2022屆舊高考數(shù)學(xué)（理）開學(xué)摸底測試卷9

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合M={止1<y<3},N={xk（2x-9）<。},則（）

4+3z

2.復(fù)數(shù)z=±W的虛部為（）

I—2

A.2iB.-2iC,2D.-2

3.記等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S”.若幾=40,4=5,則（）

A.d=3B.?10=12C.S2Q=280D.4=-4

4.射線測厚技術(shù)原理公式為/=/。"加，其中/。，/分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，e是自然對數(shù)的底數(shù),

f為被測物厚度，P為被測物的密度，〃是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用錮241（2也4加）低能/

射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為

（）

（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，ln240.6931,結(jié)果精確到0.001）

A.0.110B,0.112C,0.114D,0.116

5.函數(shù)），=年匚一的圖像大致為（）?

|x|-cosx

6.某高中高三(1)班為了沖刺高考，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小

王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗“，為了弄清“天

道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：

小王說：“入班即靜”是我寫的；

小董說：“天道酬勤''不是小王寫的，就是我寫的；

小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫.

若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜''的書寫者是()

A小王或小李B.小王C.小董D.小李

7.△A6C中，點(diǎn)Z)在邊A3上，CD平分NACB,若=a,。4=方，,卜2,卜1=1,則C￡>=()

2-1-1-2-3-4-4-3-

A.-aH—bB.-ciH—bC.-ciH—bD.—ciH—b

33335555

8.己知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則-的值等

于()

A.872B.8C.472D.4

9.已知函數(shù)/(x)=cos(0x+o)(3>O,O<°<m)的最小正周期為左，且滿足/(x+0)=f[(p-x),則

要得到函數(shù)/(x)的圖像，可將函數(shù)g(x)=sin0r的圖像()

A.向左平移三個(gè)單位長度B.向右平移三個(gè)單位長度

1212

C.向左平移2個(gè)單位長度D.向右平移一個(gè)單位長度

1212

10.設(shè)a=ln3,則6=lg3,則()

A.a+b>a—b>ahB.a+h>ab>a—bC.a—b>a+h>abD.a-b>ab>a+b

11.在四面體產(chǎn)一ABC中，AABC為正三角形，邊長為6,PA=6,PB=S,PC=10,則四面體產(chǎn)一ABC

的體積為(

A.8而B.8710D.1673

12.設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-。跖，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面A3C的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著

棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上

底面的概率為％,則幾為()

A.-

4

D.---

2(3

第n卷(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.

13.(3x-l)-f--l"|的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

x+2y<l

14.設(shè)x,>滿足條件｛2x+yN—l,則z=2x-3y的最大值為.

x-y<0

7

左，右兩支分別交于A，B兩點(diǎn),若|AB|=|AE|,COSZBAF=-,則雙曲線C的離心率為.

2O

16.不等式+對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，則"的取值范圍為.

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,=2a,,_1+2〃-1(〃22),數(shù)列也,｝滿足2=?！?2〃+3.

(I)求證數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“.

18.如圖，三棱柱ABC-AB?的所有棱長均相等，用在底面A3C上的投影。在棱上，且平

面AOG

(I)證明：平面ADC，平面8CC4；

(II)求直線AB與平面ADC,所成角余弦值.

19.如圖，已知橢圓￡的右焦點(diǎn)為尸式1，0),P，。為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APQE周長的最大值為8.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線/經(jīng)過尸2,交橢圓E于點(diǎn)A，B,直線力與直線/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)”，N,

|MN「=4|AB|,求證：直線加與直線/的交點(diǎn)T在定直線上.

20.某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)X的分

布列為：

X234

P0.4ab

其中0＜。＜1,0＜。＜1

(I)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；

(1【)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤100元，若顧客選擇分3期付款，則

商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記

為丫(單位：元)

(i)求y的分布列；

(ii)若P(YW3(X))?0.8,求y的數(shù)學(xué)期望E(y)的最大值.

21.已知函數(shù)=,<g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間((),3萬)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；

(II)函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,34)上極值點(diǎn)從小到大分別為用,馬，證明："9)+區(qū)(切<0

請考生在第22、23題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第

一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡上，將所選題號對應(yīng)的方框涂黑.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.［選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程］

x=6+近c(diǎn)osa

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為《廠(a是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，%

y=sina

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=4sin0.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線e=與曲線G交于。，A兩點(diǎn)，與曲線交于。，B兩點(diǎn)，求|。4|+|。8|

取最大值時(shí)tan)的值

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)/(x)=|x-機(jī)|-|x+2|(msR),不等式/(x-2)N0的解集為(f,4］.

(1)求的值；

(2)若a>0,b>0>C>3,S.a+2b+c=2m)求(a+l)(b+l)(c-3)最大值.

2022屆舊高考數(shù)學(xué)（理）開學(xué)摸底測試卷9

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知集合M={止1<y<3},N={xk（2x-9）<0},則（）

A.(0,3)D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合N,與集合M取并集即得.

/Q

【詳解】解不等式x（2x-9）<（）,得0<X<5，;.N=

又M={止I<y<3}=(—1,3),

99

.?.MuN=(-l,3)u0.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

，

2.復(fù)數(shù)z=-4土+3的虛部為（）

z-2

B.-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡出z,即可得出虛部.

故虛部為-2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.

3.記等差數(shù)列｛。,,｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S..若$0=40,&=5,則（）

A.1=3B.40=12C.§20=280D.q=-4

【答案】C

【解析】

【分析】

由So=七號上刊=5（%+4,）=40,和4=5,可求得%=3,從而求得。和外,再驗(yàn)證選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?0=（4+；°）」0=5（=+4）=40,4=5，

所以解得%=3，

所以d=a6-a5=2,

所以4o=4+4"=5+8=13,?,=tz5-4J=3-8=-5,S20=20at+190J=-100+380=280,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

4.射線測厚技術(shù)原理公式為/=/4加，其中小/分別為射線穿過被測物前后的強(qiáng)度，e是自然對數(shù)的底數(shù),

/為被測物厚度，P為被測物的密度，〃是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用錮241（2川A,*）低能/

射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為

（）

（注：半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，ln2*0.6931,結(jié)果精確到0.001）

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意知,f=0-8,p=7.6,；=|，代入公式/=,求出〃即可.

I。Z

［詳解】由題意可得,，=0.8,p=7.6,y=不因?yàn)?=",

0.6931

所以，="7.6"。物“即=In2?0.114.

27.6x0.86.08

所以這種射線的吸收系數(shù)為0.114.

故選:C

【點(diǎn)睛】本題主要考查知識的遷移能力，把數(shù)學(xué)知識與物理知識相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù)，利用指數(shù)的相關(guān)

性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程；屬于中檔題.

2*_2T

5.函數(shù)y=的圖像大致為().

|.v|-cosx

【答案】A

【解析】

【分析】

本題采用排除法:

根據(jù)特殊值/>0排除選項(xiàng)C；

由x>(),且X無限接近于0時(shí)，/(x)<0排除選項(xiàng)B；

2^_y~x

【詳解】對于選項(xiàng)D:由題意可得，令函數(shù)/（%）=丫=市

IcosX

5”5開5兀57c

2不-2彳

⑴一~亙

5萬

T2

Src_54

（5%）2T-2-T

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?［了）=—五一＞°,故選項(xiàng)C排除；

T

對于選項(xiàng)B:當(dāng)X＞（）,且X無限接近于0時(shí),N-cosx接近于一1＜0,2*—2-*＞0，此時(shí)/（X）＜0.故選項(xiàng)B

排除；

故選項(xiàng):A

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐

一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

6.某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小

王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗“，為了弄清“天

道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：

小王說：“入班即靜''是我寫的；

小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；

小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.

若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜''的書寫者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個(gè)正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應(yīng)“入班即靜”，

而否定小董說法后得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；

若只有小董的說法正確，則小董對應(yīng)“天道酬勤”，

否定小李的說法后得出：小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，

所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯(cuò)誤的說法矛盾；

若小李的說法正確，則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，

則否定小董的說法得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，

所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.

所以“入班即靜”的書寫者是：小李.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.

7.AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，CO平分NACB,若屈=￡,CA=b<|?|=2,|^|=1,則前=()

2-1r1-23-4-4-3-

A.—a+—bB.-a+—brC.-ci-\—bD.—a+—b

33335555

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得富啜，再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.

由8平分ZACB,

【詳解】平分乙4CB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得絲=笑

DACA

又CB=a,CA=b?|"|二2‘W=1,

—=2,:.BD=2DA.

DA

__,__,22,—1-2-

..CD=CB+BD=CB+-BA=a+-b-a]=—a+—b.

33)33

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知F為拋物線/=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，則HFA「：FB||的值等

于（）

A.872B.8C.472D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

將直線方程y=x-l代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.

y2-

【詳解】F(l,0),故直線AB的方程為y=x-1,聯(lián)立方程組一，可得X2-6X+1=0,

y=x-\

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,XiX2=l.

由拋物線的定義可知：|FA|=Xl+l,|FB|=X2+1,

Al|FA|-|FB||=|x「X21=，(石+々)2—4/々=：36—4=4忘.

故選C.

點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

9.已知函數(shù)/(x)=cos(0x+e)[3〉O,O<e<^)的最小正周期為不，且滿足/(x+0)=/(0-x),則

要得到函數(shù)“X)的圖像，可將函數(shù)g(x)=sin@x的圖像()

A.向左平移三個(gè)單位長度B.向右平移展個(gè)單位長度

12

5萬5萬

C.向左平移二個(gè)單位長度D.向右平移蘭?個(gè)單位長度

12

【答案】C

【解析】

【分析】

依題意可得0=2,且x是/(x)的一條對稱軸，即可求出。的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計(jì)算可

得;

7T

【詳解】解：由已知得0=2,%是f(x)的一條對稱軸，且使/(x)取得最值，則3。=桁，<p=~,

兀71

/(X\)=cosIOcos2\x+—g(x)=sin2x=cos12x-5

_I12；2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.

10.設(shè)a=ln3,則力=lg3,則()

A.a+b>a-b>abB.a+b>ab>a-bC.a-h>a+b>abD.a-b>ab>a+b

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)換底公式可得人=工匠，再化簡比較ln3,lnlO-I,lnIO+l的大小，即得答案.

In10

【詳解】?."Z?=lg3=log103=-^1-,

...a+Mn3+U配2型ln3_ln3（ln10-l）

,u—b—In3一

?.?ln3>0,lnl0>0,顯然。+人>。一/?.

3e<10,...In（3e）<In10即In3+1<In10,，In3<In10—1,

In3xln3ln3（lnl0-l）

-------------<——---------------,B|Jah<a-h.

綜上，a+b>a-b>ab.

故選：A-

【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

11.在四面體尸—ABC中，△A3C為正三角形，邊長為6,PA=6,PB^S,PC=10,則四面體尸―ABC

的體積為()

A.8而B.8V10C.24D.16百

【答案】A

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出P8_L8C,分別取BC,PC的中點(diǎn)。，邑連結(jié)AZ),AE,0E,則AO,3C,AE，PC,Z)E_L3C,

推導(dǎo)出A￡，D￡,從而A￡J_平面PBC,進(jìn)而四面體P—ABC的體積為匕-8C=%""=；?S/BC-AE，

由此能求出結(jié)果.

【詳解】解：???在四面體P—ABC中，AAHC為等邊三角形，邊長為6,

PA=6,PB=S,PC=\0,

PB2+BC2=PC2，

:.PB±BC,

分別取BC,PC的中點(diǎn)2E,連結(jié)AO,AE,DE,

則AD±BC,AE±PC,DE1BC,

且AD=^^=3g，DE=4,AE=j36-25=VH，

AE12+DE2=AD2'

：.AEA.DE,

\PCC\DE=E,PCu平面PBC,O￡u平面PBC,

AE_L平面P3C,

，四面體產(chǎn)一ABC的體積為：

%-ABC=匕-PBC=q-S/Be，AE

=-x—xFBxJSCxA￡,=-x—x8x6xVil=8V1T.

3232

故答案為：8VFT.

【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力.

12.設(shè)一個(gè)正三棱柱A5C-D即，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面4BC的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著

棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上

底面的概率為片。，則/為()

1

B.+—

2

1

D.

⑶22

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為與.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條

2

路，其概率為§夕1；②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-e-.如果爬上來，其概率是

121

](1—4_J，兩種事件又是互斥的，可得6=561+3(1—6T)，根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識可得選項(xiàng).

【詳解】由題意，設(shè)第〃次爬行后仍然在上底面的概率為A.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為§￡T(〃22)；

②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-月_1,（"之2）.如果爬上來，其概率是

兩種事件又是互斥的,匕=|%+g（i—￡”），即匕1%+；，六匕4=?小一￡|,

‘?dāng)?shù)列是以;為公比的等比數(shù)列，而片=|,所以+;,

...當(dāng)“=10時(shí)，6o=g（；）+}

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識，得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系，這是常用的方

法，屬于難度題.

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.

展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】31

【解析】

【分析】

由二項(xiàng)式定理及其展開式得通項(xiàng)公式得：因?yàn)椋?一］的展開式得通項(xiàng)為工句=（-1）"25T-GxT,則

（3x—I）（"0的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：3x（—1）4仁+（—1丫以=14,得解.

［詳解］解:&=（/）'?25T.q洋-5,

則（3%-1）"2一1］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:

3x(-l)，2y『2。.以=31.

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，考查計(jì)算能力.

x+2y<l

14.設(shè)x,>滿足條件<2x+y2-l,則z=2x-3y的最大值為.

x-y<0

【答案】

3

【解析】

【分析】

2z2z

作出可行域，由z=2x-3y得y=—平移直線y=—數(shù)形結(jié)合可求z的最大值.

【詳解】作出可行域如圖所示

由z=2x-3y得y=—?jiǎng)t-（是直線在>軸上的截距.

平移直線y=當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)〃時(shí)，最小，此時(shí)z最大.

x=-

2元+y=-13

解方程組<得.

x-y=O

y=-I)

3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.

X2

15.已知雙曲線C:彳y

=1(a>0,Z?>0)左，右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過點(diǎn)片的直線與雙曲線的

a'

7

左，右兩支分別交于A，8兩點(diǎn)，若|AB|=|AE|,cosZBAF2則雙曲線。的離心率為

【答案】2西

3

【解析】

【分析】

設(shè)忸用=〃,M閭=〃7,由雙曲線的定義得出：|明|=2?+^M|=zn-2a,由|AB|=|整|得AAB"為

等腰三角形，設(shè)NAB居=/468=6,根據(jù)cosNBAE=1,可求出功/J_5怛用=5〃，得出

8

4\AF2\m

m=2n,再結(jié)合焦點(diǎn)三角形ABKK，利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】解：設(shè)忸閭=〃,恒閭=加，

由雙曲線的定義得出：

忸周一忸瑪|=2,則忸耳|=2+〃,

|:|一|七|=2",貝卜機(jī)一2a,

由圖可知：|A同=忸耳|一|4用=皿+〃一加，

又?.?圈=|初,

即4a+n—m=mf

則2m=4Q+〃，

??.\ABF2為等腰三角形，

7

,/cos/BAR=—,

28

設(shè)ZABF2=ZAF2B=0,

20+ZBAF2=7i,則26="一ZBAF2,

7

/.cos20-cos(7T-ZBAF)=-cosBAF-——,

228

71

gpcos20=2cos~90-1-——,解得：cos6=—,

84

,2_2=￡,解得：m=2n,

m4

4

.?.4雇=4。+〃,即3幾=4。，解得：n--a,

3

8

/.m--a,

3

在片鳥中，由余弦定理得：

忸用2+忸用2T月用

cosZ/^B/s=cos0-

2|明|颶|4

(2…)2+(〃j2=1=凈)+(￥)一府)

即:

2(2〃+〃)?幾41044

\72x——ax—a

33

解得：/哈度,即e+半

故答案為：宜5

3

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

16.不等式依+l+/nx〈x"對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，則。的取值范圍為.

【答案】（一8,1]

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為aw上上^「只對于（0,+8）內(nèi)任意X恒成立，令

X

“_/nr_1^x+\nx_11

...g(x)=^—rn—,則只需在定義域內(nèi)aWg(x)1rtli即可，利用放縮法e'Nx+1，

得出e'+Mx^x+lnx+l，化簡后得出g（x*n，即可得出a的取值范圍.

【詳解】解：已知冰+1+/加〈泥、對于定義域（0,+8）內(nèi)的任意》恒成立，

即a4"二/…!對于（0,+。）內(nèi)的任意x恒成立,

X

xex-Inx-1

令g(x)則只需在定義域內(nèi)aWg（x）訕即可,

X

/、xex-lnx-\e'nx-ex-\nx-\ex+'nx-\nx-\

g(x)=--------------=-------------------=------------------，

XXX

?.?e'Nx+l，當(dāng)x=0時(shí)取等號，

由e'Nx+l可知，ei^x+lnx+l，當(dāng)x+Inx=O時(shí)取等號,

e-—Inx—lx+lnx+l-lnx-1

，g(x)=>=1,

Xx

當(dāng)x+lnx=O有解時(shí)，

令/z(x)=x+lnx(x>0),則〃'(x)=1+』>0,

???/1(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又1<0,/?(1)=1>0,

.?.玉0€((),中?)使得〃(/)=0,

?■?^(XLn=1>

則。w1,

所以。的取值范圍為(，》』].

故答案為：(—co/].

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問題求參數(shù)值，涉及分離參數(shù)法和放縮法,

考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

億已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an=2an_x+2n-l(n>2),數(shù)列也｝滿足a=a“+2〃+3.

(I)求證數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,.

【答案】(1)見證明；(H)S?=3x2n+I-/?2-4/1-6

【解析】

【分析】

(I)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合凡一1=2a,-+2〃-1(“22)得出數(shù)列也｝是等比數(shù)列

(II)數(shù)列｛4｝是“等比-等差”的類型，利用分組求和即可得出前〃項(xiàng)和S..

【詳解】解：(I)當(dāng)〃=1時(shí)，q=1,故4=6.

當(dāng)〃22時(shí)，%=24_]+2〃-1,

則伉,=%+2〃+3=2a“_]+2〃-1+2〃+3=2(%+2〃+l)=2[a“_]+2(〃-1)+3],

b“=2b,

數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列.

(II)由(I)得勿=3x2",:.aH^btl-2n-3=3x2"-2n-3)

.,.S“=3(2+2?+…+2")-2(1+2+.-+〃)-3〃=3-2^^-H(H+1)-3H;

S“=3x2-i-〃2-4"-6.

b

【點(diǎn)睛】(I)證明數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列可利用定義法/~=%(4?0)得出

2-1

(II)采用分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.

18.如圖，三棱柱ABC-4MG的所有棱長均相等，用在底面ABC上的投影。在棱8。上，且人8〃平

面AOC

(I)證明：平面AOG工平面BCC4；

(II)求直線AB與平面AOG所成角的余弦值.

【答案】(I)見解析(II)上互

14

【解析】

【分析】

(I)連接4。交AG于點(diǎn)O,連接OD,由于AB"平面AOG，得出AIII。。，根據(jù)線線位置關(guān)系得

出ADL8C,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出與。，結(jié)合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面

ADC}_L平面8CGA；

（H）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法分別求出麗=0,6,0）和平面AOq的法向量

n=（-V3,0,2）,利用空間向量線面角公式，即可求出直線A3與平面AOG所成角的余弦值.

【詳解】解：（I）證明：連接4c交AG于點(diǎn)O,連接8,

則平面AyBCA平面AOG=OD,

?.?48〃平面4。。］,」.48〃（?,

?.?0為4。的中點(diǎn)，二。為的中點(diǎn)，:.AD±BC

?.?8Q_L平面ABC，ADLB.D

?.?8。八4。=。，.?.AD,平面BCC4，

QADu平面AOG，，平面ADG，平面8。。百

（II）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-型，設(shè)43=2

則B（T,0,0）,A僅,6,0）,瓦（0,0,@,C,（2,0,73）

.?.麗=（1,6,0）,DA=（0,V3,0）,DCi=（2,0,73）

設(shè)平面ADG的法向量為7=(x,y,z),則

=0

取x=—6得3=(-6,0,2卜

設(shè)直線AB與平面ADC,所成角為。

sin。

14

直線AB與平面ADG所成角的余弦值為—.

14

【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.

19.如圖，已知橢圓￡的右焦點(diǎn)為6(L0),P,。為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APQF?周長的最大值為8.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線/經(jīng)過入，交橢圓E于點(diǎn)A，B,直線機(jī)與直線/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)M，N,

\MNf=4\AB\,求證：直線加與直線/的交點(diǎn)T在定直線上.

22

【答案】(I)—+^-=1;(II)詳見解析.

43

【解析】

【分析】

（I）由橢圓的定義可得，APQK周長取最大值時(shí)，線段P。過點(diǎn)耳，可求出。，從而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

（II）設(shè)直線/:y=&（x-l）（左HO）,直線m:y=-&（x+f）,A（x,,y1）,3K,%），”（&,%），

N（天,”）.把直線m與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出|MN「和|,

根據(jù)=4|AB|求出f的值.最后直線加與直線/的方程聯(lián)立，求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.

【詳解】（I）設(shè)AP。居的周長為

則/=|「用+|眄|+|尸@=之一|「制+20-|0周+|尸叱=40-（|尸制+|明|）+|尸0

<4。一|尸。|+|尸。=4。，當(dāng)且僅當(dāng)線段P。過點(diǎn)月時(shí)“=”成立.

/.4c/=8?:.a=2,又?」c=l,=^3-

22

???橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1.

43

（II）若直線/的斜率不存在，則直線加的斜率也不存在，這與直線機(jī)與直線/相交于點(diǎn)丁矛盾，所以直

線/的斜率存在.

設(shè)/：3=左（兀-1）（�）,m:y=-k（x+t）,A（3,y）,5（孫必），M（七,%），Nk,%）-

將直線加的方程代入橢圓方程得：（3+4公卜2+8公b+4（公/-3）=0.

8k2t4（k2r-3）

同…m得"

由|MN「=4|A卻得f=0，此時(shí)△=64公產(chǎn)-16（3+4巧儼/_3）>0.

直線機(jī)：y=一近，

聯(lián)立直線m與直線/的方程得女

即點(diǎn)T在定直線彳='.

2

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，

屬于難題.

20.某商場以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)X的分

布列為：

X234

P0.4ab

其中0<a<l,0</><1

(I)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；

(H)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得利潤100元，若顧客選擇分3期付款，則

商場獲得利潤150元，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得利潤200元.商場銷售兩件該商品所獲的利潤記

為y(單位：元)

(i)求y的分布列；

(ii)若p(y43oo)20.8,求y的數(shù)學(xué)期望E(y)的最大值.

【答案】(I)0.288(II)(i)見解析(ii)數(shù)學(xué)期望E(y)的最大值為280

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意，設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為〃，由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出

77-5(3,0.4),利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求出結(jié)果；

(II)(i)依題意，y的取值為200,250,300,350,400,根據(jù)離散型分布求出概率和丫的分布列；(ii)

由題意知0.4+。+人=1,P(X<300)=0.16+0.48+?2>0.8,解得。<().6,根據(jù)V的分布列，得出V

的數(shù)學(xué)期望七(丫)，結(jié)合。70.4,0.6),即可算出七(丫)的最大值.

【詳解】解：(I)設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為〃，則〃?6(3,0.4),

貝ij=2)=《x(1—0.4)x0.42=0.288,

故購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.

(II)(i)依題意，丫的取值為200,250,300,350,400,

P(y=2(X))=0.4X0.4=0.16,P(y=250)=2x0.4a=0.8a,

P(Y=300)=2x0.48+/=o.助+/,p(y=35())=2a〃，P(Y=4(X))=b2

.?.y的分布列為：

Y200250300350400

P0.160.8a0.8/?+?22abb2

(ii)尸(y<300)=尸(y=200)+尸(y=250)+P(y=300)=0.16+0.8(a+b)+a2,

由題意知().4+a+Z?=l,人=0.6,.,.Z?=0.6—a,

P(y<300)=0.16+0.48+?2>0.8,

.-.a>0.4,又?.?/?>(),即0.6—a>0,解得a<().6,

.,.aG[0.4,0.6),

=320-100。,

當(dāng)a=0.4時(shí)，E(Y)的最大值為280,

所以y的數(shù)學(xué)期望E(y)的最大值為280.

【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件和二項(xiàng)分布的應(yīng)用，以及離散型分布列和數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力.

21.已知函數(shù)/(》)=空^,g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3?)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；

(H)函數(shù)“X)在區(qū)間(0,3〃)上的極值點(diǎn)從小到大分別為再，”,證明：/(x,)+/(x2)<0

【答案】(I)函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3〃)上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析(II)見解析

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意，g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論g(x)

在區(qū)間(0,3")的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題;

(II)求導(dǎo)，/'(%)=''c°s：；smx,由于〃力在區(qū)間((),3")上的極值點(diǎn)從小到大分別為西，%,求

L

出了(玉)+/(々)=——+——-=cosx,+cosx2,利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明出

%X2

/(^)+/(x2)<0.

【詳解】解：(I)?.,g(x)=x-osx-sinx,

/.g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

當(dāng)xe(O,?)時(shí)，；sinx>0,...g'(x)<0,

g(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,

??.g(x)在區(qū)間(0,乃)上無零點(diǎn);

當(dāng)xe(兀,2兀)時(shí)，vsinx<0,.*.g,(x)>0

；.g(x)在區(qū)間(%,2%)上單調(diào)遞增，g(%)=-〃<0,g(2萬)=2%>0

二g(x)在區(qū)間(?,2%)上唯一零點(diǎn)；

當(dāng)xw(2肛3乃)時(shí)，?.?sinx>0,

二g(x)在區(qū)間(2兀,3兀)上單調(diào)遞減，g(2%)=2萬>0,g(3〃)=-3乃<0；

二g(x)在區(qū)間(2兀,3兀)上唯一零點(diǎn)；

綜上可知，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3〃)上有兩個(gè)零點(diǎn).

(II).?.〃尤)=『

由(I)知在(0,句無極值點(diǎn)；

在(萬,2可有極小值點(diǎn),即為X”在(2乃,3句有極大值點(diǎn),即為詼,

由x“cosx“一sinx“=0,即%=tanx“，〃=1,2...

?/x2>xt,tanw>tan(%1+