第三節(jié)三角恒等變換

,最新考綱,

1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.

2.會利用兩角差的余弦公式推導出兩南差的正弦、正切公式.

3.會利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余

弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系.

4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換.

?考向預測?

考情分析：兩角和、差及倍角公式的正用、逆用和變形用仍將是高考考查的熱點，題型

仍將是選擇題與填空題.

學科素養(yǎng)：通過三角恒等變換化簡、求值考查邏輯推理及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎落實贏得良好開端

一、必記3個知識點

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

____?___________________________簡___記___符__號__________使用條件_________

cos(a+S)=

兩角和的余弦C(a+β)

a,yβ≡R

cos(CLp)

兩角差的余弦C(-ff)

=Cosacos夕+sin6tsinβa

sin(a+β)=

兩角和的正弦S(α+為

a,βWR

sin(a~β)=sinacosβ

兩角差的正弦Sg-傷

-cosasinβ

tan(a+β)—

兩角和的正切T(α+0a,%α+^≠≡+fcπ(∕c∈Z)

tan{a~β)—

兩角差的正切T(〃-6)α,β,β-^≠^+∕cπ(fc∈Z)

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

記法_________________________________

S2asin2a=_______________

C2<zcos2a=__________________

T2atan2a=_________________

3.與二倍角有關的公式變形

sn2ol222tan；=

(1)2SinaCoSa=Sin2α,sinαcosα=?in2a,cosα='τcosa—sina≈cos2?,

22sιnal-tan2α

tan2a.

(2)1±sin2a=sin2α+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2.

(3)降出公式:

sin2α=.

二、必明5個常用結論

1.公式的常用變式：tanα±ta∏4=tan(ɑ±在)(國an^tan￡)；tan(?tan夕=L

tanα-tan∣

tan（α-β）

C收宣八T??l-cos2al+cos2a._1.C

2.降帚公式：Slrra=——-——；C7OSZa=——-——；SlnaeOSa=^sin2a.

2

3.升鬲公式：l÷cosa=2cos2^;1-cosa=2sin2p1+sina=（sin^+cos］）；1-sina

4.常用拆角、拼角技巧：例如，2a=(a+尸)+(a—夕)；a=(a+β)~β=(a~β)+β↑4=乎

F=(a+20—(a一加；

a一夕=(a-y)+(y一夕)；15。=45。-30。；弓+&=］一(三一。等.

5.輔助角公式：，般地,函數(shù)/(a)=。sina÷?cosa(a,b為常數(shù))可以化為/(a)=V?"T"E?in

（a+p）（其中tanφ=√a2+b2cos（a一夕乂其中tanφ=：）.

三、必練4類基礎題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“或"X”).

⑴存在實數(shù)α,B，使等式Sin(Ct+H)=sinct+sinS成立.()

(2)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角。，￡是任意角.()

(3)存在實數(shù)a,使tan2a=2tana.()

(二)教材改編

2.［必修4?P］30例4改編］sin20ocos10o-cos160osin10o=()

3.［必修4?P127練習T2改編］若CoSQ=一豆Q是第三象限的角，則Sin(α+:)等于()

7√2C7√2

-------U.-------

（三）易錯易混

4.（未注意角的范囹致錯）設sin2G=—sin1,<x∈Q,π）,則Ian（兀-2a）=.

5.（不會合理配角致錯）若tan［=1,tan（α+^）=∣,貝IJtanP=.

(四)走進高考

6.[2021?全國乙卷]cos2^-cos2,=()

A.?B.在

23

C?立D.在

22

第三節(jié)三角恒等變換

積累必備知識

、

1.cosacosA-SinGSinβ

sinacos夕+cosαsinβ

tanα+tanβtana-tanβ

1-tanatanβ1+tanatanβ

Cc?2?22tana

2.2sιnacosacosz?—sιnza-----=-

l-tanza

4l+cos2a1-cos2a

■22

三、

1.答案」⑴J(2)√(3)√

2.解析：sin20ocos10o-cos160osinIO0

=sin20ocosIO0+cos20osin10°=sin(20°+IO0)=sin30°=∣.

答案：D

3.解析：根據題意可得Sina=-7?一cos?α

_3

-^5，

則sin(α+￡)=γsinα+γcosa

=WXGZ)=_4

答案：C

4.解析：Vsin2a=-sina,a∈(pπ),

?—1_2

??COSOC———,Ct-

?,.tan(兀-2α)=tan(兀-?r)=tan(-^)=—V3.

答案：一百

5

?解析：tan∕j=tanl(α+^)-αJ=黑黑就?

1_1

231

1+-+-7,

23

答案：?

5τr.π5τr.π

6.解析：因為