屆廣州六中高三數(shù)學上學期第三次調(diào)研試卷2024.01數(shù)學本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題卡前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、座位號等相關信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題是必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和徐改液，不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一、單選題（本大題8小題，每小題5分，共40分）1．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則其共軛復數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．i2．已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A． B． C．7 D．83．在平行四邊形中，，，則（

）A． B．C． D．4．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．已知首項為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．8．已知A，B，C，D是橢圓E：上四個不同的點，且是線段AB，CD的交點，且，若，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．2二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為2C．若，則的最大值為2D．若，則10．已知點為雙曲線上的任意一點，過點作漸近線的垂線，垂足分別為，則（）A．B．C．D．的最大值為11．已知正方體，點滿足，下列說法正確的是（

）

A．存在無窮多個點，使得過的平面與正方體的截面是菱形B．存在唯一一點，使得平面C．存在無窮多個點，使得D．存在唯一一點，使得平面12．在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則的外接圓的面積為B．若，且有兩解，則b的取值范圍為C．若，且為銳角三角形，則c的取值范圍為D．若，且，O為的內(nèi)心，則的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知等差數(shù)列的前項和為，能夠說明“對，若，則”是假命題的的一個通項公式為.14．若的展開式中只有第項的系數(shù)最大，則該展開式中的常數(shù)項為．15．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為.16．若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.17．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和為．18．在中，角，，對應的邊分別為，，且.(1)求角；(2)，，點在上，，求的長.19．如圖1，已知正三角形邊長為4，其中，現(xiàn)沿著翻折，將點翻折到點處，使得平面平面為中點，如圖2.(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的余弦值.20．已知在一個不透明的盒中裝有一個白球和兩個紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗的規(guī)則如下：試驗者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個小球，從第一輪開始，若試驗者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗成功，并停止試驗.否則再將一個黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進行下一輪試驗.(1)若規(guī)定試驗者甲至多可進行三輪試驗（若第三輪不成功，也停止試驗），記甲進行的試驗輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；(2)若規(guī)定試驗者乙至多可進行輪試驗（若第輪不成功，也停止試驗），記乙在第輪使得試驗成功的概率為，則乙能試驗成功的概率為，證明：.21．已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性.(2)是否存在兩個正整數(shù)，，使得當時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.1．A【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義，結(jié)合復數(shù)虛部的概念求解即可.【詳解】因為，所以，所以共軛復數(shù)的虛部為，故選：A.2．C【分析】化簡集合A，根據(jù)真子集定義求解.【詳解】由，解得，，所以集合A的真子集有個.故選：C.3．B【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求解.【詳解】,故選：B

4．C【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進行討論即可求得答案.【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時，得，；若0不在定義域內(nèi)，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．5．A【分析】由可判斷充分性；取可判斷必要性.【詳解】在等比數(shù)列中，，則，當時，，所以單調(diào)遞增，故充分性成立；當單調(diào)遞增時，時，單調(diào)遞增，但是推不出，故必要性不成立.故選：A.6．A【分析】由題意得函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，由零點存在定理可知函數(shù)的圖象與軸有交點，結(jié)合排除法、檢驗法即可得解.【詳解】因為的定義域為，又，可知函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C選項；當時，有，，此時，當時，有，，此時，所以函數(shù)的圖象與軸有交點，故排除B，D選項.而A選項滿足上述條件.故選：A.7．A【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.【詳解】因為異面直線所成角的范圍是，故當時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A【點睛】異面直線所成角的范圍是，當兩條直線所成角為時，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點的方法，然后利用體積公式來求得三棱錐的體積.8．C【分析】設出點的坐標，由得到，列出方程，得到，分別把代入橢圓，得到，同理得到，兩式相減得到，利用直線垂直斜率的關系求出直線l的斜率.【詳解】設，因為，故，所以，則，又都在橢圓上，故，且，兩式相減得：，即①，同理可得：②，②－①得：，所以，因為，所以直線l的斜率為.故選：C【點睛】直線與圓錐曲線相交涉及中點弦問題，常用點差法，該法計算量小，模式化強，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點問題時，也可以用點差法的升級版—定比點差法，解法快捷.9．AD【分析】利用作差法比較大小判斷A，利用基本（均值）不等式判斷BCD，要注意“一正二定三相等”.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD10．BCD【分析】對A找到反例即可；對B利用點到直線距離公式計算即可；對C，利用二倍角的余弦公式和向量數(shù)量積的定理計算即可；對D利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】對A，當趨近于無窮遠處時，故A錯誤；對B，設點，滿足，即，又兩條漸近線方程分別為，即，故有，故B正確；對C，設漸近線的傾斜角為，則，所以，故C正確；對D，由C可知，，所以為定值，故D正確.故選：BCD.

11．ACD【分析】對于A：取線段的中點，過點作正方體的截面，然后證明點在線段上時可滿足條件；對于B：通過證明面面，當點在線段上時，有平面；對于C：通過證明面，當點在線段上時，有；對于D：通過證明面，當點在點位置時，有平面.【詳解】點滿足，即點在正方形內(nèi)（包括正方形的四條邊）上運動，對于A：取線段的中點，過點作正方體的截面，因為面面，面面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知如果一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行，所以有，即四邊形為平行四邊形，又為線段的中點，則有，所以四邊形為菱形，所以當點在線段上時，過的平面與正方體的截面是菱形，故有無窮多個點，使得過的平面與正方體的截面是菱形，A正確；

對于B：在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊行，所以，又面，面，所以面，同理可得面，又，面所以面面，當點在線段上時，有平面，故有無窮多個點，使得平面，B錯誤；

對于C：連接，根據(jù)正方體可得，又面，所以面，又面，所以，同理，又面，所以面，當點在線段上時，有，故有無窮多個點，使得，C正確；

對于D：由選項證明面同理可證明面，過平面外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，當且僅當點在點位置時，有平面，所以存在唯一一點，使得平面，D正確.

故選：ACD.【點睛】方法點睛：對于立體幾何中，針對找某點滿足某種位置關系的問題，可以將問題進行轉(zhuǎn)化，如找點滿足線面平行，可以轉(zhuǎn)化為找面，使面面平行，找點滿足線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為找面，使線面垂直.12．ACD【分析】先由正弦定理得到，選項A，求出，進而由正弦定理得到的外接圓的半徑和表面積；B選項，又余弦定理得到，將其看做關于的二次方程，結(jié)合方程有兩正解，得到不等式，求出b的取值范圍；C選項，由正弦定理結(jié)合得到，再根據(jù)為銳角三角形得到，從而得到c的取值范圍；D選項，由正弦定理得到，，結(jié)合三角恒等變換得到，從而得到，，，由求出，由直角三角形性質(zhì)得到內(nèi)切圓半徑，進而求出的面積.【詳解】因為，所以由正弦定理，得，即，因為，所以，且，所以.選項A：若，則，所以的外接圓的直徑，所以，所以的外接圓的面積為，選項A正確；選項B：由余弦定理得，將此式看作關于的二次方程，由題意得此方程有兩個正解，故，解得b，所以選項B錯誤；選項C：由正弦定理，得，即，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，即，所以，所以，故選項C正確；選項D：因為，由正弦定理得，因為，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因為，所以，故，，解得，因為，所以，即是直角三角形，所以內(nèi)切圓的半徑為，所以的面積為，選項D正確.故選：ACD.【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.13．（答案不唯一）【分析】由命題為假命題，則符合條件的等差數(shù)列遞減且即可.【詳解】等差數(shù)列的前項和為，若“對，若，則”是假命題，只需等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即可，符合題意.故答案為：14．210【詳解】由于只有第6項的系數(shù)最大，所以n=10，所以展開式的通項公式為，則當r=6時，展式式中為常數(shù)項，所以常數(shù)項為210.故答案為：210.15．【分析】由球的表面積計算出球的半徑，設出該正四棱錐底面邊長及高，由球的半徑可得底面邊長與高的關系，求出該正四棱錐體積的表達式，結(jié)合導數(shù)計算即可得.【詳解】由，故該球半徑，設正四棱錐底面邊長為，高為，則，，則有，化簡得，，令，則，故當時，，當時，，即有極大值，即該正四棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于得出體積的表達式后構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性后可得最值.16．【分析】先討論m的范圍，當時，利用導數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當時，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個交點，記為，

則當時，，即，不滿足題意；當時，令，則，令，則，因為單調(diào)遞增，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以時，有最小值，又對恒成立，所以，即，所以，當且僅當時等號成立.令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的取值范圍為.故答案為：【點睛】難點點睛：本題屬于恒成立問題，難點在于將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題，以及利用m，n的不等關系將二元化一元，此處應注意保證任何時候都能取到等號.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得到數(shù)列的通項公式；（2），結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進行分組求和.【詳解】（1）①，當時，，解得，當時，②，式子①-②得，故，因為，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導公式和正、余弦定理計算即可求解；（2）由（1），利用余弦定理求出AC，設，再次利用余弦定理表示，建立關于x的方程，解之即可求解.【詳解】（1）由題意知，，得，由余弦定理，得，即，所以，由，得.（2）由（1）知，，所以，即，由，解得，即，設，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，即，解得，所以.19．(1)(2)【分析】（1）設O為BC的中點，結(jié)合圖形翻折的性質(zhì)推出平面，建立空間直角坐標系，求得相關線段長，即可求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，即可求得異面直線與所成角的余弦值；（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取的中點為的中點為，連接與，正三角形中，，所以，則四邊形為等腰梯形，故；由翻折性質(zhì)可得，,則≌，是的中點，，平面平面，平面平面平面，平面平面，以點為坐標原點以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，正的邊長為，則為正三角形，邊長為3，則，，連接，在中，由勾股定理得，，則，，異面直線所成角的取值范圍為，異面直線與所成角的余弦值為.（2）由（1）得，，，易得平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，，平面與平面夾角的余弦值為.20．(1)分布列見解析，(2)證明見解析【分析】（1）由條件確定的取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（2）由（1）中的結(jié)論及結(jié)合題意寫出每一輪的概率，結(jié)合概率乘法公式從而求解.【詳解】（1）由題意得，的可能取值為，在第一輪中，試驗者每次抽到白球的概率為，，依題意，在第二輪中，盒中有一個白球，兩個紅球和一個黃球，每次摸到白球的概率為，，易知，的分布列為：123的數(shù)學期望.（2）證明：當時，不難知道，，，由（1）可知，又，，.即.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是得到，再利用裂項求和即可證明出不等式.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的焦點坐標、雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式可求；（