高等數(shù)學(xué)(微積分)課件--64定積分的應(yīng)用匯報(bào)人：AA2024-01-25CATALOGUE目錄定積分基本概念與性質(zhì)微元法及其在幾何問題中應(yīng)用物理問題中定積分應(yīng)用舉例經(jīng)濟(jì)問題中定積分應(yīng)用舉例數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析拓展內(nèi)容：廣義定積分簡介01定積分基本概念與性質(zhì)定積分的定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上有界，且$a=x_0<x1<\cdots<x{n-1}<x_n=b$，是$[a,b]$的一個分劃，$\Deltax_i=xi-x{i-1}$，$\lambda=\max_{1\leqi\leqn}{\Deltax_i}$，若存在數(shù)$I$，對任意的$\epsilon>0$，總存在某個正數(shù)$\delta$，使得對任意的分劃和任意點(diǎn)集${c_i}$，當(dāng)$\lambda<\delta$時(shí)，有定積分定義及幾何意義$left|sum_{i=1}^{n}f(c_i)Deltax_i-Iright|<epsilon$則稱$f(x)$在$[a,b]$上可積，且稱$I$為$f(x)$在$[a,b]$上的定積分，記作定積分定義及幾何意義$int_{a}^f(x)dx=I定積分定義及幾何意義$定積分的幾何意義：定積分$int_{a}^f(x)dx$的幾何意義是曲線$y=f(x)$與直線$x=a$，$x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積（當(dāng)$f(x)geq0$時(shí)）或面積的代數(shù)和（當(dāng)$f(x)$在$[a,b]$上有正有負(fù)時(shí)）。定積分定義及幾何意義定積分性質(zhì)與運(yùn)算法則定積分的性質(zhì)定積分具有線性性、可加性、保號性、絕對值不等式、估值定理等性質(zhì)。定積分的運(yùn)算法則定積分的運(yùn)算法則包括和的積分等于積分的和、常數(shù)因子可以提到積分號外、積分的線性性質(zhì)等。可積條件與不可積函數(shù)類型函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分必要條件是$f(x)$在$[a,b]$上有界且只有有限個間斷點(diǎn)。可積條件在區(qū)間$[a,b]$上無界的函數(shù)是不可積的；在區(qū)間$[a,b]$上有界但存在無限個間斷點(diǎn)的函數(shù)也是不可積的。不可積函數(shù)類型02微元法及其在幾何問題中應(yīng)用VS通過分割、近似、求和、取極限四個步驟，將曲邊梯形面積轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算。極坐標(biāo)情形利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式，將極坐標(biāo)系下的平面圖形面積轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算。直角坐標(biāo)情形平面圖形面積計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積通過微元法將旋轉(zhuǎn)體體積轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，其中旋轉(zhuǎn)體由連續(xù)曲線繞固定軸旋轉(zhuǎn)而成。平行截面面積為已知的立體體積當(dāng)立體被平行于底面的平面所截時(shí)，若截面面積已知，則可用微元法求出立體體積。空間立體體積計(jì)算通過微元法將曲線弧長轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算，其中曲線由直角坐標(biāo)方程給出。當(dāng)曲線由參數(shù)方程給出時(shí)，可用微元法求出曲線弧長對應(yīng)的定積分表達(dá)式。曲線弧長計(jì)算參數(shù)方程情形直角坐標(biāo)情形03物理問題中定積分應(yīng)用舉例$W=int_{a}^F(x)dx$，其中$F(x)$是變力函數(shù)，$a$和$b$是位移的起始和終止位置。求解彈簧在拉伸過程中變力所做的功，可以通過對彈簧的彈力函數(shù)進(jìn)行定積分得到。變力做功公式應(yīng)用舉例變力做功問題求解$P=int_{a}^rhogh(x)dx$，其中$rho$是液體密度，$g$是重力加速度，$h(x)$是液體深度函數(shù)，$a$和$b$是液體所在區(qū)域的起始和終止位置。液體靜壓力公式求解水壩或水池底部所受液體靜壓力，可以通過對液體深度函數(shù)進(jìn)行定積分得到。應(yīng)用舉例液體靜壓力問題求解電荷量計(jì)算01$Q=int_{a}^lambda(x)dx$，其中$lambda(x)$是電荷線密度函數(shù)，$a$和$b$是電荷分布的起始和終止位置。磁通量計(jì)算02$Phi=int_{S}vec{B}cdotdvec{S}$，其中$vec{B}$是磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，$dvec{S}$是面積微元矢量，$S$是磁場穿過的曲面。應(yīng)用舉例03求解導(dǎo)線上的總電荷量或磁場穿過某個曲面的磁通量，可以通過對相應(yīng)的物理量進(jìn)行定積分得到。其他物理量如電荷量、磁通量等計(jì)算04經(jīng)濟(jì)問題中定積分應(yīng)用舉例邊際函數(shù)定義邊際函數(shù)描述了一個經(jīng)濟(jì)量相對于另一個經(jīng)濟(jì)量的瞬時(shí)變化率。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常見的邊際函數(shù)有邊際成本、邊際收益、邊際效用等。定積分求原函數(shù)通過定積分，我們可以由邊際函數(shù)求出原經(jīng)濟(jì)函數(shù)。具體步驟包括確定積分上下限、選擇合適的積分公式進(jìn)行積分、最終得到原經(jīng)濟(jì)函數(shù)的表達(dá)式。舉例假設(shè)某企業(yè)的邊際成本函數(shù)為MC(q)=3q^2+4q+5（其中q為產(chǎn)量），我們可以通過定積分求出總成本函數(shù)TC(q)。010203由邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)最優(yōu)決策條件在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，最優(yōu)決策通常是指在給定約束條件下，使得某個經(jīng)濟(jì)目標(biāo)（如利潤、效用等）達(dá)到最大或最小的決策。邊際分析是求解最優(yōu)決策的一種常用方法。邊際相等原則在求解最優(yōu)決策時(shí)，通常需要使得邊際收益等于邊際成本，或者使得邊際效用等于邊際支出。這一原則被稱為邊際相等原則。舉例假設(shè)某企業(yè)的邊際收益函數(shù)為MR(q)=6q+8，邊際成本函數(shù)為MC(q)=3q^2+4q+5。我們可以通過令MR(q)=MC(q)求解最優(yōu)產(chǎn)量q*。由邊際函數(shù)求最優(yōu)經(jīng)濟(jì)決策金融學(xué)應(yīng)用在金融學(xué)中，定積分可以用于計(jì)算復(fù)利、連續(xù)復(fù)利等問題。例如，通過定積分可以求出在連續(xù)復(fù)利條件下，未來某一時(shí)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)值。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，定積分可以用于計(jì)算概率密度函數(shù)的累積分布函數(shù)（CDF）。通過CDF，我們可以了解隨機(jī)變量的分布情況，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)工作。除了金融學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)外，定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有諸多其他應(yīng)用，如計(jì)算消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余、求解一般均衡等。這些應(yīng)用都體現(xiàn)了定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要性和實(shí)用性。統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用其他應(yīng)用其他經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域如金融學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等應(yīng)用05數(shù)值計(jì)算方法與誤差分析矩形法將積分區(qū)間劃分為若干個小矩形，每個小矩形的面積近似等于該區(qū)間上被積函數(shù)的值與小矩形寬度的乘積，將所有小矩形的面積相加得到定積分的近似值。矩形法計(jì)算簡單，但精度較低。梯形法將積分區(qū)間劃分為若干個小梯形，每個小梯形的面積近似等于該區(qū)間上被積函數(shù)的平均值與小梯形寬度的乘積，將所有小梯形的面積相加得到定積分的近似值。梯形法精度高于矩形法。辛普森法在積分區(qū)間內(nèi)選取若干個點(diǎn)，利用這些點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造一個多項(xiàng)式來逼近被積函數(shù)，然后對該多項(xiàng)式進(jìn)行積分得到定積分的近似值。辛普森法精度較高，但需要計(jì)算更多的函數(shù)值。矩形法、梯形法和辛普森法比較復(fù)合求積公式為了提高數(shù)值積分的精度，可以采用復(fù)合求積公式。其基本思想是將積分區(qū)間劃分為若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上應(yīng)用低階的求積公式（如矩形法、梯形法），然后將各個子區(qū)間的結(jié)果相加得到整個積分區(qū)間的近似值。要點(diǎn)一要點(diǎn)二收斂性討論對于復(fù)合求積公式，當(dāng)子區(qū)間的劃分越來越細(xì)時(shí)，其近似值將逐漸逼近真實(shí)值。收斂性定理給出了復(fù)合求積公式收斂的充分條件，即當(dāng)子區(qū)間長度趨于零時(shí)，復(fù)合求積公式的誤差將趨于零。復(fù)合求積公式及其收斂性討論誤差估計(jì)在數(shù)值計(jì)算中，誤差是不可避免的。對于數(shù)值積分方法，可以通過比較不同方法或不同步長下的計(jì)算結(jié)果來估計(jì)誤差的大小。此外，還可以利用已知的精確解或高精度數(shù)值解來評估數(shù)值方法的誤差。精度提高策略為了提高數(shù)值積分的精度，可以采取以下策略：增加子區(qū)間的劃分?jǐn)?shù)量；選擇更高階的求積公式；采用自適應(yīng)步長選擇方法；結(jié)合使用多種數(shù)值方法以獲得更精確的結(jié)果。誤差估計(jì)和精度提高策略06拓展內(nèi)容：廣義定積分簡介定義設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上除一個內(nèi)部點(diǎn)$c$外連續(xù)，在$c$點(diǎn)鄰域內(nèi)無界。若兩個定積分$int_{a}^{c}f(x)dx$與$int_{c}^f(x)dx$均存在，則稱$int_{a}^f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^f(x)dx$為$f(x)$在$[a,b]$上的廣義定積分。性質(zhì)無界函數(shù)上的廣義定積分具有線性性、可加性和保號性。無界函數(shù)上廣義定積分定義及性質(zhì)設(shè)$f(x)$在$[a,+infty)$上連續(xù)，若極限$lim_{bto+infty}int_{a}^f(x)dx$存在，則稱此極限為$f(x)$在$[a,+infty)$上的廣義定積分，記作$int_{a}^{+infty}f(x)dx$。定義無界區(qū)間上的廣義定積分同樣具有線性性、可加性和保號性。此外，若$f(x)$在$[a,+infty)$上非負(fù)且廣義定積分存在，則$int_{a}^{+infty}f(x)dx$收斂。性質(zhì)無界區(qū)間上廣義定積分定義及性質(zhì)廣義定積分在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例物理應(yīng)用在求解某些物理問題時(shí)，如質(zhì)點(diǎn)在有界區(qū)間上的運(yùn)動，其速度或加速度函數(shù)可能具有無界性。此時(shí)