圓的基本性質(zhì)

考點(diǎn)1圓周角定理及其推論

1.[2021湖北宜昌]如圖，C〃是。。上直徑用兩側(cè)的兩點(diǎn).若N/8O25°,則N勿C=()

2.[2021湖北荊州]如圖,矩形以比1的邊OA,"分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)〃在OA的延

長(zhǎng)線上.若加2,0),。(4,0),以點(diǎn)。為圓心，?！ㄩL(zhǎng)為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,交y軸正半軸于點(diǎn)瓦

連接比;應(yīng);則/版的度數(shù)是()

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

3.[2021遼寧本溪]如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)46,，都在格點(diǎn)(網(wǎng)格線

的交點(diǎn))上，以48為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)D,則tan/和七.

4.[2021安徽]如圖，圓。的半徑為1,△45C內(nèi)接于圓0.若//40°,N8=75。，則四三

5.[2021江蘇宿遷]如圖，在RtA46C中，NABC柳°,N小32。，點(diǎn)C在。。上,邊AB,AC分

別交。。于點(diǎn)D,E,點(diǎn)6是先的中點(diǎn),則//酒.

6.[2021安徽]如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,5交于點(diǎn)E.

(1)點(diǎn)M是必的中點(diǎn)，〃聆3,CD=\2,求圓〃的半徑長(zhǎng)；

⑵點(diǎn)廠在CD上,且CE=EF,求證:"1L血.

考點(diǎn)2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

7.[2021吉林]如圖，四邊形力靦內(nèi)接于。0,點(diǎn)尸為邊力〃上任意一點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)4〃重合）,

連接CP.若/6=120。，則N4/T的度數(shù)可能為（）

8.[2021海南]如圖，四邊形485是。。的內(nèi)接四邊形，跖是的直徑,連接若/比

/%〃，則/加￡的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

9.[2020湖北黃石]如圖，點(diǎn)A,B,。在。。上,CDLOA,CEVOB,垂足分別為D,E.若/〃公40°,

則//龍的度數(shù)為()

A.140°B.70°C.110°D.80°

10.如圖,等邊三角形/勿內(nèi)接于。。，點(diǎn)〃是能上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,BD,CD,延長(zhǎng)〃。到點(diǎn)E,使

CE=BD,連接AE.

(1)求證:△/〃￡是等邊三角形.

(2)填空：

穌BD=\,CD2則4?的長(zhǎng)為;

②連接OB,OC,當(dāng)N陰〃的度數(shù)為時(shí)，四邊形OBDC為菱形.

【能力提升】

1.[2021山東聊城]如圖,A,6,C是半徑為1的Q0上的三個(gè)點(diǎn),若AB=yf2,廬30°,則N/16C、

的度數(shù)為()

A.95°B.100°C.105°D.110°

2.[2021山東泰安]如圖，四邊形被以是。。的內(nèi)接四邊形，N企90°,Z

809=120°,AB209=1,則力。的長(zhǎng)為()

A.2V3-2B.3-V3C.4-V3D.2

3.[2021湖北黃岡]如圖，是RtZUSC的外接圓，施工血交。。于點(diǎn)七垂足為點(diǎn)D,AE,CB

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若勿=3,4/8,則尸C的長(zhǎng)是（）

A.10B.8C.6D.4

4.[2021湖北十堰]如圖，△/比內(nèi)接于OZ54C=120°,AB=AC,故是O。的直徑，若49=3,則

BC=()

A.2V3B.3V3C.3D.4

5.[2021湖北武漢]如圖,4?是O。的直徑,優(yōu)'是。。的弦,先將命沿8c翻折交4?于點(diǎn)D,再

將俞沿翻折交比■于點(diǎn)笈若筋=施,設(shè)N/6C=a,則"所在的范圍是（）

A.21.90<a<22.3°B.22.3°<a<22.7°

C.22.7°<a<23.1°D.23.1°<23.5°

6.定義:三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該

三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

（1）如圖（1）,/￡是4胸中//的遙望角，若請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示

⑵如圖⑵，四邊形/靦內(nèi)接于GO,AD-BD,四邊形/靦的外角平分線加交。。于點(diǎn)F,連

接即并延長(zhǎng)交徵的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：N8%是中/囪1C的遙望角.

答案

1.D：工8是。0的直徑，.：/水選90°,.：/物。90°-NABC$5°,；.NBDC=/BAC$5°.

2.C如圖,連接我在矩形物回中，/OAB由；：0B=0D4,0A2；"AOB$Q°,；"BE吟

ZBOD3Q°.

3.-由題意可知N4儂90°,NADC=NAB&所以tan/49C=tanN4?*3

2BC2

4.V2如圖，連接8。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)〃連接/〃繆，則胡。40°.：?刃是00的直

桂，.：NBAD=NBCDWQ：；.2CBD§0°-NBDCA0。，：.NABD=NABC-NCBDa5°,.：

AB當(dāng)BD與X2JL

5.13°如圖，連接?。?龍?90°,,：〃。是。。的直徑.7點(diǎn)8是夕的中點(diǎn)，.:詫癡，.:

/BCD=4BDC&50.

VZABC=Q0°,ZJ-32°,r.ZACB^O0-32°-58°,/.ZABE=ZACD=58°Y5°=13°.

6.⑴如圖,連接OC,ODy則OC=OD.

又因?yàn)辄c(diǎn).〃是切的中點(diǎn),且CD=\2,

所以CM=DM^>,OMVDM.

在RtZXQM中，由勾股定理,得OD^OM2+MD2W32+62=3V5,

所以圓。的半徑長(zhǎng)為3西.

(2)證明：如圖,連接AC,延長(zhǎng)AF交劭于點(diǎn)N.

在△力￡■，與△/所中，

AE=AE,ZAEC=AAEF,CE=EF,

所以

所以N￡4C=NE4汽

又因?yàn)镹BAC=4BDC,

所以ZAND=NBAN+NABN=NCDB+NABDWQ°,

B[JAFVBD.

7.D:,四邊形｛靦內(nèi)接于G)〃,.：ZJ9=180°-/岳6)°.是的一個(gè)外角，.：N

APOAD.故選D.

8.A:,四邊形46(力是。。的內(nèi)接四邊形，.：/胡。+NG180°.又/。2N物以.：/的。40°.

:,比■是。。的直徑，

.：NBAE$Q°,.：NDAE=/BAE-NBAD挈°~60°30°,故選A.

9.C如圖，在優(yōu)弧48上取一點(diǎn)上連接":朋?:CD工OA,CE1OB,NCDO=4CEO小。.:乙

DCE20。，.:NM￡=140°,.：/H0°,.：//第=180°-70°=110°.故選C.

10.⑴證明::'△/比■是等邊三角形,

.'.AB=AC,ZABC^>0°.

VZACE+ZACD=18O°,NABD+NACD=18Q°,

；.NACE=NABD.

又CE=BD,

.'./\ABD^/\ACE,.；AD=A￡

又NADE=/ABC』Q°,.：△〃應(yīng)是等邊三角形.

⑵@刎°

解法提示：⑦：.△/然是等邊三角形，

.：AD=DE=DC+CE=DC+BD=^+1=3.

(g漣接0D,則OD=OB.

:?四邊形哂是菱形，

.:仍=切,.：△〃必是等邊三角形，

；.NBOD$Q：.：NBAD3/B0D4Q°.

2

提升練

1.C如圖，連接OB,貝IJOA=OB=\.又；AB5,；.O代+O^=Ai.,.ZAOS^O°,.".ZACB^Z

A0B=^5°,

.：/160180°-30°-45°=105°.

2.C如圖,延長(zhǎng)他8C交于點(diǎn)E:,四邊形/a?是。0的內(nèi)接四邊形,4戶2,G9=l,/

8a月20°,N戶90°,.：N/W0°,

NADCRQ°,；.NCDE$G°,ZDCE=60°,.：/百0。-60°=30°.在RtZ\4跖中，/

在RtZ\CZ/中,DE-CDW3,

tan300

.".AD=AE-DE=\^3,故選C.

3.A在。。中，OEVAB,.\AD^AB^X^>=\.又：0D$,.：OA^AD2+OD2-V42+32^5.:FC為

直徑，，N/13CqO°=ZAD0,

/.OD//BC.又V0A=0C,.：Z為△"￡1的中位線，.：R>2龐顯力=10.

4.C連接CD,如圖.：'四邊形/胸是。。的內(nèi)接圓，；.ZBDC=\8Q°-ZBAC=60°.；BD是00

的直徑，二/腿=90°,則/物-90°-NBDCW°.;AB=AC,NBAC=120；.：Z/lffC=30°,貝lj

NABD$Q::.ZABD=NBDC,易得BC=AD=2).

5.B如圖，連接/G施/根據(jù)題意可知念，先，命所在的圓的半徑相等.由/ABC=NDBC=

/〃鹿;易得AC=CD=DE.

\'BE=DE,.\DE=BE,.：4EDB=/D