廣西貴港市覃塘高級(jí)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上且在第四象限，為左頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則面積的最大值為()A． B． C． D．2．在中，，，，點(diǎn)滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．73．在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．4．（）A．5 B． C．6 D．5．下列命題中正確的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是6．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．7．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A． B． C． D．8．設(shè)全集，，集合，則集合（）A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的等差，且成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．10．已知下列說法：①對(duì)于線性回歸方程，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位；②甲、乙兩個(gè)模型的分別為0.98和0.80，則模型甲的擬合效果更好；③對(duì)分類變量X與Y，隨機(jī)變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大；④兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1．其中說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函數(shù)f(x)=(2x-1)ex+ax2-3a（A．[-2e,+∞) B．-3212．若函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有，則函數(shù)可能是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列{an}滿足，若{an}單調(diào)遞增，則首項(xiàng)a1的范圍是_____．14．袋中裝有10個(gè)形狀大小均相同的小球，其中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球.從中不放回地依次摸出2個(gè)球，記事件“第一次摸出的是紅球”，事件“第二次摸出的是白球”，則______.15．已知直線（，是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有__________條（用數(shù)字作答）.16．若復(fù)數(shù)()為純虛數(shù)，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．求：（1）圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）圓C的極坐標(biāo)方程．19．（12分）已知的展開式中第三項(xiàng)與第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之比為．（1）求；（2）請(qǐng)答出展開式中第幾項(xiàng)是有理項(xiàng)，并寫出推演步驟（有理項(xiàng)就是的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）．20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系中，弧所在圓的圓心分別為，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出的極坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，若直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.22．（10分）用適當(dāng)方法證明：已知：，，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

若設(shè)，其中，則，求出直線，的方程，從而可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示的面積，設(shè)出點(diǎn)處的切線方程，與橢圓方程聯(lián)立成方程組，消元后判別式等于零，求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.【題目詳解】解：由題意得，設(shè)，其中，則，所以直線為，直線為，可得，所以，所以，設(shè)處的切線方程為由，得，，解得，此時(shí)方程組的解為，即點(diǎn)時(shí)，面積取最大值故選：C【題目點(diǎn)撥】此題考查了橢圓的性質(zhì)，三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.2、D【解題分析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【題目詳解】在中，，，，點(diǎn)滿足，可得則==【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量．3、C【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

由題，先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接求出結(jié)果即可【題目詳解】由題故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】因?yàn)锳.的最小值是2，只有x>0成立。B.的最小值是2，取不到最小值。C.的最大值是，成立D.的最小值是，不成立。故選C6、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),所以當(dāng)曲線在點(diǎn)P的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最小，直線的斜率為1，由，解得或（舍）.所以曲線與直線的切點(diǎn)為.點(diǎn)到直線的距離最小值是.選C.8、B【解題分析】由題得,,所以,,故選B.9、B【解題分析】

由題意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和，從而可得，換元，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．【題目詳解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比數(shù)列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，則t2≥6﹣2＝1當(dāng)且僅當(dāng)t＝3，即n＝2時(shí)，∴的最小值為1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查基本不等式，屬于中檔題．10、B【解題分析】

根據(jù)回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)結(jié)論來對(duì)題中幾個(gè)命題的真假進(jìn)行判斷?！绢}目詳解】對(duì)于命題①，對(duì)于回歸直線，變量增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，命題①錯(cuò)誤；對(duì)于命題②，相關(guān)指數(shù)越大，擬合效果越好，則模型甲的擬合效果更好，命題②正確；對(duì)于命題③，對(duì)分類變量與，隨機(jī)變量的觀測值越大，根據(jù)臨界值表，則犯錯(cuò)誤的概率就越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越高，命題③正確；對(duì)于命題④，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系的絕對(duì)值越接近于，命題④錯(cuò)誤.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)相關(guān)概念的理解，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握情況，屬于基礎(chǔ)題。11、A【解題分析】

把函數(shù)f(x)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，得到a≥-(2x+1)ex2x【題目詳解】由題意，函數(shù)f(x)=(2x-1)e則f'(x)=2ex+(2x-1)設(shè)g(x)=則g令g'(x)>0，得到0<x<12，則函數(shù)g(x)在0,1即a的取值范圍是[-2e故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）求解參數(shù)問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到a≥-(2x+1)e12、A【解題分析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【題目詳解】對(duì)于，，對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)．對(duì)于，，不對(duì)，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的解析式的性質(zhì)以及指數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算、兩角和的正弦公式，意在考查對(duì)基本運(yùn)算與基本公式的掌握與應(yīng)用，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解題分析】

先表示出，結(jié)合{an}單調(diào)遞增可求首項(xiàng)a1的范圍.【題目詳解】因?yàn)椋?，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性一般通過相鄰兩項(xiàng)差的符號(hào)來確定，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解題分析】

首先第一次摸出紅球?yàn)槭录?，第二次摸出白球?yàn)槭录?，分別求出，利用條件概率公式，即可求解．【題目詳解】由題意，事件A“第一次摸到紅球”的概率為：，又由“第一次摸到紅球且第二次摸到白球”的概率為，根據(jù)條件概率公式，可得，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了概率的計(jì)算方法，主要是考查了條件概率與獨(dú)立事件的理解，屬于中檔題．看準(zhǔn)確事件之間的聯(lián)系，正確運(yùn)用公式，是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．15、60【解題分析】

直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點(diǎn)，考查圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合排列組合知識(shí)分類解答即可得到答案.【題目詳解】可知直線的截距存在且不為0，即與坐標(biāo)軸不垂直，不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的公共點(diǎn)共有12個(gè)點(diǎn)，分別為：，，，，,,前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直x軸，有4條垂直于y軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱性），滿足題設(shè)的直線有52條，綜上可知滿足題設(shè)的直線共有52+8=60條，故答案為60.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合知識(shí)，解決此類問題一定要做到不重不漏，意在考查學(xué)生的分析能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大.16、0【解題分析】試題分析：由題意得，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，（舍去），所以.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是【解題分析】

（Ⅰ）若要小球落入4號(hào)容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，根據(jù)二項(xiàng)分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，算出對(duì)應(yīng)事件概率，利用離散型隨機(jī)變量分布列數(shù)學(xué)期望的公式可求得結(jié)果.【題目詳解】解：（Ⅰ）記“小球落入4號(hào)容器”為事件，若要小球落入4號(hào)容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號(hào)容器的概率.（Ⅱ）落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列為：0123∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，較基礎(chǔ).18、（1）．（2）．【解題分析】試題分析：利用消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程，再利用公式可把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.試題解析：（1）圓的直角坐標(biāo)方程為．5分（2）把代入上述方程，得圓的極坐標(biāo)方程為．10分考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化，普通方程與極坐標(biāo)方程的互化.19、（1）（2）有理項(xiàng)是展開式的第1，3，5，7項(xiàng)，詳見解析【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式中的二項(xiàng)式系數(shù)求出，再由通項(xiàng)求出有理項(xiàng).【題目詳解】解：（1）由題設(shè)知，解得.（2）∵，∴展開式通項(xiàng)，∵且，∴只有時(shí)，為有理項(xiàng)，∴有理項(xiàng)是展開式的第1，3，5，7項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式的展開式的特定項(xiàng)系數(shù)和特定項(xiàng)，屬于中檔題.20、（1）；；；，或（2），【解題分析】

（1）設(shè)弧上任意一點(diǎn)根據(jù)ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點(diǎn)相切，其半徑為1，求得，同理求得其他弧所對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程.（2）把直線的參數(shù)方程和的極坐標(biāo)方程都化為直角坐標(biāo)方程，利用數(shù)形結(jié)合求解，把直線的參數(shù)方程化為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，再利用參數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】（1）如圖所示：設(shè)弧上任意一點(diǎn)因?yàn)锳BCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點(diǎn)相切，其半徑為1，所以所以的極坐標(biāo)方程為；同理可得：的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為；的極坐標(biāo)方程為，或（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為所以消去t得，過定點(diǎn)，直角坐標(biāo)方程為如圖所示：因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以因?yàn)橹本€的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為，代入直角坐標(biāo)方程得令所以所以所以的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查極坐標(biāo)方程的求法和直線與曲線的交點(diǎn)以及直線參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.21、（1），（2）見解析【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，列表可求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）由題意，分類討論可求函數(shù)的單調(diào)性.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，則有：減極小值增極