專題01向量的概念知識聚焦考點聚焦知識點1向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2、數(shù)量：只有大小，沒有方向的量(如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等)，稱為數(shù)量．【注意】（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移；（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素；（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識點2向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的字母表示法：如等.3、向量的幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.【注意】（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點3向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).【注意】（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量.【注意】（1）在畫單位向量時，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.【注意】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．知識點4向量的共線或平行1、向量共線或平行的定義：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量)。規(guī)定：與任一向量共線.【注意】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.（2）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.2、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．考點剖析考點1向量的相關(guān)概念辨析【例1】（2023·高一課時練習(xí)）給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強度；（9）體積.其中不是向量的有（）A．6個B．5個C．4個D．3個【答案】A【解析】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向.（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量.故選：A.【變式11】（2023·貴州遵義·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說法錯誤的是（）A．有向線段與表示同一向量B．兩個有公共終點的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】ABD【解析】對A,有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯誤；對B，兩個有公共終點的向量不一定是平行向量，B錯誤；對C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯誤；故選:ABD.【變式12】（2023·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A【變式13】（2023·山東菏澤·高一鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）A．任一非零向量都可以平行移動B．是單位向量，則C．D．若，則【答案】D【解析】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；由單位向量對于可知，，故B正確；因為，所以，故C正確；因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；故選：D【變式14】（2023·全國·高一課時練習(xí)）下列命題正確的是（）A．零向量沒有方向B．若，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【解析】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.故選：C.考點2向量的表示方法【例2】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ瓵．B．C．D．【答案】C【解析】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.故選：C.【變式21】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（）A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起點是MD．終點是M【答案】D【解析】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．【變式22】（2023·全國·高一課時練習(xí)）用有向線段分別表示一個方向向上、大小為20N的力，以及一個方向向下、大小為30N的力（用1cm的長度表示大小為10N的力）．【答案】答案見解析．【解析】如圖，有向線段表示方向向上、大小為20N的力，有向線段表示方向向下、大小為30N的力，【變式23】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段表示下列向量．（1）終點A在起點O正東方向3m處；（2）終點B在起點O正西方向3m處；（3）終點C在起點O東北方向4m處；（4）終點D在起點O西南方向2m處．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】（1）從向東作長度為3m的有向線段：（2）從向西作長度為3m的有向線段：（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：【變式24】（2023·高一課時練習(xí)）在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1．（1）試以為終點畫一個有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，使．（2）在圖中畫一個以為起點的有向線段，設(shè)該有向線段表示的向量為，且，并說出點的軌跡是什么？【答案】（1）圖見解析；（2）點的軌跡是以A為圓心，半徑為的圓【解析】（1）如圖，感覺向量相等的定義，與的方向相同，長度相等，即，即可得到向量；（2）如圖，畫出一個滿足條件的向量，點的軌跡是以點為圓心，半徑的圓.考點3相等向量與共線向量判斷【例3】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點O為其中心，則下列判斷錯誤的是（）A．B．∥C．D．【答案】D【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及向量相等的概念易知，∥且，∴選項A、B、C正確，故選D【變式31】（2023·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．B．與共線C．與共線D．【答案】C【解析】四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，，即三點共線，，，即，，與共線，ABD正確；對于C：若與共線，則必有，即，該條件不一定成立，如時，，故與共線不一定成立，故選：C.【變式32】（2023·全國·高一課時練習(xí)）在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？【答案】7個，個.【解析】當(dāng)向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量，這樣的格點共有8個，除去點A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，所以與長度相等的共線向量共有（個）.【變式33】（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC，BD交于點O，過點O作，交AD于點M，交BC于點N，則在以A，B，C，D，M，O，N為起點或終點的所有有向線段表示的向量中，相等向量有對.【答案】2【解析】由題意∥AB可知，，所以，所以.因為，所以，，所以，，所以.又M，O，N三點共線，所以，，故相等向量有2對.【變式34】（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，（1）與模長相等的向量有多少個？（2）寫出與相等的向量有哪些？（3）與共線的向量有哪些？（4）請列出與相等的向量．【答案】（1）有9個；（2），；（3），，，，，，；（4）【解析】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，所以，所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.（2）與相等的向量有、.（3）與共線的向量有，，，，，，.（4）因為為平行四邊形，所以且，所以與相等的向量為.考點4向量在幾何中的應(yīng)用【例4】（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知四邊形，下列說法正確的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【解析】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項，如圖，但是四邊形不是矩形，錯誤；選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.故選：A【變式41】（2022·高一?？颊n時練習(xí)）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD的形狀是.【答案】梯形【解析】在四邊形ABCD中，因為，所以，又，所以四邊形ABCD的形狀是梯形.【變式42】（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證：.【答案】（1），，；（2）證明見解析.【解析】（1）因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以與向量共線的向量為：，，.（2）證明：在平行四邊形中，，.因為，分別是，的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，故.【變式43】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.【答案】見解析【解析】因為，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以且.又與的方向相同，所以.同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.因為，，所以，又與的方向相同，所以考點5向量在實際問題中的應(yīng)用【例5】（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（）．A．B．C．D．與不能比較大小【答案】A【解析】由題意，作圖如下：則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，則飛機飛行的路程為，，所以.故選：A.【變式51】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方．（1）作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；（2）求的模．【答案】（1）作圖見解析；（2）【解析】（1）根據(jù)題意可知，B點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，又因為D點在B點的正北方，所以，又，所以，即D、C兩點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，；即可作出、、如下圖所示.（2）如圖，作出向量，由題意可知，且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以的模為【變式52】（2022·高一課時練習(xí)）某人從點A出發(fā)向西走4個單位長度到達(dá)點B，然后改變方向朝西北方走6個單位長度到達(dá)點C，最后又向東走4個單位長度到達(dá)點D．試分別作出向量，和．【答案】答案見解析.【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)任取一點為，按照題意要求方向，作線段，，則向量，和如下所示：【變式53】（2023·高一課時練習(xí)）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按南偏東方向飛行到達(dá)地，再從地按西南方向飛行到達(dá)地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．【答案】答案見解析.【解析】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標(biāo)系．由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，向量如圖所示，由已知可得，為正三角形，所以．又，，所以為等腰直角三角形，所以，．故向量的模為，方向為東南方向．【變式54】（2023·全國·高一課時練習(xí)）某人從A點出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點，然后改變方向沿東北方向走了米到達(dá)C點，到達(dá)C點后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點．（1）作出向量，，；（2）求的模．【答案】（1）見解析；（2）米【解析】（1）作出向量，，；如圖所示：（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝(米)，所以|米.過關(guān)檢測一、單選題1．（2023·海南·高一?？计谥校┫铝懈魑锢砹勘硎鞠蛄康氖牵?/p>

）A．質(zhì)量 B．距度 C．力 D．體重【答案】C【解析】由向量的定義可知，力為向量，質(zhì)量、距離、體重都為數(shù)量.故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，對于（3），零向量的模可能為0，不一點是正數(shù)，故（3）錯誤，對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，故選：A．3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）給出下列命題：①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③；④．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①正確，和是方向相反、模相等的兩個向量；②錯誤，方向不同包括反向共線；③錯誤，是一個向量，而0為數(shù)量，；④錯誤，向量不能比較大小，故選B．4．（2023·新疆·高一?？计谥校┮阎蛄咳缦聢D所示，下列說法不正確的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起點是 D．向量的終點是【答案】D【解析】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.故選：D5．（2022·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關(guān)系中正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，四邊形ABCD是等腰梯形得，且，，所以選項A錯誤，選項B正確，又向量不能比較大小，所以選項C、D錯誤，故選：B.6．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點的向量【答案】B【解析】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的向量，到三個頂點的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點相同的向量.故選：B7．（2023·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．單位向量都相等 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項A錯誤；對于B，若，說明兩個向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項B錯誤；對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項C正確；對于D，此時若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項D題干矛盾，所以選項D錯誤.故選：C.8．（2023·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【解析】對于A，當(dāng)時，方向可能不同，未必成立，A錯誤；對于B，若，則反向，，B正確；對于C，只能說明長度的大小關(guān)系，但還有方向，無法比較大小，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，此時未必共線，D錯誤.故選：B.二、多選題9．（2023·海南儋州·高一?？茧A段練習(xí)）以下說法正確的是（

）A．兩個相等向量的模相等 B．平行向量方向相同C．若和都是單位向量，則 D．平行向量一定是共線向量【答案】AD【解析】根據(jù)相等向量的概念可知，兩個相等向量的模相等，故A正確；根據(jù)平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量與任何向量平行，此時不談方向，故B不正確；若和都是單位向量，則，不一定有，故C不正確；平行向量與共線向量是同一個概念，故D正確.故選：AD.10．（2023·四川瀘州·高一瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）下面關(guān)于向量的說法正確的是（）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量C．平行共線向量：方向相同的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】ABD【解析】C項，方向相反的向量也是共線向量，故錯誤；ABD項，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.故選：ABD.11．（2023·福建寧德·高一?？茧A段練習(xí)）以下關(guān)于向量的說法正確的有（

）A．若，則B．零向量沒有方向C．若且，則D．若與共線，與共線，則與共線【答案】AC【解析】A：，即為相等向量，則，對；B：零向量方向任意，錯；C：由且，可得，對；D：若為零向量，、為非零向量，則與不一定共線，錯.故選：AC12．（2023·甘肅白銀·高一?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．若，則 B．若與共線，則與方向相同或相反C．若，為單位向量，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】AD【解析】對于A，根據(jù)零向量的定義，故A正確；對于B，當(dāng)時，顯然與共線，當(dāng)零向量的方向是任意的，故B錯誤；對于C，設(shè)，，顯然為單位向量，但，故C錯誤；對于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，故D正確.故選：AD.三、填空題13．（2023·高一單元測試）在四邊形中，，則這個四邊形的形狀是.【答案】平行四邊形【解析】由可知//，且，注意到四邊形中不共線，于是//，結(jié)合可知，該四邊形是平行四邊形.14．（2023·高一課時練習(xí)）某人從A點出發(fā)向西走了到達(dá)點，然后改變方向向西偏北走了到達(dá)點，最后又改變方向，向東走了到達(dá)點，則的模=．【答案】【解析】如圖示，由題意可得向量共線，且，則四邊形為平行四邊形，故.15．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對角線AC與BD的交點，設(shè)點集，向量的集合不重合且，則集合T有個元素．【答案】12【解析】由已知得，，且不重合，可得向量集合為（不含相等向量）：以為起點：，以為起點：，以為起點：，以為起點：，以為起點：綜上所述，集合T有12個元素.16．（2023·上?！じ咭粡?fù)興高級中學(xué)?？计谀┫铝嘘P(guān)于向量的命題，序號正確的是.①零向量平行于任意向量；②對于非零向量，若，則；③對于非零向量，若，則；④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.【答案】①③【解析】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②錯誤；對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.故選：①③四、解答題17．（2023·全國·高一課時練習(xí)）用有向線段表示下列物體運動的速度．（1）向正東方向勻速行駛的汽車在2h內(nèi)的位移是60km（用的比例尺）；（2）做自由落體運動的物體在1s末的速度（用1cm的長度表示速度2m/s）．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【解析】（1），以為起點，向右作有向線段，它的長度是3cm，（2），時，，以為起點，向下作有向線段，長度為：18．（2023·高一課時練習(xí)）一輛貨車從A地出發(fā)向西行駛200km到達(dá)B地，然后義從B地向北偏西40°方向行駛400km到達(dá)C地，最后從C地向東行駛200km到達(dá)D地.（1）作出向量，，；（2）求的大小和方向