金融工程FinancialEngineering期權(quán)定價(jià)231.二叉樹單步二叉樹模型Copyright?2012Zheng,Zhenlong&Chen,Rong4證券價(jià)格的樹形結(jié)構(gòu)Copyright?2012Zheng,Zhenlong&Chen,Rong5復(fù)制定價(jià)法：例子I假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格或者為11元，或者為9元。假設(shè)選擇的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，如何為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票看漲期權(quán)定價(jià)？Copyright?2011Zheng,Zhenlong&Chen,Rong6復(fù)制定價(jià)法：例子I為了找出該期權(quán)的價(jià)值，可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位標(biāo)的股票多頭組成的組合。Copyright?2011Zheng,Zhenlong&Chen,Rong71011911Δ－0.59Δ||為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，Δ必須滿足11Δ－0.5＝9

Δ，

Δ

＝0.25復(fù)制定價(jià)法：例子I該組合的現(xiàn)值應(yīng)為由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市價(jià)為10元，因此Copyright?2011Zheng,Zhenlong&Chen,Rong8風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法：例子II假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格或者為11元，或者為9元。假設(shè)選擇的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，如何為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票看漲期權(quán)定價(jià)？Copyright?2011Zheng,Zhenlong&Chen,Rong9風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法：例子II在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，假設(shè)股票價(jià)格上升的概率為，下跌概率為

，則這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，期權(quán)價(jià)值為Copyright?2011Zheng,Zhenlong&Chen,Rong1010119

2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院11推廣到一般情形一個(gè)依賴于股票的衍生證券，到期時(shí)間為TSu?uSd?dS?2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院12推廣到一般情形(continued)考慮一個(gè)組合：持有D份股票，一份衍生證券的空頭 當(dāng)D滿足下面的條件時(shí)，組合為無風(fēng)險(xiǎn)：

SuD–

?u=Sd

D–

?dorSuD–?uSdD–?dS2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院13推廣到一般情形(continued)組合在時(shí)刻T的價(jià)值為 Su

D–

?u組合在時(shí)刻0的價(jià)值為

(Su

D–?u)e–rT組合在時(shí)刻0

的價(jià)值又可以表達(dá)為S

D–

f從而?=S

D–(Su

D–

?u

)e–rT

得到?=[p?u+(1–p)?d]e–rT其中2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院14Risk-NeutralValuation?=[p?u+(1–p)?d]e-rT

變量p和

(1

–

p)可以解釋為股票價(jià)格上升和下降的風(fēng)險(xiǎn)中性概率衍生證券的價(jià)值就是它的到期時(shí)刻的期望收益的現(xiàn)值Su

?uSd

?dS?p(1

–p)2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院15最初例子的修正

由于p

是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，所以10e0.1*0.25=11p

+9(1–p);p=0.6266或者，我們可以利用公式Su=11

?u=0.5Sd=9

?d=0S

?p(1

–p)2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院16期權(quán)的估值

期權(quán)的價(jià)值為

e–0.1×0.25[0.6266×0.5+0.3734×0]=0.31Su=11

?u=0.5Sd=9

?d=0S?0.62660.37342024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院17兩步二叉樹模型

每步長為3個(gè)月20221824.219.816.22024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院18歐式看漲期權(quán)的估值

在節(jié)點(diǎn)B的價(jià)值 =e–0.1×0.25(0.6266×1.6+0.3734×0)=0.9778在節(jié)點(diǎn)A的價(jià)值 =e–0.1×0.25(0.6266×0.9778+0.3734×0) =0.5976101.282311912.11.69.90.08.10.00.97780.0ABCDEF2024/2/14陜西科技大學(xué)理學(xué)院19一個(gè)看跌期權(quán)的例子：X＝52504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF2.布萊克－斯科爾斯模型金融資產(chǎn)的價(jià)格特征正態(tài)分布現(xiàn)象在自然界和社會(huì)中是一種常見現(xiàn)象。那么，金融資產(chǎn)的價(jià)格是否也具有正態(tài)分布的特點(diǎn)呢？符合正態(tài)分布的變量一般可以取負(fù)值，金融資產(chǎn)的價(jià)格就不可能取負(fù)值。因此價(jià)格不符合正態(tài)分布的假設(shè)。但收益卻可以取負(fù)值，收益通常符合正態(tài)分布的假設(shè)。在現(xiàn)實(shí)金融市場上，絕大多數(shù)的金融產(chǎn)品如價(jià)格、利率等的變化，都呈對數(shù)正態(tài)分布。B－S模型就是以此假定作為基礎(chǔ)。收益通常符合正態(tài)分布。例如，投資者以100元的價(jià)格買入一種股票，投資收益增長10%的可能性或概率，與收益減少-10%的可能性同樣存在。所以，收益符合正態(tài)分布的特征。收益正態(tài)分布隨機(jī)密度收益現(xiàn)在，我們求證價(jià)格分布的特征。設(shè)：價(jià)格每年上漲10%，四年內(nèi)價(jià)格分別如下：

100;110.52;122.14;134.99;149.18。后一年的價(jià)格變動(dòng)幅度大于前一年的價(jià)格變動(dòng)幅度。再看：價(jià)格每年下降10%,四年內(nèi)價(jià)格分別如下：

100;90.48;81.87;74.08;67.03。后一年的價(jià)格變動(dòng)幅度小于前一年的價(jià)格變動(dòng)幅度。連續(xù)價(jià)格變動(dòng)的刻度標(biāo)示100110.52122.14134.99149.1890.4881.8774.0867.03連續(xù)價(jià)格遞增連續(xù)價(jià)格遞減從上述分析可知，價(jià)格的分布將是扭曲的正態(tài)分布，稱之為對數(shù)正態(tài)分布。價(jià)格上漲時(shí)，分布呈擴(kuò)張型態(tài)；價(jià)格下跌時(shí)，分布呈壓縮型態(tài)。價(jià)格對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)密度價(jià)格現(xiàn)在我們回到收益定義：“收益為相對價(jià)格的對數(shù)”，由于收益呈正態(tài)分布，滿足：（2）式中，μ－－均值，這里指年收益率σ－－方差開根，這里指年收益標(biāo)準(zhǔn)差由上式（2）可知，價(jià)格的對數(shù)（不僅相對價(jià)格的對數(shù)）也是正態(tài)分布，因?yàn)椋?/p>

（3）其中S0是常數(shù)，ln(S0)也是常數(shù)

由式（2），還可得到：

以及預(yù)期收益：

根據(jù)期望值的對數(shù)與對數(shù)的期望值之間的關(guān)系，如果x是一隨機(jī)變量，則有：

ln[E(x)]=E[ln(x)]+0.5var[ln(x)]

其中:

所以，相對價(jià)格的期望就可以表達(dá)如下：

小結(jié)利用相對價(jià)格的自然對數(shù)估算收益。式（1）收益遵循正態(tài)分布。式（2）價(jià)格遵循對數(shù)正態(tài)分布。式（4）相對價(jià)格的期望表達(dá)式（6）。期權(quán)定價(jià)的B－S模型金融資產(chǎn)的合理價(jià)格是這種資產(chǎn)的期望值。這一原理同樣適用于期權(quán)。期權(quán)到期時(shí)的合理價(jià)格就是可能出現(xiàn)的每一種價(jià)值與其概率的乘積之和。期權(quán)可以取任意多的價(jià)值，所以應(yīng)該采用連續(xù)分布。在連續(xù)分布條件下，某一范圍的特定結(jié)果的概率應(yīng)由該段曲線以下的面積來表示。根據(jù)看漲期權(quán)的定義，期權(quán)到期時(shí)的期望值是：

期權(quán)到期時(shí)，基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格有兩種可能：

1.如果

期權(quán)到期時(shí)溢價(jià)，并且

2.如果期權(quán)到期時(shí)溢價(jià)，并且

ST>Xmax（ST－X,0）＝ST－XST<Xmax（ST－X,0）＝0如果把P定義為ST>X的概率，那么（7）式可以重新表達(dá)為：

其中，

E[ST|ST>X]－－當(dāng)ST>X時(shí)，ST的期望值。

P－－ST>X的概率。上式（８）就是看漲期權(quán)到期時(shí)的期望值。那么，在期權(quán)交易之初的合理價(jià)格就是對式（８）的貼現(xiàn)值。于是，期權(quán)的價(jià)格表達(dá)如下：

至此，我們可以將期權(quán)定價(jià)的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對簡單的問題：１.確定Ｐ－－即期權(quán)到期時(shí)溢價(jià)的概率。２.確定E[ST|ST>X]－－即期權(quán)到期時(shí)溢價(jià)的話，基礎(chǔ)資產(chǎn)的期望值。導(dǎo)出概率Ｐ這一問題是要求解期權(quán)到期時(shí)，基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格超過期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的概率Ｐ。這一問題的性質(zhì)等同于：求解同樣時(shí)期收益超出某種既定值的概率。由于收益呈正態(tài)分布，比起對數(shù)正態(tài)分布更容易處理，故我們先從收益入手。此前，我們已經(jīng)將收益定義為相對價(jià)格的對數(shù)，所求出的概率必須滿足：在正態(tài)分布條件下，變量Ｘ大于某種既定值xc的概率可由下式表達(dá)：如何求解上式中的σ和μ呢？

1.μ的求解。請回顧在前面式（６）中，已經(jīng)給出求解相對價(jià)格期望值的表達(dá)式。如果我們以則可以將公式（６）改寫為如下形式：據(jù)此，我們可以將公式（５）表述如下：這就是所要求解的平均收益μ的表達(dá)式。在前述式（２）中，收益的標(biāo)準(zhǔn)差被定義為

將式（１０）和式（１１）合并，有

正態(tài)分布的對稱性意味著：１－N（d）=

N（－ｄ）于是，我們所要求解的概率Ｐ，就表述如下：２.σ的確定為了求出基礎(chǔ)金融資產(chǎn)到期時(shí)的期望值E[ST|ST>X]的表達(dá)式，需要將正態(tài)分布曲線從Ｘ至∞的值加總起來。期望值公式的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，這里給出最終結(jié)果如下：

其中：期權(quán)定價(jià)兩大問題的匯總回顧一下，期權(quán)定價(jià)要解決的兩大問題：１.確定Ｐ－－即期權(quán)到期時(shí)溢價(jià)的概率。２.確定E[ST|ST>X]－－即期權(quán)到期時(shí)溢

價(jià)時(shí)，基礎(chǔ)資產(chǎn)的期望值?，F(xiàn)在，我們可以將這兩部分的計(jì)算公式（１４）和（１５）代入前面的期權(quán)定價(jià)公式（９），就是看漲期權(quán)的定價(jià)模型。Ｂ－Ｓ期權(quán)定價(jià)模型看漲期權(quán)的Ｂ－Ｓ模型Ｂ－Ｓ模型的基本假設(shè)收益呈正態(tài)分布，價(jià)格呈對數(shù)正態(tài)分布。基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的交易數(shù)量不限。允許空頭出售。期權(quán)有效期內(nèi)，基礎(chǔ)資產(chǎn)不支付紅利或股息，且無其它任何形式的收益。無風(fēng)險(xiǎn)利率，復(fù)利計(jì)息。歐式期權(quán)。沒有交易成本、稅收及任何額外費(fèi)用?；A(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)具有連續(xù)性。價(jià)格和利率的波動(dòng)率為常數(shù)。Ｂ－Ｓ模型的最大優(yōu)點(diǎn)１.容易計(jì)算２.定價(jià)較為合理可靠

在實(shí)務(wù)中，當(dāng)實(shí)際情形與模型的嚴(yán)格假設(shè)條件不一致時(shí)，只需對模型作簡單的調(diào)整即可加以應(yīng)用。無需采用更為復(fù)雜的定價(jià)模型。所以，得到廣泛的運(yùn)用。例如，現(xiàn)實(shí)條件下，金融資產(chǎn)的價(jià)格分布并非滿足嚴(yán)格的對數(shù)正態(tài)假設(shè)，而是“胖尾”分布，原因在于市場價(jià)格有時(shí)會(huì)出現(xiàn)跳躍性變化。如何在期權(quán)定價(jià)時(shí)反映出市場價(jià)格的這種跳躍式變化呢？一般處理：不是另外重構(gòu)一個(gè)新的模型直接反映這種“胖尾”特征，而是直接在Ｂ－Ｓ模型基礎(chǔ)上，插入一個(gè)較大的波動(dòng)率數(shù)值，就可對溢價(jià)和損價(jià)期權(quán)定價(jià)。結(jié)果，相對于平價(jià)期權(quán)而言，溢價(jià)和損價(jià)期權(quán)的價(jià)格提高了，這恰好反映了價(jià)格波動(dòng)率較大的事實(shí)。跌－－漲平價(jià)定理由上所述，我們已經(jīng)求出看漲期權(quán)的定價(jià)公式。如何求解看跌期權(quán)的定價(jià)公式呢？我們可以利用看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)出看跌期權(quán)的定價(jià)公式。不需要建立獨(dú)立的模型考慮看跌期權(quán)的定價(jià)問題跌－－漲平價(jià)定理構(gòu)造由若干筆交易構(gòu)成的組合金融資產(chǎn)。

組合金融資產(chǎn)的構(gòu)造方式如下：出售一份歐式看漲期權(quán)，到期時(shí)間為ｔ，執(zhí)行價(jià)格為Ｘ。買入一份具有同樣期限和執(zhí)行價(jià)格的歐式看跌期權(quán)。借入一筆資金，數(shù)額為。以無風(fēng)險(xiǎn)利率ｒ計(jì)息。買入基礎(chǔ)金融資產(chǎn)。

在上述資產(chǎn)組合中，如果假定基礎(chǔ)資產(chǎn)的初始價(jià)格為Ｓ0，看漲期權(quán)的價(jià)格為Ｃ，看跌期權(quán)的價(jià)格為Ｐ。那么，按上述方式構(gòu)造的組合所產(chǎn)生的現(xiàn)金流為：（這里假定具有相同執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)具有相同的期權(quán)費(fèi)或期權(quán)價(jià)格）期權(quán)到期時(shí)，這樣一筆資產(chǎn)組合的價(jià)值到底如何呢？１。如果Ｓt>Ｘ，看漲期權(quán)將被執(zhí)行，交付基礎(chǔ)資產(chǎn)，收取執(zhí)行價(jià)格Ｘ，正好用于償還所借資金?？吹跈?quán)到期時(shí)無內(nèi)在價(jià)值。資產(chǎn)組合的現(xiàn)金流量凈值為零。２。如果Ｓt<Ｘ，看跌期權(quán)將被執(zhí)行，交付基礎(chǔ)資產(chǎn)，收取執(zhí)行價(jià)格Ｘ，正好用于償還所借資金?？礉q期權(quán)到期時(shí)無內(nèi)在價(jià)值。資產(chǎn)組合的現(xiàn)金流量凈值也為零。３。如果Ｓt＝Ｘ，看漲期權(quán)與看跌期權(quán)均無內(nèi)在價(jià)值，可以在市場上以通行價(jià)格Ｘ出售基礎(chǔ)資產(chǎn)，獲取出售所得Ｘ，正好用于償還所借資金。資產(chǎn)組合的現(xiàn)金流量凈值還是為零。由此可見，無論期權(quán)到期時(shí)，基礎(chǔ)金融資產(chǎn)的市場價(jià)格如何，上述資產(chǎn)組合的交易凈值始終為零。如果一種資產(chǎn)組合的最終結(jié)果為零，則其初始價(jià)值也應(yīng)該為零，否則就有套利機(jī)會(huì)存在。因此：由此，我們就可以從看漲期權(quán)的定價(jià)分析中直接導(dǎo)出看跌期權(quán)的價(jià)格。