根據(jù)不等式的性質(zhì)知，不等式-6-6<0的解集即為不等式a+人>0的解集,

然后由一次函數(shù)的圖象可知，直線y=+6落在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值，即為不

等式6+6>0的解集，從而得出結(jié)果.

【解答】解：觀察圖象可知，當(dāng)x>-3時，直線>=履+。落在x軸的上方，

即不等式丘+/?>()的解集為x>-3.

?：-kx-b<G

:.kx+b>Q，

—kx—b<0解集為x>—3.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與不等式(組)的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.解決此類問題

關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點（交點、原點等），做到數(shù)形結(jié)合.

二.填空題（共17小題）

6.（2020秋?張店區(qū)期末）如圖，直線y=or+b與x軸交于A點（4,0）,與直線y=,nr交于3

點（2,〃），則關(guān)于x的一元一次方程ot+b=〃ir的解為_x=2_.

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程；一次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】由圖象可知直線y=or+b與直線y=/nr的交點是8（2,〃），則可求方程的解.

【解答】解：3（2,〃）是直線y=奴+》與直線y=?u?的交點，

一元一次方程以+b=/nr的解為x=2,

故答案為：x=2.

【點評】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，數(shù)

形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

7.（2021秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，若反比例函數(shù)％=4與一次函數(shù)以=數(shù)+6的圖象交

X

k

于A（2，x）、8（-1,丫2）兩點，則不等式+—的解集為_T<x<0或x>2_.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)，即可得出不等

式的解集.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)-2<x<0或x>l時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖

象的下方,

則不等式以+匕>4的解集是—l<x<0或x>2.

X

故答案為：一l<x<0或x>2.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)圖象的上

下位置關(guān)系解不等式.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)兩函數(shù)圖象的

上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)得出不等式的解集是關(guān)鍵.

8.(2021秋?天長市月考)已知，在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)y=0^2+6x+c與一次函數(shù)

%=，火+〃的圖象如圖，它們相交于點3(0,2),C(3,8),拋物線的頂點￡>(1,0),直線交

x軸于點A.

(1)當(dāng)yvy2時，x的取值范圍是_0<x<3_.

【考點】二次函數(shù)與不等式(組)；拋物線與x軸的交點

【分析】(1)觀察圖象，即可得出答案；

(2)先求出點A的坐標(biāo)，再結(jié)合圖象，即可得出答案.

【解答】解：(1),在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)％=加+6x+c與一次函數(shù)必=,nx+"的圖象

如圖，它們相交于點3(0,2),C(3,8),

.?.當(dāng)yvy?時，x的取值范圍是0<x<3,

故答案為：0<x<3.

(2)?.?一次函數(shù)必=皿+〃的圖象經(jīng)過點3(0,2),C(3,8),

(fl=1,

+〃=4

y2=x+\

當(dāng)y=0時，x+l=O,

解得：x=—1,

.i.A(—1,0),

?.?y%>0，

必，必異號，

?.,在同一坐標(biāo)系中二次函數(shù)必=oy2+/“+c與一次函數(shù)%=〃a+〃的圖象相交于點8(0,2),

C(3,8),拋物線的頂點0(1,0),直線BC交x軸于點A(-l,0),

.,.當(dāng)X%>0時，X的取值范圍是X>-1且.

故答案為：x>—I且XH1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)圖象和

性質(zhì)，學(xué)會觀察圖象，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵.

9.(2021秋?黔西南州期中)如圖，拋物線y=x?在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(橫坐標(biāo)、縱

坐標(biāo)都為整數(shù)的點)依次為A,4,…A“，將拋物線y=x?沿直線/；y=x向上平移，

得到一系列拋物線，且滿足條件：①拋物線的頂點M2,…，都在直線y=x

上；②拋物線依次經(jīng)過點A，4,4，…，A,,,則頂點〃2021的坐標(biāo)為—(4041,4041)—.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象與兒何變

換；規(guī)律型：點的坐標(biāo)；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】根據(jù)拋物線的解析式結(jié)合整數(shù)點的定義，找出點4