如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感晉江市永和旦厝小學(xué)黃東漢提綱一、數(shù)感的涵義二、數(shù)感與加法和減法三、數(shù)感與乘法和除法四、數(shù)感與小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)五、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的策略講座一、數(shù)感的涵義1、對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)“數(shù)感”的英文是“NumberSense”，也可以翻譯成數(shù)覺或數(shù)意識(shí)。數(shù)感和語感、樂感一樣，通常是個(gè)直覺的、浪漫的、只可意會(huì)不可言傳的概念。1954年，Dantzig首次提出數(shù)感的概念，認(rèn)為數(shù)感是對(duì)微小數(shù)量變化的一種直覺感受。這個(gè)在西方數(shù)學(xué)教育中的常見詞語，首次作為我國(guó)數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)培養(yǎng)目標(biāo)，為我國(guó)當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育傳達(dá)了一種全新的信息。數(shù)感很容易辨識(shí)，但很難精確定義。關(guān)于數(shù)感具體由哪些數(shù)學(xué)概念理解和技能組成，不同的研究者有不同的理解。1989年，在全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）制定的《中小學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于數(shù)感的闡述為：“數(shù)感是一種關(guān)于數(shù)字的直覺，它從數(shù)字的所有不同意義的表述得以表現(xiàn)。2002年東北師范大學(xué)馬云鵬教授、北京教育學(xué)院史炳星副教授在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》撰文中說：“數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)地理解和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)”2003年，華南師范大學(xué)王林金教授在《數(shù)學(xué)通報(bào)》撰文說：學(xué)生“對(duì)于數(shù)及其運(yùn)算的敏捷感知與深入認(rèn)識(shí)，這種素質(zhì)稱為數(shù)感”2、什么是數(shù)感？在計(jì)算“□－４＝９”和“１００÷２５＝？”這類題目時(shí)，有些學(xué)生很可能會(huì)竭盡全力去尋找合適的計(jì)算程序來解決問題，而不會(huì)去努力尋找題目中數(shù)字的相關(guān)聯(lián)系。但是，有些孩子則能應(yīng)用自己掌握的數(shù)字事實(shí)來解決問題。我們把孩子們具有這種對(duì)數(shù)字之間關(guān)聯(lián)的意識(shí)以及靈活地解決數(shù)字問題的能力稱為其對(duì)數(shù)字的“感覺”或“數(shù)感”?！ㄓⅲ┲炖驄I·安吉萊瑞數(shù)感指的是一個(gè)人對(duì)數(shù)字和運(yùn)算的一般理解力，以及靈活應(yīng)用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學(xué)判斷，并開發(fā)出應(yīng)用數(shù)字和運(yùn)算法則的有效策略。（麥金托什等，1992年）數(shù)感……體現(xiàn)的是應(yīng)用數(shù)字和量化方法作為交流、加工、解釋信息的傾向和能力。它使人們意識(shí)到數(shù)學(xué)是有某種規(guī)律的。（麥金托什等，1992年）根據(jù)麥金托什等人的分析，數(shù)感主要在三個(gè)領(lǐng)域起重要作用：數(shù)字知識(shí)和數(shù)字的簡(jiǎn)便性——數(shù)字的順序感；多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)形式；數(shù)字相對(duì)和絕對(duì)數(shù)量的判斷；思考數(shù)字的基準(zhǔn)參考體系。運(yùn)算知識(shí)和運(yùn)算的簡(jiǎn)便性——理解運(yùn)算結(jié)果；意識(shí)到所應(yīng)用的規(guī)則；運(yùn)算之間的關(guān)系。把數(shù)字、運(yùn)算知識(shí)及其簡(jiǎn)便性應(yīng)用到需要用數(shù)字進(jìn)行推理的問題中——理解問題情境和合適的解題策略之間的關(guān)系；意識(shí)到存在多樣化的數(shù)字呈現(xiàn)方式；應(yīng)用有效的數(shù)字表征形式和（或）方法的傾向；檢驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果的傾向。表1幼兒數(shù)感的主要成分領(lǐng)域成分?jǐn)?shù)數(shù)知道數(shù)數(shù)的順序掌握數(shù)數(shù)時(shí)一一對(duì)應(yīng)、順序固定、集合、抽象和順序無關(guān)的原則數(shù)知識(shí)區(qū)分不同數(shù)量，知道相同數(shù)量進(jìn)行數(shù)量大小的比較數(shù)量轉(zhuǎn)換通過加、減改變無題數(shù)量借助實(shí)物操作進(jìn)行加、減計(jì)算進(jìn)行加、減心理運(yùn)算數(shù)量估計(jì)大概估計(jì)物體數(shù)量的大小，會(huì)使用參考點(diǎn)進(jìn)行估數(shù)數(shù)字組型能模仿數(shù)型、擴(kuò)充數(shù)型，能辨認(rèn)數(shù)字間的關(guān)系表2數(shù)感含義的組成部分?jǐn)?shù)感含義的組成部分實(shí)例理解數(shù)字的意義和相對(duì)大小9和15哪個(gè)大？你是怎么知道的？理解和使用數(shù)字的等量表征方式用多種理解或方法表示0.25的含義。理解運(yùn)算的意義和作用750×0.92比750大嗎？為什么？理解和使用等量表征750÷0.5和750×2相等嗎？你是怎么理解的？在各種計(jì)算中靈活使用計(jì)算策略借助對(duì)乘法意義的理解并心算78×5選擇和運(yùn)用度量的基準(zhǔn)用一分鐘的脈搏次數(shù)，估計(jì)一小時(shí)或一天脈搏的次數(shù)。3、對(duì)數(shù)感在《標(biāo)準(zhǔn)》中的理解1．理解數(shù)的意義：在義務(wù)教育階段學(xué)生要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等數(shù)概念。2．能用多種方法表示數(shù)：既是指要求學(xué)生理解數(shù)的概念，也是指使學(xué)生了解數(shù)的產(chǎn)生發(fā)展過程。3．在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系：不僅是理解數(shù)概念的需要，同時(shí)也會(huì)加深對(duì)數(shù)的實(shí)際意義的理解。4．能用數(shù)表達(dá)和交流信息：既能使學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，也是數(shù)感的具體表現(xiàn)。5．在解決問題的過程中選擇恰當(dāng)?shù)乃惴ā?duì)運(yùn)算結(jié)果的合理性作出解釋：也是形成數(shù)感的具體表現(xiàn)。二、數(shù)感與加法和減法1、加、減法與計(jì)數(shù)的聯(lián)系把一個(gè)物體放入到一個(gè)集合中，或者從一個(gè)集合取出一個(gè)物體，這些實(shí)際活動(dòng)為學(xué)生提供了與計(jì)數(shù)有關(guān)的語言表達(dá)和體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，這些語言表達(dá)方式和體驗(yàn)有助于他們把具體的物體模型與某些抽象的數(shù)字模式聯(lián)系起來。例如，“多一個(gè)”就是與計(jì)數(shù)順序中的下一個(gè)數(shù)字相聯(lián)系，“少一個(gè)”則是與計(jì)數(shù)順序中的前一個(gè)數(shù)字相聯(lián)系。這時(shí)，孩子們通過解決具有實(shí)際意義的問題來認(rèn)知這些計(jì)數(shù)模式。研究結(jié)果表明，即使缺乏熟練而復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算技能，低年級(jí)的學(xué)生仍能計(jì)算出結(jié)果。這就表明，孩子們是在問題解決的過程中形成數(shù)學(xué)知識(shí)的，而不是孤立地學(xué)習(xí)這些知識(shí)然后再單獨(dú)運(yùn)用這些知識(shí)。2、加法計(jì)數(shù)策略加法是最基本的計(jì)數(shù)技能，“向前數(shù)”在早期階段就是有效的計(jì)數(shù)策略之一。3、減法計(jì)數(shù)的策略4、理解加、減法的各種意義5、閱讀符號(hào)下面問題涉及同一個(gè)由三個(gè)數(shù)字組成的數(shù)字組，這類問題有助于學(xué)生用各種方法靈活地解釋符號(hào)。四種主要的加減法應(yīng)用題的類型變化型淘氣有5顆珠，笑笑又給了他8顆，這時(shí)他有多少顆珠？笑笑有8顆珠，他拿出3顆給淘氣，笑笑還剩多少顆珠？結(jié)合型淘氣有5顆藍(lán)珠和8顆紅珠，他共有多少顆珠？笑笑和淘氣共有13顆珠，如果笑笑有5顆珠，淘氣有多少顆珠？比較型淘氣有8顆珠，笑笑有5顆珠，淘氣比笑笑多幾顆珠？笑笑有5顆珠，比淘氣少8顆，淘氣有多少顆珠？相等型淘氣有8顆珠，笑笑有5顆珠，笑笑需要幾顆就和淘氣的珠一樣多？淘氣有5顆珠，如果笑笑減少8顆就和淘氣一樣多，笑笑有多少顆珠？三、數(shù)感與乘法和除法1、整數(shù)乘法的四種主要情境等組（例如，三張桌子，每張桌子圍坐四個(gè)孩子）。倍數(shù)比較（比率系數(shù)）（例如，男孩數(shù)是女孩數(shù)的三倍）。矩形隊(duì)列（例如，四個(gè)孩子氣排，共三排）。笛卡兒積（例如，將三個(gè)女孩和四個(gè)男孩進(jìn)行搭配，共有幾種可能）。2、乘法與除法情境的問題結(jié)構(gòu)3、乘、除運(yùn)算的早期經(jīng)驗(yàn)研究顯示，早在幼兒園期間，孩子們就能夠用物體來模擬分組與平分這類除法問題。把物體拆分或重組成數(shù)量相等的集合，這種活動(dòng)有助于孩子們?cè)跀?shù)字語言和數(shù)字之間建立聯(lián)系。與平分活動(dòng)相比，把一個(gè)集合中的物體分成若干小組，這種方法可以更直接地表現(xiàn)出反復(fù)相減是如何把一個(gè)集合分成幾個(gè)部分的，這個(gè)過程與乘法是反復(fù)相加的過程截然相反。孩子們遇到的最簡(jiǎn)單的乘法形式可能是兩個(gè)集合之間的多一對(duì)應(yīng)關(guān)系（如1輛車有4個(gè)輪子），這種對(duì)應(yīng)關(guān)系與比率或比率系數(shù)有關(guān)，這是乘法思維的基礎(chǔ)。在孩子們體驗(yàn)數(shù)字的實(shí)際過程中，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些數(shù)字無法分成等組，例如，7個(gè)物體不能正好分成兩組，還會(huì)有剩下的物體，這就是對(duì)余數(shù)早期的體驗(yàn)。4、乘法的意義作為記錄重復(fù)相加過程的簡(jiǎn)便方法，教師可以把乘法符號(hào)“×”介紹給孩子們。在培養(yǎng)他們數(shù)感的時(shí)候，如果僅僅把乘法等同于重復(fù)相加，那么將會(huì)限制他們對(duì)乘法的理解，以至于日后無法理解某些計(jì)算題，如0.3×0.4。為了理解這類乘法計(jì)算題，就要用比率概念，即0.3×0.4表示0.3的0.4倍，或0.4的0.3倍。從最初把乘法理解成反復(fù)相加，發(fā)展到用乘法解決其他類型的問題，如比率商的問題（自行車的行駛速度是行人的8倍）和笛卡兒積的問題（選擇三種面包和四種餡，可以做出多少種的漢堡）。這兩種問題的解決都要應(yīng)用到乘法，但是很顯然，這里的乘法不是重復(fù)相加。5、除法的意義我們把除法作為記錄平均分的過程與結(jié)果的簡(jiǎn)便方法介紹給學(xué)生，例如，“１８÷３”有兩種解釋：①分配（等分）——把１８平均分成３份，每份有多少；②包含（分組）——１８中包含多少個(gè)３。用“倍”的意義來解釋除法，上述①等同于“什么數(shù)字的３倍是１８”；上述②等同于“３的多少倍是１８”，這種解釋與計(jì)數(shù)模式３，６，９，１２，１５，１８……相聯(lián)系，也把除法與“重復(fù)減法”聯(lián)系起來。如果僅把除法解釋成“分配”，那么他們就無法解釋諸如“８÷4”這類除法問題（８被4個(gè)人分）。學(xué)生能夠靈活地解釋除法的各種意義是非常重要的。6、把乘法和除法擴(kuò)展到１０的倍數(shù)和１０的乘方把乘法事實(shí)擴(kuò)展到１０的倍數(shù)（２０，３０……）和１０的乘方（１００，１０００……以及后面學(xué)到的０．１）時(shí)，教師必須解釋這些乘法事實(shí)的意義，這們才能讓孩子們理解這些乘法事實(shí)，因?yàn)樵谳^大數(shù)字相乘時(shí)，這些都是重要的計(jì)算策略。7、較大數(shù)字乘法的心算策略8、乘法表外的除法9、乘法的筆算方法10、多位數(shù)除以一位數(shù)的除法教師可以用均分或分組這兩種方法來講解除法問題。這兩種方法應(yīng)該和局面記錄相互配合，因?yàn)闀嬗涗浻兄谂袛鄬W(xué)生對(duì)問題的理解程度。把除法等同于“數(shù)字組塊”的反復(fù)相減可能是有益無害的，而且局面記錄可以提供一個(gè)有利于孩子們理解計(jì)算過程的結(jié)構(gòu)性記錄。例如，９６÷４，就要把９６分成若干個(gè)和４有關(guān)的數(shù)字，筆算的形式可以是水平的，也可以垂直的：除數(shù)是兩位數(shù)的除法11、算法附言所有學(xué)生最終都期盼使用有效的筆算方法進(jìn)行計(jì)算。但是，只有循序漸進(jìn)地建立這些方法，并不斷地完善和擴(kuò)展這些心算策略，筆算方法對(duì)學(xué)生才是有意義的。過去，對(duì)傳統(tǒng)的筆算方法的精通程度一直是衡量對(duì)數(shù)學(xué)掌握程度的標(biāo)準(zhǔn)，這樣的觀點(diǎn)現(xiàn)在再也站不住腳了。事實(shí)上，對(duì)脫離具體情境的傳統(tǒng)筆算方法進(jìn)行過度訓(xùn)練反而會(huì)阻礙提高（學(xué)校）數(shù)學(xué)（課程）標(biāo)準(zhǔn)中整體目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。……為了達(dá)到很現(xiàn)實(shí)的目的，學(xué)生將使用心算方法或者計(jì)算器來計(jì)算問題。（DES，1989）四、數(shù)感與小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)1、掌握有關(guān)數(shù)字系統(tǒng)的技能理解并解釋這些符號(hào)。在數(shù)軸上確定數(shù)字的位置。計(jì)算這些數(shù)字。2、百分?jǐn)?shù)入門新的教學(xué)方法先教百分?jǐn)?shù)，然后開始教等值的小數(shù)和小數(shù)。所有的百分?jǐn)?shù)都可以簡(jiǎn)單地表示成分?jǐn)?shù)和小數(shù)，在學(xué)習(xí)中，從百分?jǐn)?shù)開始學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)孩子們“更好的整體理解力”和形成數(shù)感所需要的“自信心、靈活性和創(chuàng)造力”。孩子們?cè)谌粘Ｉ钪袝?huì)遇到許多百分?jǐn)?shù)，對(duì)于不同的百分?jǐn)?shù)，如99％、50％、25％、10％等，他們會(huì)有自己直觀的想法。這類直觀的意義，有助于指導(dǎo)他們理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)是兩種等值的表征形式。百數(shù)正方形是可以反映百分?jǐn)?shù)的視覺圖形，這一上正方形中的不同陰影部分面積，能讓孩子們直觀地看出某一百分?jǐn)?shù)是從100當(dāng)中取出多少。另一個(gè)有用的圖形是可以表示從0到100％的數(shù)軸，計(jì)算機(jī)通常借助這種圖形來表明程序執(zhí)行的進(jìn)展情況。這種圖形能為孩子們提供一個(gè)熟悉的標(biāo)準(zhǔn)圖像，有助于他們把對(duì)比率的理解與數(shù)軸上的刻度聯(lián)系起來。用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)要利用孩子們對(duì)整數(shù)計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，包括兩倍法和兩分法的計(jì)算策略。3、形成小數(shù)概念小于1的小數(shù)呈現(xiàn)形式的規(guī)范化可以把數(shù)字的位值系統(tǒng)擴(kuò)展應(yīng)用到包括十分之幾、百分之幾這些百分?jǐn)?shù)中。如，0.1＝10％，0.01＝1％，0.28＝2個(gè)0.1和8個(gè)0.01.給較大數(shù)字的命名規(guī)則，如54讀作“五十四”，并未應(yīng)用到小數(shù)的命名之中，我們很少把0.54讀成“5個(gè)十分之一”和“4個(gè)百分之一”，而是通常讀成“零點(diǎn)五四”。孩子們讀作“零點(diǎn)五四”所使用的語言不能把數(shù)字和它相應(yīng)的數(shù)值聯(lián)系起來。孩子們很容易把小數(shù)部分“讀成”整數(shù)，例如，把0.54讀成“零點(diǎn)五十四”，從而認(rèn)為這個(gè)數(shù)大于0.7。同樣是這個(gè)原因，許多孩子認(rèn)為4.90大于4.9。五、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的策略更新教學(xué)觀念在生活情境中感受數(shù)感在動(dòng)手操作中建立數(shù)感在猜想估計(jì)中體驗(yàn)數(shù)