未知驅(qū)動探索，專注成就專業(yè)PAGE\MERGEFORMAT2東北《高等數(shù)學(xué)(二)》在線平時作業(yè)1一、題目描述本次在線平時作業(yè)涵蓋《高等數(shù)學(xué)(二)》課程的相關(guān)知識點。共包含五道題目，范圍包括函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及曲線的切線與法線等內(nèi)容。二、題目詳解題目1：函數(shù)極限已知函數(shù)$f(x)=\\sin(x)\\cdot\\cos(x)$，求$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$的值。解答：我們可以利用三角函數(shù)的性質(zhì)來求解此題。我們將函數(shù)$f(x)=\\sin(x)\\cdot\\cos(x)$轉(zhuǎn)化為一個更簡單的形式。通過三角恒等式，我們知道$\\sin(2x)=2\\sin(x)\\cos(x)$。可以得到以下變換：$$f(x)=\\frac{\\sin(2x)}{2}$$接下來，我們計算$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$。由于$\\sin(2\\frac{\\pi}{4})=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)，我們可以得到：$$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)=\\frac{\\sin(2\\cdot\\frac{\\pi}{4})}{2}=\\frac{1}{2}$$$\\lim_{x\\to\\frac{\\pi}{4}}f(x)$的值為$\\frac{1}{2}$。題目2：函數(shù)的連續(xù)性已知函數(shù)$g(x)=\\begin{cases}x,&x\\geq0\\\\1x^2,&x<0\\end{cases}$，判斷函數(shù)g(x)在解答：要判斷函數(shù)g(x)在x=0當(dāng)$x\\geq0$時g(g(x)在當(dāng)x<0g(x)=1g(x)在x=0處連續(xù)。函數(shù)g(題目3：導(dǎo)數(shù)計算已知函數(shù)$h(x)=\\ln(\\sin(x)+\\cos(x))$，求h′解答：為了求解函數(shù)h(x)的導(dǎo)數(shù)，我們可以利用鏈?zhǔn)椒▌t。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，如果h(x)=f(g(xh(x)=f(g(我們知道$\\fracgmq8y2y{du}\\ln(u)=\\frac{1}{u}$，所以$f'(u)=\\frac{1}{u}$。對于$g(x)=\\sin(x)+\\cos(x)$，我們可以利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式來求其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式，$\\fraca0uc02w{dx}\\sin(x)=\\cos(x)$和$\\fraccsco0yk{dx}\\cos(x)=\\sin(x)$。$g'(x)=\\cos(x)\\sin(x)$。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，我們可以得到$h'(x)=f'(g(x))\\cdotg'(x)=\\frac{1}{\\sin(x)+\\cos(x)}\\cdot(\\cos(x)\\sin(x))$。$h'(x)=\\frac{\\cos(x)\\sin(x)}{\\sin(x)+\\cos(x)}$。題目4：曲線的切線與法線已知函數(shù)y=x3+2x2?x解答：要求曲線y=x3+2x求出曲線y=x將切線斜率代入點斜式方程，求出切線方程。利用切線的斜率與法線的斜率關(guān)系，求出法線方程。我們求出曲線的導(dǎo)數(shù)。對函數(shù)y=x3+2接下來，我們求切線方程。曲線的切線斜率等于曲線上某點的導(dǎo)數(shù)值。在(1,2)處，曲線的切線斜率為y′(1)=3(1\\frac{1}{6}$。將法線斜率和曲線上某點(1,2)2=\\frac{1}{6}(x1)$。曲線y=x3+2x2?x在點2=\\frac{1}{6}(x1)$。題目5：綜合題已知函數(shù)z=x2+y2，求函數(shù)z=x2+解答：題目中給出了一個函數(shù)z=x2+y2和一個橢圓方程x2+4y2=10，要求函數(shù)z=x2+y2在點(1,?2)處沿橢圓x2+4y2接下來，我們將點(1,?2)代入橢圓方程x2+4y2=10，得到12+4(?2)2=21。點(1,?2)不在橢圓上。我們可以利用橢圓方程x2+4y2=10的法線方程來求解。法線方程可以表示為$\\frac{x}{a^2}+\\frac{y}{b^2}=1$，其中a和三、本次在線平時作業(yè)涵蓋了《高等數(shù)學(xué)(二)》課程中的函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及曲線的切線與法線等知識點。通過解答題目，我們對這些知識點有了更深入的理解。通過計算函數(shù)的極限、判斷函數(shù)的連續(xù)性，我們可以更好地理解函數(shù)在特定點的行為和性質(zhì)。而導(dǎo)數(shù)的計算則可以幫助我們求解