21、簡單幾何體的表面積與體積7種?？碱}型

【考點分析】

考點一：多面體的表面積和體積

①柱體

1.棱柱的側(cè)面展開圖：棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱

柱的底面周長，如圖①所示；

圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②

所示.

2.柱體的表面積：柱體的表面積S&=S慨+2S底.

3.柱體的體積

柱體的底面積S,高為兒其體積V=SA.

②錐體

1.側(cè)面展開圖：棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個三角形拼成的，則側(cè)面積為各個三角形面積的

和，如圖①所示；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形

的弧長等于圓錐的底面周長，如圖②所示.

2.錐體的面積：錐體的表面積S表=Sfs+S族.

3.錐體的體積

錐體的底面積為S,高為h,其體積V=如.

③臺體的表面積

1.側(cè)面展開圖：棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形拼接而成的，則側(cè)面積為各個梯形面積的

和，如圖①所示；圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，其側(cè)面積可由大扇形的面積減去小

扇形的面積而得到，如圖②所示.

圖①

2.臺體的表面積：臺體的表面積S&=S陽+SI舉+SF底.

3.臺體的體積

臺體的上、下底面面積分別是s、s,高為h,其體積v=/s+√k+sχ.

③球的表面積和體積

1.球的體積

球的半徑為R,那么它的體積V=

2.球的表面積

球的半徑為R,那么它的表面積S=4πR2.

【題型目錄】

題型一：棱柱表面積體積

題型二：棱錐表面積體積

題型三：棱臺表面積體積

題型四：圓柱表面積體積

題型五：圓錐表面積體積

題型六：圓臺表面積體積

題型七：球的表面積體積

【典型例題】

題型一：棱柱表面積體積

【例1】如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔,

則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（）

【答案】C

【分析】先明確題目的含義：正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，計算即可

【詳解】正方體無論從哪一個面看，都有兩個宜通的邊長為1的正方形孔，

正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，

表面積等于正方體的表面積減去12個表面上的小正方形面積，

加上6個棱柱的側(cè)面積，減去6個通道的6個小正方體的表面積.

50=6x25—12+6x4x5-6x6=222.

【例2】已知長方體所有棱的長度之和為28,一條對角線的長度為J萬，則該長方體的表面

積為（）

A.32B.20C.16D.12

【答案】A

【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為d"c,因長方體所有棱的長度之和為28,所以

4（α+0+c）=28,即α+"c=7,因一條對角線的長度為后，所以/+從+Ο2,

l*l（a+h+cf=a1-jrb'+c2jt-2ab+lac+2hc=49,解得αλ>+αc+Z?C=I6,所以該長方

體的表面積為2a/?+2ac+2Z?c=32

【例3】如圖1,一個正三棱柱容器，底面邊長為1,高為2,內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把

一個側(cè)面作為底面，如圖2,這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是.

【詳解】棱柱的體積公式是V=SZi,其中S是q底面積，Zi是高.在圖2中，水面是中截面，

水面以上部分是→三棱柱，所以這個三棱柱的底面積是原來三棱柱底面嗚，從而這個小

三棱柱的體積是大棱柱體枳%（高一樣），所以水的體積是大三棱柱體積畤，那么圖1

中水面的高度是棱柱高的：3，即為∣3?.

【例4】我國古代建筑的屋頂對建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有虎殿式、

硬山頂、歇山頂、懸山頂攢尖頂、盤頂、卷棚頂?shù)阮愋停渲杏采绞轿蓓斣煨偷淖畲筇攸c是

比較簡單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山

面裸露沒有變化.硬山式屋頂（如圖1）可近似地看作直三棱柱（如圖2）,其高為Iom,CC1

到平面AB4A的距離為1.5m,AB為4m,則可估算硬山式屋頂?shù)捏w積約為（)

A.15m3B.30m,C.45m3D.60m,

【答案】B

【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式求解即可.

【詳解】解：如圖，過C作CDLAe于

由題意可知，在直三棱柱中，CG到平面A叫A的距離為1.5m,

即CD=I.5m,乂CCI=Iom,AB-Am

所以該柱體體積為V=SA8C?CC∣=gX4X1.5X10=30π√

【例5】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒，現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬

紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為G的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包

裝盒的表面積為.

【答案】48√3

【分析】作出輔助線，求出包裝盒的側(cè)面積和底面積，相力口求出表面積.

t詳解】如圖，取正六邊形的中心為0,連接。COE,則點F在OE上,

由正六邊形的每個內(nèi)角為2寧兀.

RF

按虛線處折成高為有的正六棱柱，即BF=6，所以BE=—%=1，

tan600

可得正六棱柱底面邊長AB=6-2x1=4,所以正六棱柱的側(cè)面積S∣=4x6x石=24石,

其中S?！?[OCOFSin600='x4x4X3=4壞，

ocf222

所以底面積為S2=6×4Λ∕3=24有

所以無蓋正六棱柱包裝盒的表面積S=S∣+S2=24b+246=48√L

【題型專練】

1.已知直三棱柱底面的一邊長為2cm,另兩邊長都為3c，w,側(cè)棱長為4C?"3它的側(cè)面積為

體積為—.

ABC-48∣C∣為直三棱柱，AB=AC=3,BC=2,AΛι=4.

它的側(cè)面積為：4×(2+3+3)=32cW.

3

^ABC-AlB1c1=2x2x弋9_1×4=8λ∕2c∕n.

2.如圖，已知正方體的棱長為“，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱

柱，則該四棱柱的全面積為()

Sl圖2

2

A.（8+20）/B,（2+4忘）/c（4+2√∑WD.（β-4√2）a

【答案】C

【分析】拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，據(jù)此

變化，進行求解.

【詳解】由題意，拼成的兒何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形

面，

由于截面為矩形，長為缶，寬為a,所以面積為

所以拼成的幾何體的表面積為4/+2√2α2=（4+2拒）/.

3.在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷

器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是

六棱柱形.如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為18.7cm,底面邊長為7cm（數(shù)據(jù)為筆筒

的外觀數(shù)據(jù)）,用一層絨布將其側(cè)面包裹住,忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為（）

A.120cm2B.162.7cm2C.785.4cm2D.1570.8cm2

【答案】C

【詳解】根據(jù)正六棱柱的底面邊長為7cm,得正六棱柱的側(cè)面積為6x7x18.7=785.4,所以

至少需要絨布的面積為785.4cm）

4.如圖，用若干棱長為。的小正方體組成一個模型，該模型的表面積是.

【答案】56a2

【分析】由幾何體模型，分別計算側(cè)面積、各部分上底面積，求和即可得解.

【詳解】根據(jù)所給幾何體，分別求得每層的側(cè)面積，再加上下底面積，減去覆蓋部分的面積,

可知表面積為：S=4(4/+342+2/+/)+(16-9+9-4+4-1+1)/=40/+1642=56/

5.底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為體對角線長為布，則這個棱柱的側(cè)

面積是.

【答案】8

【分析】根據(jù)勾股定理即可求出底面邊長與高，再求出側(cè)面積即可.

【詳解】如圖所示：

AB

BD=-Ji，.-.AS=AO=L

22

又BDI=娓,.?.y∣l+1+DD;=√6.

解得：DDl=2,

所以棱柱的側(cè)面積S=l×2×4=8.

6.已知直平行六面體的底面是菱形，若過不相鄰的兩對側(cè)棱的截面面積分別是3和4,則這

個平行六面體的側(cè)面積是.

【答案】10

【分析】設(shè)直平行六面體的高,根據(jù)直平行六面體的性質(zhì)結(jié)合截面面積得到底面菱形的邊長，

從而根據(jù)直平行六面體的側(cè)面積公式求解.

【詳解】如圖，

因為六面體ABC'。-ABC。是直平行六面體，則截面AACC',BB">'均為矩形,

設(shè)側(cè)棱HA=BlB=h,因為截面AACaBr80。的面積分別是4m2和3∏Λ

43

則AC=-,BD=—.

hh

設(shè)4C與8￡＞相交于點0,

1213

則由底面ABCO是菱形得ACVBD,AO=-AC=-,BO=-BD=―,

2h22h

則在RtAAOB中,

所以直平行六面體AW?！?。的側(cè)面積為4x￡x〃=?θ.

7.如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA=I2.若側(cè)面A4由史水平放置時，液面恰

好過AC,BC,AιCι,B/C/的中點.當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為.

【分析】先根據(jù)條件將水的實際體積算出，再根據(jù)棱柱的體積公式即可算出當(dāng)?shù)酌鍭8C水平

放置時，液面高度.

【詳解】設(shè)45C的面積為X,底面A8C水平放置時，液面高為〃

則水的體積為V=12x-12x,x=9x

4

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水的體積為V=x?∕ι=9x,解得力=9

題型二：棱錐表面積體積

[例1]（2020?新課標I）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正

四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)

面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

下一1B,小一1C.有+1D.下+1

4242

【答案】D

【解析】如圖，設(shè)CD=a,PE=b,則Po=JPE2一。后2

I21J1

由題意「。？=一αb,即后一三=,〃6,化簡得4(^)2-2-2-1=0,

【例2】如圖，在體積為16的斜三棱柱ABC-ABC中，P為棱AA上一點，三棱錐PABC

的體積為4,則三棱錐尸-44G的體積為()

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】A

【分析】結(jié)合柱體、錐體體積公式以及幾何體的結(jié)構(gòu)求得正確答案.

【詳解】設(shè)三棱柱ABC-A用G的底面積為S,其高為/2,

設(shè)三棱錐P-ABC的高為4,三棱錐P-AqG的高為為，

則Sh=I6,所以

1=ΛI+Λ2,S(Λl+Λ2)=16,

即S∕?+SA2=16,又％τ8c=gs4=4,即S4=12,

所以SΛ2=16-SΛ1=16—12=4,

14

所以%W=a佃=].

【例3】“塹堵”“陽馬”和“整輔”是我國古代對一些特殊幾何休的稱謂.《九章算術(shù).商功》：“斜

解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為整席“，即一個長方體沿對角面斜解（圖

1）.得到一模一樣的兩個塹堵（圖2）,再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2）,得

一個四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個三棱維稱為整膈（圖4）.若長方體的體積為匕由該長方

【答案】D

【分析】根據(jù)棱錐，棱柱的體積計算公式，結(jié)合題意求解即可.

【詳解】設(shè)長方體的長寬高分別為α,b,c,V=abc

則K=—=—abc,Vζ=-xabc--abc,V=-×-×abc=—abc,

2233i326

31

故K+匕+V="c=V,V=^-V,匕=2匕，?=-V,則ABC錯誤，D正確；

i1226

【例4】距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的一種茅屋如圖1所示，該茅

屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道.甬道形似從一

個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一頭與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一頭

是一個等腰直角三角形.如圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為8m,

BC/∕EF,Aβ=AC=2√2m,ABlAC,點。在正四棱錐的斜高P”上，A￡>_L平面ABC

且AQ=3應(yīng)m?不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（）

??m,θ竽m'C.D.竽/

【答案】C

V

［分析］過E作ENHAB交AD于M連接NF,所求體積V=%棱俳+VABe-NEF+D-NEF,根據(jù)條

件求計算體積時所需要的長度.

設(shè)。為正四棱錐底面中心，連接PO,OH,則∕W=4√J,OH=4,

PO=-JPH2-OH2=4√2-

tanZPWO=-=√2,

OH

取BC的中點M,連接AM,

過。作。GLOH「G,則。G=AM=2,

DG

在直角aDGH中G"=

tanZPHO

過E作ENHAB交AD于`M連接NF,則AN=AO-Z)N=2√Σ，

所求體積V=%tsat+%8C-NEF+VD-NEF

=1χ8χ8χ40+L(2后1x2√Σ+kL(2√Σ)2χ√Σ

3232

=25672+8√2+4√2=^√2m?

333

【例5】六氟化硫，化學(xué)式為SFG,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有

良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛的用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（每個

面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正

八面體的6個頂點.若相鄰兩個氟原子之間的距離為23，則以六氟化硫分子中6個氟原子

為頂點構(gòu)成的正八面體的體積是（）.（氟原子的大小可以忽略不計）

C.4√2D.8√2

【答案】D

【分析】如圖，連接AC3。，設(shè)ACBZ)交于點。，連接。￡,令相鄰兩個氟原子之間的距

離為為，則由正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得OE的長，從而可求出其體積.

【詳解】如圖，連接Ae,8。，設(shè)AC,BD交于點。，連接。￡,

因為4E=CE,8E=DE,。為AC的中點，也是B。的中點，

所以O(shè)EJ.AC,OEJ_80,

因為ACBD=O,AC,8。U平面ABe￡),

所以O(shè)E_L平面ABC

令相鄰兩個氟原子之間的距離為2α,則2?=2√Lα=√3,

因為AS=BC=AE=2α,所以AC=2億，

因為四邊形ABC。為正方形，所以AO=；4C=J5a,

所以CE=JA￡2-AO2=缶，

所以該正八面體的體積是；X(2α)2X"/X2=逑a，=逑X(3)3=&及，

【例6】將邊長為24、20、16的三角形沿三條中位線折疊成一個四面體，則該四面體的體積

為.

【答案】30√6

【分析】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為12,10,8的三角形，

故該四面體可放置與一個長方體ABC。-A4G。中，即可求解

【詳解】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為12,10,8的三角形，

故該四面體可放置與一個長方體ABCD-AMGP中，即圖中的三棱錐A-BG。，

不妨設(shè)AB=Io,BD=12,AD=8,則OG=Io，A￡=12,BCI=8,

tz2+c2=IO2

222

設(shè)AB=?AZ)=ZAA1=c,則<a÷?=12,

fo2÷c2=82

a2=90Λ=3√iθ

解得，/=54,所以■b=??/e,

c2=10c=√io

所以~^X^A-ABD

KA-ZJC/=V488-AMGD∣I

=3Mx3#x7iU-4xfx3Mx3#x7iU=90√6--×90√6=-×90√6=30√6,

3233

【例7】在三棱錐P-ABC中，已知PA=BC=2√^,PB=AC=√iG,PC=AB=5,則該三棱

錐的體積為.

【答案】8

【分析】如圖，設(shè)長方體的三條棱長為c,解方程組求出aS,c即得解.

如圖，設(shè)長方體的三條棱長為“力，c,

222222

由題得/+方=（2正）2=20；α+c=√i3=13;b+c=5=25,

解之得"=4,〃=1642=9.

所以4=21=4,c=3.

所以該三棱錐的體積為2x3x4-4x；XgX2χ4χ3=8.

【例8】圖中的多面體的底面是邊長為"的正方形，上面的棱平行于底面，其長為20,其余

的棱長都是已知α=6√∑,則這個多面體的體積是.

20

【答案】288

【分析】將該幾何體分解成一個三棱柱加兩個三棱錐，結(jié)合幾何中的關(guān)系分別計算體積求解

即可.

【詳解】如圖，在線段PQ上分別取CG兩點，使得平面48C,ASG，平面AAsB,AB中

點為M，連接CM.

則由題意，CCl=?B3∣=6λ∕Σ,CP=GQ=；CCI=3五.

22

又BP=6&i?CB=^(6√2)-(3√2)=3√6.CM=^CB2-BM-=√54-18=6

故這個多面體的體積V=%γBC+匕BC-AMG+%-A4G

=IXLX6>∕2×6×3?∣2+L6?J2×6×6^∣2+LXLX6?∣2×6×3忘

32232

=36+216+36=288.

1.《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其卷五“商功”中記載這樣一個問題:今有方錐，

下方二丈七尺，高二丈九尺，間積幾何?其含義是:今有正四棱錐，下底邊長為2丈7尺，高2

丈9尺，問它的體積為多少立方尺（）

（注1丈=10尺）

A.7047B.5408C.2864D.1854

【答案】A

【詳解】由題可知下底面積為S=27χ27,高為/∕=29,所以由體積公式可知

V=1S/?=!X27X27X29=9X27X29=7047立方尺.

33

2.學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCo-Ag

挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,，分別為所在

棱的中點，AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/Cm3,不考慮打印

損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為__________g.

【答案】118.8

【解析】由題意得，S四邊形EFGH=4x6-4χgx2x3=12Cm2,

1a

；四棱錐O-EFGH的高為3cm,Λ?,=-×12×3=l2cm3.

?-/ffc?JhΓ1

又長方體ABCo-A旦GQ的體積為％=4χ6χ6=144cn√,

3

所以該模型體積為V=匕一VO-EFa/=144-12=132cm,其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

3.如圖，長方體ABC。-A4G。的體積是120,E為CCl的中點，則三棱錐E-BCZ）的體

積是.

【答案】10

【解析】因為長方體ABCD-AI與GA的體積為120,所以A3?8C?Ca=I20,

因為E為CG的中點，所以CE=gcC∣,

由長方體的性質(zhì)知CC11底面ABCD,

所以CE是三棱錐E-BCD的底面BC。上的高，

所以三棱錐E—BCO的體積V=LXLAB?BC?CE=

32

=-×-ABBC-CCl=L120=10.

322'12

4.如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為

4

【答案】一

3

【解析】由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1,底面正方

形的邊長等于√2,所以該多面體的體積為2x；xlx(&y=g.

5.在三棱錐P-ABC中，頂點尸在底面內(nèi)的投影為點A,?4=4,底面ABC是正三角形，邊

長為2√J,E,F分別是側(cè)棱尸B,PC的中點，則四棱錐A-EBCF的體積為.

P

【答案】3√3

【分析】根據(jù)錐體體積公式和割補法計算出正確答案.

【詳解】由于P在平面ABC的投影為A,所以必，平面ABC,

所以匕”=-∣×^×2√3×2√3×sin60oj×4=4√3.

設(shè)B到平面PAC的距離為a,

由于E是PS的中點，所以E到平面PAC的距離為:力，

由于尸是PC的中點，所以SAMF=

=X

VB-PAC=]XSPACXh,^E-PAF?PAFX,，

==

所以VE-PAF^B-PACP-ABC=也，

=

所以VA^EBCF=P-ABCF.-PAF??/?-

6.為了求一個棱長為近的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計如下解法：構(gòu)造一個棱長為1的正

方體，如圖I：則四面體ACBiR為棱長是拒的正四面體，且有

面體AC44=KE方體-ACel~^A,-AB,Dl-^Cl-B,CDl-^D-ACDl=g匕￡方體=§?

求此四面體的體積；

(2)對棱分別相等的四面體ABC。中，AB=CD,AC=BD,AO=BC.求證：這個四面體的

四個面都是銳角三角形.

【答案】（1）2；（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)四面體所在長方體棱長分別為。，b,c,則長方體的對角線長分別為6,√∣3,

M,利用勾股定理列方程求出。，b,c,使用做差法求出四面體體積.

（2）在四面體ABCD中，由己知可得四面體A88的四個面為全等三角形，設(shè)長方體的長、

、

寬、高分別為〃、bc,證明AABC為銳角三角形，即可證明這個四面體的四個面都是銳角

三角形.

【詳解】（1）由于四面體的對棱分別相等，結(jié)合長方體的面對角線性質(zhì)，可以將其置于長方

體中，

使其頂點與長方體頂點重合，如下圖：

設(shè)此四面體所在長方體的棱長分別為。，b,c,

a2+b2=5[a2=4

則付+￠2=13,解得從=1

b2+c2=10C2=9

四面體的體積VZ=abc--?-abc×4=-abc=2.

323

（2）在四面體ABCO中，

.AB=CD,AC=BO,AD=BC，如下圖，將四面體放置長方體中，使其頂點與長方體頂

點重合

四面體ABC。的四個面為全等三角形，

即只需證明一個面為銳角三角形即可.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為b、c,

則A82=<?+〃，BC2=b2+c2,AC2=a2+c2,

.?.AB-+BC2>AC2.AB-+AC2>BC2,AC2+BC2>AC2,

：.ABC為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形.

題型三：棱臺表面積體積

【例1】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面

積為（）

A.80B.240C.350D.640

【答案】B

【分析】根據(jù)已知棱臺的上下底面邊長以及側(cè)棱長，可求得側(cè)面梯形的高，進而求得側(cè)面積.

【詳解】由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底分別為4和16,腰長為10的等腰梯形，

.?.等腰梯形的高為j（）2-（更Fj=8,

等腰梯形的面積為:x（4+16）x8=80,

???該棱臺的側(cè)面積為3x80=240.

【例2】已知正四棱臺上底面邊長為2,下底面邊長4,高為3,則其表面積為（）

A.36B.12√iθ+2θ

C.12√13+20D.48

【答案】B

【分析】先求出側(cè)面上的斜高，再求出正四棱臺的上、下底面的面積和側(cè)面積，由表面積公

式即可得出答案.

【詳解】設(shè)正四棱臺上、下底面的中心為CD為側(cè)面上的斜高，

過C作CEJ.交邊（9,D于點E,

所以O(shè)Q=3,0C=1,。。=2,

所以CO=Mn^=√iU,

22

所以正四棱臺的上、下底面的面積為：SI=2+4=20,

正四棱臺的側(cè)面積為：S,=?^×√iθ×4=12√iθ,

則其表面積為：

S≈SI+S2≈20+12√10.

【例3】已知一個正棱臺的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側(cè)棱長為5,則該棱臺

的表面積為（）

A.148B.168C.193D.88

【答案】A

【分析】先汁算棱臺的側(cè)面的高，再計算側(cè)面積和底面積，即可求解.

【詳解】棱臺的側(cè)面是等腰梯形，高〃=,52-O=4，

所以一個側(cè)面積s=g（2+8）?4=20,

所以該樓臺的表面積S=20χ4+2χ2+8χ8=148.

【例4】已知正三棱臺兩底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則該棱臺的體積為（）

A.幽B.述C.3五D.M

【答案】D

【分析】利用勾股定理得到棱臺的高，然后利用相似得到該棱臺和其所在的棱錐的體積比，

最后求體積即可.

【詳解】設(shè)上底面邊長為。，下底面邊長為匕，側(cè)棱為/,貝Uα=2,b=4,1=2,所以棱臺

的高.因為所以棱臺體積為其所在棱錐體積的故

VI√3J√3?28

【例5】已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4,高為2,則其體積為（）

A.32√3B.28√3C.24√3D.20√3

【答案】B

【分析】根據(jù)臺體體積公式丫=：6（51+廊；+52）即可求解.

【詳解】設(shè)正六棱臺的上下底面面積分別為力邑,因為正六邊形是由6個全等的等邊三角形

組成，

=6×→2×^=6√3,S2=6×→4×2?X^=24?^,

所以六棱臺的體積V=∣Λ（Sl+耶瓦+S2）=28√3.

2

【例6】在正方體A6CQ-A4GA中，點M為側(cè)棱B8∣上一點，且平面AQM

、V

將該正方體分成兩部分，其體積分別為KMz,(χv%),貝IJ才1=.

13

【答案】77

41

【分析】平面AoM延展開后即為平面AQKM,將該正方體分成的兩部分一部分是三棱臺

BMK-ADA,，另一部分是剩余的部分，結(jié)合三棱臺的體積公式求解即可.

由題意，延長線段AM與A8的延長線交于點N,連接OV交BC于K，連接MK,

故平面ADM延展開后即為平面AOKM,將該正方體分成的兩部分一部分是：棱臺

BMK-ADA1,另一部分是剩余的部分.

NBMBMB1

由于MB∕∕Λ1A,?T7T=7Γ=ητy=τ,不妨設(shè)正方體棱長為3,

/VAA∕l1jt>nlJ

?=%MK-AEM1=QBBKM+SADAl+JSBKMXSADA)'

11??I11B、C13

322V42

1/_

V_V13_41

VVy-,

2~ABCD-AiBiCiDi~BMK-ADAl~?~??

V13

即片不

【題型專練】

1.正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和6,側(cè)棱長是2√J,則它側(cè)面積為()

A.32B.32√2C.326D.36

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，先計算側(cè)面的高，然后利用梯形的面

積公式代入計算即可.

【詳解】由題意可知，正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，已知上、下底面邊長分別是2和6,

側(cè)棱長是2代，由勾股定理可得側(cè)面的高為wJQ6)2-2?=20，所以側(cè)面積為

S=4×∣×(2+6)×2√2=32√2.

2

2.已知一個正四棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積為

().

A.80B.240C.320D.640

【答案】C

［分析】在側(cè)面等腰梯形中求得斜高后可得側(cè)面積.

【詳解】由題意正四棱臺的斜高為〃=JlO2-(8-2)2=8，

所以側(cè)面積為S=4xgx(4+16)x8=320.

3.“斗”不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示.其可近似看作正四棱臺，

上底面是邊長為6dm的正方形，下底面是邊長為2dm的正方形，高為4dm.“斗”的面的厚度

忽略不計?，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為()

A.8√5B.16C.2√5D.4

【答案】A

【分析】由正四棱臺性質(zhì)，求得高為2石，再結(jié)合側(cè)面積公式和正方形的面積公式，即可求

解.

【詳解】由正四棱臺，上底面是邊長為6dm的正方形，下底面是邊長為2dm的正方形，高為

4dm,

四棱臺的側(cè)面均為等腰梯形，則其高為j?+1(6-2)2,

所以“斗”的所有側(cè)面的面積之和為Sl=4×l(6+2)×2√5=32√5<∕z√,

S

下底面的面積為邑=4加2,所以于=8百

4.在正四棱臺ABCO—A耳中，AB=4,AtBl=AA1=2,則該四棱臺的體積為()

A型@B.空電C.8√∑D.8√3

33

【答案】B

【分析】作出軸截面，過點A作AE1.AC,結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得高，再計算體積即可.

【詳解】解：作出軸截面如圖所示，過點A作A1EJ?AC,垂足為E,

因為正四棱臺月BCO-A耳GA中，AB=4,AlBi=AA1=2

所以AC=40，AG=20,M=CC1=2,即梯形4CGA為等腰梯形，

所以，AE=AiE=-∕2,

所以，該四棱臺的體積為

v5+SΛBCD

=I(ASCO,,1I+gBCoSABIGDi)?AE=g(16+4+J16x4)x√Σ=

5.如圖，棱錐、棱柱、棱臺的底面積和高均相等，分別為6,h,棱臺上底面的面積為

現(xiàn)將裝滿水的棱錐、棱柱、棱臺中的水分別倒入底面積為S的圓柱里，對應(yīng)的水面高分別記

為A1,h2,h3,則()

A.hy<h3<h2=hB.hλ<h3<h1<h

C.h3<h2<liλ<hD.h=hλ<h3<h2

【答案】A

【分析】分別計算出棱錐、棱柱、棱臺的體積，進而求得4，4，與即可求解.

【詳解】設(shè)棱錐、棱柱、棱臺的體積分別為LKM,則

6.某校高一級學(xué)生進行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABCD-A冉GA挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的兒何體，其中

AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,A41=4cm,為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍

上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2mg,不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為

mg.

【答案】282+546##546+282

【分析】根題意計算該幾何體的表面積，再求得質(zhì)量即可

【詳解】由題意，該幾何體側(cè)面4個面的面積和為4x4x6=96Cm°,底面積6x6=36Cm2,

正方形EFG"面積3x3=9Cm2.考慮梯形ABFE,高為JBF。-白AB-EFy=半Cm,

故正四棱臺的側(cè)面積為4xJ(3+6)x,=27病π?,

故該模型表面積為96+36+9+27√J=(141+276k∏√,

故所需金屬膜的質(zhì)量為2x(141+27√j)H282+54√J)mg

7.如圖，在正四棱臺ABCQ-中，AB=4√3,EF=9√3,且四棱錐E-ABC。的體積

【答案】399

【分析】方法一：設(shè)點E到平面ABS的距離為力,根據(jù)￡-43CD的體積可得力=3,再代

入棱臺的體積公式求解即可；

方法二：延長E4,FB,GC,4。交于?點，設(shè)為P,根據(jù)臺體體積為錐體體積之差求解即可.

【詳解】方法一：由題意，設(shè)點E到平面ABCo的距離為萬，由四邊形ABCQ面積為

S=(4√3)2=48,

得四棱錐E-A5C3的體積為48=∣ΛS=∣×48∕?,得∕z=3.

所以棱臺體積為V=；MS上+MS下+*)=；X3X(48+J48義243+243)=399.

方法二：由題意，設(shè)點E到平面ABCD的距離為人由四邊形ABCo面積為S=(46)2=48,

得四棱錐E-ABCD的體積為48=g∕zS=gX48/?,得/?=3.

由樓臺定義知，延長E4,M,GC,"。交于一點，設(shè)為P,設(shè)棱錐P-ABCD的高為X,

XAB412

則棱錐P—EFGH的高為x+3,由三角形相似可得」τ=蕓得X=?，

x+3EF95

11127112

于是棱臺體積V=Q(X+3)Sτ--?=-×-×243--×-×48=399.

8.《九章算術(shù)》中將正四棱臺體(棱臺的上下底面均為正方形)稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭

ABCD-EFHG,其中上底面與下底面的面積之比為1:4,BF=-EF,方亭的四個側(cè)面均

2

為全等的等腰梯形，已知方亭四個側(cè)面的面積之和為12后，則方亭的體積為.

FF1_

【分析】分析可知F=；，設(shè)EF=2x,則/W=4x,BF=?x,過點E、尸在平面ABEE內(nèi)分

AD2

別作EMLAB,FNLAB,垂足分別為點M、N,根據(jù)正四棱臺的側(cè)面積計算出無的值，

再利用臺體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】解：由題意得空=:，設(shè)EF=2x,則A3=4x,BF=瓜χ.

AD2

過點E,尸在平面ABFE內(nèi)分別作EΛ∕LA8,FNLAB,垂足分別為點河、N,

在等腰梯形ΛB莊中，因為EF7∕AB,EMLAB,/W,AB,則四邊形MVFE為矩形，

所以MN=EF,EM=FN,則MV=EF=2x,

因為AE=3尸，EM=FN,NAME=NBNf'=90。，

AB-EF

所以RtΛAMEZRtLBNF,所以AM=BN=-----------=X,

2

在RtZXBN/中，由勾股定理得FN={BF2-BN2=&，

所以等腰梯形45莊的面積為S=空色?√^x=36y2=3√L所以x=l.

2

所以EF=2x=2,Aβ=4x=4,方亭的高力=炳%=2，

故方亭的體積為:X〃X(SE+SF+√S^7)=gx2x(4+16+√^)=^.

題型四：圓柱表面積體積

［例1］如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正

六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是—cm.

【答案】12√3-?

2

［解析】正六棱柱體積為6X/X2?X2=12后圓柱體積為萬g)2?2=所求幾何體體積為

12√3-?

2

【例2】中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的

上下底面平行,且均為扇環(huán)形(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分),現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，

它的高為2,AΛ1,8片，CG，。。均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1

22

【答案】D

【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式以及圓的面積公式即可求解每個面的面積,進而可求表面積.

【詳解】此幾何體為兩個半圓柱的組合體：一個大的半圓柱中間挖去一個小的同軸半圓柱，

S表=gx2τt(22-F)+g(27tx2+27tχl)χ2+lχ2x2=9τt+4.

【例3】我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述廣今有圓堡端(dao),周四丈八

尺，高一丈一尺”，意思是有一個圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表

面積約為()(注:1丈=10尺，兀取3)

A.1088平方尺B.912平方尺C.720平方尺D.656平方尺

【答案】B

【分析】求出圓柱底面半徑再由圓柱表面積公式求解即可.

【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈I尺=II尺，如下圖：

則5C=11,2π?AB=48,解得A8=8,

則圓柱底面積為E=2xπ?AB?=128x3=384,側(cè)面積為邑=2τt?A8?CE>=2x3x8xl1=528.

則圓柱的表面積S=E+邑=912（平方尺），

［例4］以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（）

A.2πB.4πC.8πD.16π

【答案】D

【分析】由題設(shè)知旋轉(zhuǎn)體為高和底面半徑均為2的圓柱體，利用圓柱體表面積公式求幾何體

的表面積.

【詳解】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，

所以幾何體表面積為2%x2?+2"X2x2=16".

【例5】某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的

對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為8,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長度為

二J

【答案】B

【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，知點M在上底面上，點N在下底面上，且可

以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方

形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為\零彳萋=2、石，故選B?

【題型專練】

1.用長為4,寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱，則此圓柱的側(cè)面積為（）

A.8兀B.16乃C.