第4講角平分線

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

1.掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì).

2.掌握角平分線的判定及角平分線的畫(huà)法.

3.熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題.

蜒知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)Ol角的平分線的性質(zhì)

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)河梅?hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分NADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEJ_AD于點(diǎn)E,PFLBD于點(diǎn)F,則PE=PF.

【知識(shí)拓展1］（2021春?漳州期末）在正方形網(wǎng)格中，NAoB的位置如圖所示，到NAOB兩邊距離相等的

C.P點(diǎn)D.。點(diǎn)

【即學(xué)即練1】（2021秋?黔西南州期末）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,8。是/ABC的平分線，DE

VAB于點(diǎn)E.若AC=10,DE=A,則AD的長(zhǎng)為（

A.2B.4C.6D.8

【即學(xué)即練2】（2020秋?芝果區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，ABA.BC,DClBC,AE平分NBA￡>,下

列結(jié)論：①∕AEO=90°；②/AOE=NCOE；③。E=BE；@AD=AB+CD,四個(gè)結(jié)論中成立的是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③

【知識(shí)拓展2］（2021秋?鹽池縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90o,A。平分NBAC,AB=5,CD=2,

則aABO的面積是.

【即學(xué)即練1】（2021秋?朝陽(yáng)期中）在RIAABC中，NA=90°,4B=3,AC=4,ZABC,NACB的平分

線交于尸點(diǎn).PELBC于E點(diǎn)、,則PE的長(zhǎng)是.

【即學(xué)即練2】（2021秋?東莞市期中）如圖，已知AO〃8C,/BAO與/ABC的平分線相交于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P

作E凡LA。，交4。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)兒EF=4cm,AB=5cm,則PB的面積為cm1.

【即學(xué)即練3】（2021秋?千山區(qū)期中）如圖,在aABC中,NACB=90°,BE平分NABC,DE±ABTD.如

果AC=IOC7"，那么AE+f>E等于.

4

B

【知識(shí)拓展3】(2021秋?撫順縣期末)已知：在AABC中，ZABC=60o,NACB=40°,8。平分NA8C,

CD平分/ACB,

(1)如圖1,求/8。C的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AO,作OEJ_AB,DE=2,AC=4,求△40C的面積.

圖1圖2

【即學(xué)即練1】(2019秋?百色期末)如圖，∕?ABCΦ,AO平分NBAC,DG_LBC且平分BC,OEJ_AB于E,

DFVAC于F.

(1)說(shuō)明BE=CF的理由;

(2)如果AB=5,AC=3,求4E、BE的長(zhǎng).

【即學(xué)即練2】(2021秋?龍門(mén)縣期中)如圖，在aABC中，NBAC=90°,A￡>_LBC于點(diǎn)。，AE平分NOAC,

ZB=50°.

(1)求NAEC的度數(shù).

(2)OE=2,AC=6,求aACE的面積.

A

【即學(xué)即練3】如圖，已知BD為/ABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上，PM_LAD于M,PN_LCD于N,求證:

PM=PN.

【即學(xué)即練4］如圖，OC是NAOB的角平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD,OA交于點(diǎn)D,PELOB交于點(diǎn)E,F是

OC上除點(diǎn)P、0外一點(diǎn)，連接DF、EF,則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)02角的平分線的逆定理

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)河梅?hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點(diǎn)E,PF1.BD于點(diǎn)F,PE=PF,則PD平分NADB

【知識(shí)拓展1】已知，如圖，CE±AB,BD±AC,ZB=ZC,BF=CF.求證：AF為NBAC的平分線.

C

【即學(xué)即練1】如圖，在NAOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON,0D=0E,DN和EM相交于點(diǎn)C.求

證：點(diǎn)C在NAc)B的平分線上.

知識(shí)點(diǎn)03角的平分線的尺規(guī)作圖

角平分線的尺規(guī)作圖

(1)以0為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D,交OB于E.

(2)分別以D、E為圓心，大于LDE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NAOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

2

(3)畫(huà)射線OC.

射線OC即為所求.

【知識(shí)拓展1](2021春?濟(jì)寧期末)如圖：已知04和兩條公路，以及C、。兩個(gè)村莊，建立一個(gè)車(chē)站

P,使車(chē)站到兩個(gè)村莊距離相等即PC=PD,且P到OA,OB兩條公路的距離相等.

知識(shí)點(diǎn)04軌跡

把符合某些條件的所有點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)的軌跡.

和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線.

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

【知識(shí)拓展1］過(guò)已知點(diǎn)A且半徑為3厘米的圓的圓心的軌跡是.

U能力拓展

類(lèi)型一、角的平分線的性質(zhì)及判定

1、（新洲區(qū)期末）如圖，在aABC中，/ABC的平分線與/ACB的外角的平分線相交于點(diǎn)P,連接AP.

（1）求證：PA平分NBAC的外角NCAM；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CEj_AP,E是垂足，并延長(zhǎng)CE交BM于點(diǎn)D.求證：CE=ED.

2.如圖，AD是/BAC的平分線，DElAB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,DFJ_AC于點(diǎn)F,且DB=De

求證：BE=CF.

E

3.如圖，AD是AABC的角平分線，DF±AB,垂足為F,DE=DG,Z?ADG和aAED的面積分別為50和39,則

ΔEDF的面積為：（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

A

4.如圖，AC=DB,4PAC與APBD的面積相等.求證：OP平分NAOB.

類(lèi)型二、角的平分線的性質(zhì)綜合應(yīng)用

1.如圖，P為AABC的外角平分線上任一點(diǎn).求證：PB+POAB+AC.

2.如圖，已知AD〃BC,DC±AD,/BAD的平分線交CD于點(diǎn)E,且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).問(wèn):

(1)點(diǎn)E在/ABC的平分線上嗎？

(2)AD+BC與AB的大小關(guān)系怎樣？請(qǐng)證明.

類(lèi)型三、點(diǎn)的軌跡

L到直線/的距離等于2的點(diǎn)的軌跡是（）

A.半徑為2的圓

B.與/平行且到/的距離等于2的一條直線

C.與/平行且到/的距離等于2的兩條直線

D.與/垂直的一條直線

高分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

選擇題（共6小題）

1.（2021春?威寧縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90o,AB=10,A。平分NBAC交邊BC于。點(diǎn).若

CD=3,則AABO的面積為（）

A.15B.30C.10D.20

2.（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，在RtZ?A8C中，/8=90°,4￡＞平分/BAC交BC于點(diǎn)。，DELAC,垂

足為點(diǎn)E,若80=2,則。E的長(zhǎng)為（）

2

3.（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，在aABC中，ZACB=90o,BE平分NABC,E￡>J_AB于O,DE=3cm,

那么CE等于（）

A.?/?ewB.2cmC.3cmD.4cm

4.（2021秋?黔西南州期中）如圖，在AABC中，AI,BI,C7分別平分∕BAC,ZABC,ZACB,且〃>_L

BC,垂足為D若AABC的周長(zhǎng)為18,/￡>=3,則AABC的面積為（）

A.27B.30C.24D.18

5.（2021秋?徐聞縣期中）如圖，在RtZViBC中，NC=90°,A。平分NBAC交BC于點(diǎn)。，若48=8,

∕?ABD的面積為16,則CD的長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.6D.8

6.（2021秋?鐵東區(qū)期中）如圖，OP平分NAoB,PCLOA,點(diǎn)。是OB上的動(dòng)點(diǎn)，若PC=3tro,則PD

的長(zhǎng)為（）

A.大于等于3CTMB.大于3cτn

C.小于等于3cmD.小于3cm

二.填空題（共6小題）

7.（2021春?丹東期末）如圖，在AABC中，ZACB=90o,AO平分NC43交BC于點(diǎn)。，且8O=2CD,

BC=9cm.則點(diǎn)。到AB的距離為

8.（2021?福建）如圖，AO是aABC的角平分線.若NB=90°,BD=M,則點(diǎn)。到AC的距離是

9.（2021?長(zhǎng)沙）如圖，在AABC中，ZC=90°,AO平分NBAe交Be于點(diǎn)。，DEVAB,垂足為E,若

BC=4,DE=1.6,則的長(zhǎng)為.

10.（2021秋?越秀區(qū)期末）如圖，在aABC中，ZC=90o,8。是aABC的角平分線，已知AC=3,BC

=4,AB=S,則CD的長(zhǎng)為.

11.（2021?鞍山二模）如圖，在4A8C中，AO為AABC的角平分線，DELAB,垂足為E,DFlAC,垂足

為凡若AB=5,AC=3,DF=2,則AABC的面積為.

A

E

BD

12.（2021春?大埔縣期末）如圖，Z?ABC中，AB=5cm,AC^?2cm,BC^?3cm,NABC與NACB的角平

分線相交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PDVBC,垂足為點(diǎn)D,則線段PD的長(zhǎng)為cm.

三.解答題（共4小題）

13.（2018秋?白云區(qū)期末）如圖，在直線MN上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到射線OA和03的距離相等.（要求

用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明過(guò)程）

14.（2020秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，點(diǎn)P是NMoN中一點(diǎn)，以，OM于點(diǎn)4,PBLoN于點(diǎn)、B,連接AB,Z

PAB=ZPBA.求證：OP平分/MON.

15.（2019秋?武清區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B,C分別在NA的兩邊上，點(diǎn)。是NA內(nèi)一點(diǎn)，DEVAB,DF±AC,

垂足分別為E，F(xiàn),且AB=4C,DE=DF.求證：BD^CD.

BE

題組B能力提升練

選擇題（共3小題）

1.（2020秋?花都區(qū)期末）如圖，。。平分NAQB,DELAO于點(diǎn)E,DE=4,點(diǎn)、F是射線OB上的任意一

點(diǎn)，則力尸的最小值是（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2020秋?中山市期末）如圖，在四邊形A3C。中，NA=90°,AO=6,連接3Q,BD.LCD,ZADB=

ZC.若尸是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則。P長(zhǎng)的最小值為（)

A.4B.6C.3D.12

3.（2021秋?鐵西區(qū)期中）如圖，Z?ABC中，NACRNEAC的角平分線CRAP交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)54、BC,

PMYBE,PNLBF.則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)()

o

①8尸平分NABC；(2)ZABC+2ZAPC=180；@ZCAB^2ZCPB；?S^PAC=SΔMAP+SΛNCP.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題（共3小題）

4.（2021春?威寧縣期末）在RtZ^A8C中，NC=90°,A。平分NBAe,CQ=4c"?,則。到AB的距離是cm.

5.（2021春?織金縣期末）如圖，AABC的三邊A8、BC、C4的長(zhǎng)分別為30,40,50,其三條角平分線交

于點(diǎn)O,則S?ABO:SABCO:SACAO=.

6.（2021春?株洲期末）如圖，AB//CD,8尸和C尸分別平分NABC和∕OC8,過(guò)點(diǎn)尸，且與AB垂直.若

AQ=8,則點(diǎn)P到BC的距離是.

7.（2021?章丘區(qū)模擬）如圖，BO平分NABC交AC于點(diǎn)Q,DELABE,DFLBC于F,AB=6,BC=8,

若SAABC=28,求DE的長(zhǎng).

BC

8.（2021秋?東莞市期中）如圖，在aABC中，。是Be的中點(diǎn)，LAB于E,OFL4C于點(diǎn)凡且NBDE

=NCDF.求證：AO平分NBAC

9.（2020秋?費(fèi)縣期末）NB=NC=90°,EB=EC,OE平分NAOC,求證：AE是/D48平分線.

題組C培優(yōu)拔尖練

一.選擇題（共1小題）

1.（2020春?崇川區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形48。C中，對(duì)角線A。平分NBAC,ZACD=136°,ZBCD

A.54oB.50oC.48oD.46°

二.填空題（共1小題）

2.（2021秋?高郵市期中）如圖，在RtZXABC中，ZABC