廣州市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目。1.學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競(jìng)賽，某班的12名學(xué)生的成績(jī)單位：分分別是：，則這12名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)是(

)A.92 B.87 C.93 D.912.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是2，則實(shí)數(shù)m的值為(

)A. B. C. D.3.在等比數(shù)列中，，，則(

)A. B.16 C.32 D.4.已知直線a和平面，那么能得出的一個(gè)條件是(

)A.存在一條直線b，且 B.存在一條直線b，且

C.存在一個(gè)平面，且 D.存在一個(gè)平面，且5.包含甲同學(xué)在內(nèi)的5個(gè)學(xué)生去觀看滑雪、馬術(shù)、氣排球3場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多有2名學(xué)生前往觀看，則甲同學(xué)不去觀看氣排球的方案種數(shù)有(

)A.120 B.72 C.60 D.546.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為(

)A. B. C. D.7.已知，則的最小值為(

)A. B. C. D.8.已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的角平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.的最大值為2

B.在上單調(diào)遞增

C.在上有4個(gè)零點(diǎn)

D.把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱10.已知，，則下列結(jié)論正確的有(

)A. B.

C. D.11.定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即則下列命題中正確的有(

)A.若平行四邊形ABCD的面積為4，則

B.在正中，若，則

C.若，，則的最小值為

D.若，，且為單位向量，則的值可能為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.13.已知若對(duì)任意的，均有

或，則m的取值范圍是__________.14.若數(shù)列中不超過(guò)的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù).已知，且，數(shù)列的前m項(xiàng)和為，若，則m的值為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.本小題13分已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為

求a的值；

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．16.本小題15分西梅以“梅”為名，實(shí)際上不是梅子，而是李子，中文正規(guī)名叫"歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽(yù).因此，每批西梅進(jìn)入市場(chǎng)之前，會(huì)對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10箱西梅，其中有4箱測(cè)定為一等品.現(xiàn)從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率;以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.17.本小題15分

由各棱長(zhǎng)均相等的四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，底面ABCD為正方形，點(diǎn)O為線段AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AD中點(diǎn)，平面

證明：平面；若點(diǎn)M為線段包含端點(diǎn)上一點(diǎn)，求EM與平面所成角的正弦值的最大值.18.本小題17分

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線與x軸不重合交C于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)M為C的上頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為8，面積為求C的方程;若A是C的右頂點(diǎn)，設(shè)直線l，AM，AN的斜率分別為k，，，求證：為定值.19.本小題17分對(duì)任意，若數(shù)列滿足則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.已知數(shù)列：1，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和使得恒成立?若存在，求出的通項(xiàng)公式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】C

解：因?yàn)?/p>

，故

的

分位數(shù)是

，故選：C2.【答案】C

解：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是2，實(shí)軸在y軸，，，

故選：3.【答案】D

解：由題意可得，所以4.【答案】C

解：存在一條直線b，，且，則或，故A錯(cuò)誤；

存在一條直線b，，且，則或或a與相交，故B錯(cuò)誤；

存在一個(gè)平面，，且，則由平面與平面平行的性質(zhì)知，故C正確；

存在一個(gè)平面，，且，則或，故D錯(cuò)誤．故選5.【答案】C

解：5人分三組，一組1人，另外兩組各2人，有

，

再把3個(gè)組分到3個(gè)比賽中，有

種，①甲1個(gè)人去看氣排球，有

種；

②甲和另外一個(gè)人一起去看氣排球，有

種，

則甲同學(xué)不去觀看氣排球比賽的方案種數(shù)有故選6.【答案】B

解：圓C：，即圓C：，圓心坐標(biāo)，半徑為3；

由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，

可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)?，?/p>

顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，

即，所以

所以四邊形PACB的面積的最小值為，

7.【答案】C

解：因?yàn)?/p>

，則

，可得

，即

，且

，整理得

，又因?yàn)?/p>

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立，即

，整理得

，解得

或

舍去，所以

的最小值為

.8.【答案】A

解：如圖，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，則PM是的角平分線，由可得，可得為等腰三角形，故M為的中點(diǎn)，由于O為的中點(diǎn)，則OM為的中位線，故，由于，所以，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值，而的最小值為，的最大值為，即的值域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，P在y軸上，此時(shí)M與O重合，取得最小值為0，又由題意，最值取不到，所以的取值范圍是故選9.【答案】ACD

解：因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故A正確；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上先增后減，無(wú)單調(diào)性，故B不正確;

令，得，，故，，因?yàn)?，所以?，2，3，故C正確;

把的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，

當(dāng)時(shí)，y取得最小值，故D正確.故選10.【答案】BCD

解：設(shè)，，a，b，c，，

對(duì)于A，，

，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，，

，故B正確；

對(duì)于C，，故C正確；

對(duì)于D，，

，故D正確．故選：11.【答案】ACD

解：對(duì)于A，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e為4，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)正的邊BC邊上的中點(diǎn)為E，則，因?yàn)椋?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故C正確；

對(duì)于D，若，，且為單位向量，則當(dāng)，，，時(shí)，可以等于，此時(shí)，故D正確.故選ACD12.【答案】

解：集合，，若，

，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為13.【答案】

解：因?yàn)?，令，解得，又因?yàn)閷?duì)任意的，或，所以在上恒成立，易得時(shí)，不滿足；故由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，解得，所以m的取值范圍是14.【答案】11

【解答】解：m為偶數(shù)時(shí)，則，則

m為奇數(shù)時(shí)，則，則

，

m為偶數(shù)時(shí)，則，

m為奇數(shù)時(shí)，則，

若，則，或，

因?yàn)?，得，故答案為?5.【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，

因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線的斜率為2，則，即，

所以；

由可知，，則，

令，即，解得，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無(wú)極大值．

17.【答案】解：設(shè)抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品為事件，則

所以從這10箱中任取3箱，恰好有1箱是一等品的概率為；以這10箱的檢測(cè)結(jié)果來(lái)估計(jì)這一批西梅的情況，則抽到一等品的概率為，

若從這一批西梅中隨機(jī)抽取3箱，表示抽到一等品的箱數(shù)，

的所有可能取值為0，1，2，3，且，

，，

，，

的分布列為：0123P的期望為：

17.【答案】解：證明：取中點(diǎn)，連接，，，且，

故四邊形為平行四邊形，故得：且，

，，故四邊形為平行四邊形，，

且平面平面，平面

由題意，易證EO，ED，兩兩垂直，所以分別以EO，ED，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則易得以下點(diǎn)坐標(biāo)：，，，，，；，，

設(shè)為平面的法向量，則有，

取，則，所以，設(shè)，，

因?yàn)辄c(diǎn)M在線段OD上，則，

設(shè)EM與平面所成角為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故EM與平面所成角的正弦值的最大值為

18.【答案】解：由題意得，解得，所以橢圓，

當(dāng)M為C的上頂點(diǎn)時(shí)，直線l為：，

聯(lián)立橢圓方程，解得，，舍去，

又的面積為，所以，即，

所以，解得或，于是或，

因?yàn)椋?，所以橢圓C的方程為；

證明：橢圓C的右焦點(diǎn)為，直線l的方程為，

聯(lián)立方程組，消y得，

設(shè)，，則，，

所以

，

所以

故為定值.

19.【答案】解：Ⅰ由題意得且解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是；Ⅱ假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為則由得由題意，得