2023年山東省青島市市內(nèi)四區(qū)聯(lián)考中考數(shù)學(xué)一模試卷

一.選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.（3分）絕對值為1的數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（3分）MeI5系列蘋果手機預(yù)計于2023年9月份上市中國大陸，其內(nèi)部的416芯片

加入光線追蹤功能，將寬度壓縮到0.000000005米，將數(shù)字0.000000005米用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.-5X1（）9米B.-0.5Xl（）8米c.0.5X102米口.5義1。9米

4.（3分）如圖所示的幾何體的左視圖為（）

5.（3分）如圖，Z?A8C的頂點坐標(biāo)分別為4（4,6）、B（5,2）、C（2,1）,如果將AABC

繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到BC',將4A'BC向下平移2個單位，得

△A"B'C",那么點C的對應(yīng)點C"的坐標(biāo)是（）

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

6.(3分)如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,連接對角線AC與8。交于點E,且B力為。。

的直徑，已知N8QC=40°,NAEB=Il0°,則NABC=()

A.65oB.70°C.75oD.80°

7.(3分)如圖，己知正方形ABCD邊長是6,點P是線段BC上一動點，過點。作。EJ_

AP于點E.連接EC,若CE=CD,則4CQE的面積是()

D.6√3

8.(3分)二次函數(shù)y=αx2+fec+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=αr-2￡>(α≠0)

與反比例函數(shù)y=((c≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

I√50-√181

9.(3分)計算，?(-)-92

10.（3分）已知關(guān)于X方程（，〃-1）X2-V∑=五X—4=0的有兩個實數(shù)根，則小的取值范

圍是.

11.（3分）2021年6月17日，中國第7艘載人航天飛船“神舟12號”圓滿發(fā)射成功，激

勵更多的年輕人投身航天事業(yè).現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)員要進(jìn)行招飛前的考核，按照4：3：2：

1的比例確定成績，甲、乙兩人成績（百分制）如表:

候選人心理素質(zhì)身體素質(zhì)科學(xué)頭腦應(yīng)變能力

甲86858890

乙90828190

選擇1名學(xué)員，最后應(yīng)選

12.（3分）如圖，在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=44o./BAC的平分線與AB的中

垂線交于點。，點C沿E尸折疊后與點。重合，則NCE尸的度數(shù)是度.

13.（3分）如圖所示，NAoB=90°,OA=OB=4,將扇形OAB繞邊OB的中點。順時針

旋轉(zhuǎn)90°得到扇形。A'B',弧Ab交04于點￡,則圖中陰影部分的面積為.

14.（3分）如圖，正方形ABCD中，AD=↑2,點E是對角線BO上一點，連接AE,過點E

作EFVAE,交BC于點F,連接AF,交BD于點G,將aEFG沿EF翻折，得到AEFM,

連接AM,交EF于點M若點F是BC邊的中點，下列說法正確的是.（填序號）

Φ?AGD^>?FGB;

②NEFG=NA80=45°；

③AM=Io√Σ;

三、作圖題（本題滿分4分）

15.（4分）已知：NAoB和線段”.求作：OP,使它與NAoB的兩邊相切，半徑等于線段

a.

A

OB

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）計算：（―-?-~；）÷沿；

x+2X2+4%÷4%+2

'2%+5≤3（%+2）

（2）解不等式組：L1占X.，并求出不等式組的非負(fù)整數(shù)解.

2x-----2-V2

17.（6分）由于疫情爆發(fā)，小王家所在的小區(qū)被管控，規(guī)定每兩日每戶可派一人出小區(qū)購

買生活必需品.小王和爸爸用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：分別旋轉(zhuǎn)兩

個轉(zhuǎn)盤，將A盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)；如果差為負(fù)數(shù)，爸

爸出小區(qū)購買生活必需品；若差為正數(shù)，小王出小區(qū)購買生活必需品.這個游戲?qū)﹄p方

公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

18.（6分）為了解我校學(xué)生每天的睡眠時間（單位：小時），隨機調(diào)查了我校的部分學(xué)生,

根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出如圖統(tǒng)計圖.若我校共有Iooo名學(xué)生，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下

列問題:

（1）本次接受調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)求所調(diào)查的學(xué)生每天睡眠時間的方差：

(4)若睡眠時間超過7小時及以上在白天才能達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果，估計我校學(xué)生每天

睡眠時間不足的人數(shù).

19.(6分)如圖，某電影院的觀眾席成“階梯狀”，每一級臺階的水平寬度都為?m,垂直

高度都為0.3〃?.測得在C點的仰角NACE=42°,測得在。點的仰角NAO尸=35°.求

銀幕AB的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin35oQO.57,cos35°≈0.82,tan35o=0.7,sin42o≈

0.67,cos42o?=0.74,tan42o弋0.9)

1

20.(6分)如圖，直線y=-可*+,*與X軸，y軸分別交于點8、A兩點，與雙曲線相交于C、

Q兩點，過C作CELX軸于點E,已知OB=3,OE=I.

(1)求直線AB和雙曲線的表達(dá)式；

(2)設(shè)點F是X軸上一?點，使得SACEF=2S&8B,求點F的坐標(biāo).

21.(6分)(1)問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究.

探究一：如圖］.在AABC中，∕ABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Nα,?<?ABC

的面積.

在RtZiABC中，ZΛBC=90o,

..AB

??Sina=

Aβ=??sinα.

11

SMBC=-2BC?AB=-^a?bsma.

探究二：如圖2,AABC中，A2=AC=4BC=a,NB=Na,求AABC的面積（用含a、

b、a代數(shù)式表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,AABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求aABC的面積（用a、b、a

表示）寫出探究過程?

問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字?jǐn)?/p>

述）.

問題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形ABCO中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四邊形

ABCo的面積（用a、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用。、氏c、

d、a、β表示），其中AB=b,BC=c,CD—d,AD—a,ZA=a,ZC-β.

22.（8分）為了改善湘西北地區(qū)的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高

鐵，其中長益段將于2021年底建成.開通后的長益高鐵比現(xiàn)在運行的長益城際鐵路全長

縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現(xiàn)乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均

13

速度是開通后的高鐵的?7?

（1）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？

（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進(jìn)行施工，每天對其施工的

長度比為7：9,計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確

保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

23.（8分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AD//BC,OE_LAC于點巴

交BC于點G,交AB的延長線于點E,且AE=AC

（1）求證：AB=AF;

（2）若/ACB=30°,連接AG,判斷四邊形AGCo是什么特殊的四邊形？并證明你的

結(jié)論.

24.（10分）青島方特夢幻王國位于美麗的山東省青島市紅島海濱，由深圳華強集團(tuán)投資興

建.火流星是其經(jīng)典項目之一.如圖所示，F(xiàn)fEfG為火流星過山車的一部分軌道，它

可以看成一段拋物線.其期OE=等米，。產(chǎn)=垮米（軌道厚度忽略不計）.

（1）求拋物線FfEfG的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當(dāng)過山車運動到G處時，平行于地面

15

向前運動了K米至K點，又進(jìn)入下坡段KfH（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物

線KfHfQ的形狀與拋物線PfEfG完全相同，在G到。的運動過程中，求OH的距

離；

（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段F-E進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM.

CM、BN、DN,且要求OA=A8.已知這種材料的價格是80000元/米，如何設(shè)計支架，

會使造價最低？最低造價為多少元？

25.(10分)如圖，在aAED中，AD=?0cm,NAEO=90°,延長4E到點8,使DE=EB

8cm,過點8作C2LAB,CB=2cm,連接CD；點N從點A出發(fā)，沿Ao方向勻速運

動，速度為1CTO?;過點N作NFA.AE,以DE和EF為鄰邊作矩形DEFG,點、M與點N

同時出發(fā)，點M從點8沿朋方向勻速運動，速度為IcMs,連接MMMD、MC,設(shè)運

動時間為t(s)(0<∕<8).解答下列問題：

(1)當(dāng)Eo垂直平分MF時，求f的值；

(2)設(shè)四邊形WNG。的面積為S(C?/),求S與，的函數(shù)關(guān)系式(0<Z<8);

(3)當(dāng)點M在NoN尸的角平分線上時，求/的值；

(4)連接AC,在運動過程中，是否存在某一時刻3使直線MN過線段AC的中點0?

若存在，求出「的值；若不存在，請說明理由.

2023年山東省青島市市內(nèi)四區(qū)聯(lián)考中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）

1.（3分）絕對值為高的數(shù)是（）

111

A.5B.-C.-ED.±—

555

11

【解答】解：±g的絕對值是J

11

即絕對值為g的數(shù)是±9

故選：D.

2.（3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有幾個（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解答】解：第一個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形:

第二個圖形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形;

第三個圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形;

第四個圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形;

既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有1個，

故選：D.

3.（3分）力〃Mel5系列蘋果手機預(yù)計于2023年9月份上市中國大陸，其內(nèi)部的A16芯片

加入光線追蹤功能，將寬度壓縮到0.000000005米，將數(shù)字0.000000005米用科學(xué)記數(shù)法

表示為（）

A.-5X1（）9米B.-0.5Xl（）8米C.O.SXIO*米D.5X1（∕9米

【解答】解：0.000（M）OoO5米=5X10-9米

故選：D.

4.（3分）如圖所示的幾何體的左視圖為（)

A.C.D.

【解答】解：從左邊看，幾何體的左視圖為長方形，下側(cè)有一條虛線.

故選：A.

5.(3分)如圖，zλA8C的頂點坐標(biāo)分別為A(4,6)、B(5,2)、C(2,1),如果將AABC

繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到BC,,將BC向下平移2個單位，得

△A"B,Cu,那么點C的對應(yīng)點C”的坐標(biāo)是()

A.(3,2)B.(3,3)C.(4,3)D.(4,2)

【解答】解：如圖，

由題意，C(2,1),

?,?點。繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90°得到C'(4,5),再向下平移2個單位得到C〃(4,3),

故選：C

6.（3分）如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于。0,連接對角線AC與8。交于點E,且8。為。。

的直徑，已知NBOC=40°,ZAEB=IlOo,則/4BC=（）

【解答】解：；B。為Oo的直徑，

ΛZBCD=90o,

ΛZDBC=90°-40°=50°,

由圓周角定理得，NBAC=NBOC=40°,

ΛZABD=180o-NAEB-NBAC=30°,

二NABC=∕ABO+∕OBC=8（Γ,

故選：D.

7.（3分）如圖，己知正方形ABCD邊長是6,點P是線段BC上一動點，過點。作。EJ_

AP于點E.連接EC,若CE=C。，則E的面積是（）

A.18B.4√13C.14.4D.6√3

【解答】解：作CFLEO于點F,如右圖所示，

:四邊形A8C。是正方形,

：.AD=DC,NCD4=90°,

：.NADE+NFDC=9Q°,

；CFLDE,CD=CE,

1

：.EF=DF=^DE,NCFo=90°,

ΛZFDC+ZZ)CF=90o,

.?.ZADE=ZDCF,

在AADE1和aOCF中，

(ZAED=NDFC

J?ADE=/.DCF，

UW=DC

：.?ADE^?DCF(AAS),

.?.DE=CF,

：.DF=WCF,

VZCFD=90o,8=6,

.,.DF2+CF2=CD2,

即DF2+(2。F)2=62,

解得DF1=1.2,

紇”=2D?F=2。產(chǎn)=2X7.2=14.4,

8.(3分)二次函數(shù)y=αr2+i>x+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=αr-2%(α≠0)

與反比例函數(shù)y=E(c≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是()

【解答】解：?.?二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)，函數(shù)圖象交于y軸的

負(fù)半軸

Λα>O,?>0,c<O,

反比例函數(shù)y=5的圖象必在二、四象限；

JX

一次函數(shù)y=ax-2b一定經(jīng)過一三四象限，

；對稱軸為直線尤=-1,且與X軸的交點為（-3,0）,

另一個交點為（1,0）,

?-A--I

2a

J.b=2a,

把（-3,0）代入y=αx2+20r+c得，9a-6a+c=0,

".c=-3a,

方程ax-2b=：整理得ax2-2bx-c=0,即ax2-4ax+3a-0,

.*.x2-4x+3=0,

??(-4)2-4X3=4>0,

，一次函數(shù)y=0r-2匕（α≠0）與反比例函數(shù)產(chǎn)三（c≠0）的圖象有兩個交點,

故選：D.

填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）

√50-√181

9.（3分）計算,√2(2)=8

【解答】解：原式=<f-f）X4

=（√25-√9）X4

=（5-3）X4

=2X4

=8.

故答案為：8.

10.（3分）已知關(guān)于X方程（m-1）χ2-√^%-*=0的有兩個實數(shù)根，則機的取值范

圍是OWmW2且∕n≠1.

【解答】解：?.?關(guān)于X方程（m-i）--7^7^-*=0的有兩個實數(shù)根，

Tn—1≠0

Λ△=2—m+2（m—1）≥0,

2—m≥0

解得：0≤m≤2且m≠l.

故答案為：0WmW2且mWl.

11.（3分）2021年6月17日，中國第7艘載人航天飛船“神舟12號”圓滿發(fā)射成功，激

勵更多的年輕人投身航天事業(yè).現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)員要進(jìn)行招飛前的考核，按照4：3：2：

1的比例確定成績，甲、乙兩人成績（百分制）如表：

候選人心理素質(zhì)身體素質(zhì)科學(xué)頭腦應(yīng)變能力

甲86858890

乙90828190

選擇1名學(xué)員，最后應(yīng)選甲.

【解答】解：由題意和圖表可得，

,86×4+85×3+88×2+90×l

甲的成績?yōu)椋?----------------------=86.5,

4+3+2+1

-*,90×4+82×3+81×2+90

乙的成績?yōu)椋?--------------------=85.8,

4+3+2+1

V86.5>85.8,

.?.應(yīng)選甲，

故答案為：甲.

12.（3分）如圖，在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=44o./BAC的平分線與AB的中

垂線交于點0,點C沿EF折疊后與點。重合，則NCEF的度數(shù)是度.

；等腰AABC中，AB=AC,ZBΛC=44o,

.?.∕A8C=NAC8=(180°-44°)+2=68°,

。是NBAC的平分線,

ΛZBAO=22°,

又。是AB的中垂線，

.?.NO54=Z04B=22°,

.,.NOBC=NOCB=68°-22°=46°,

YEF垂直平分線段OC,

：.ZCEF=90°-46°=44°.

故答案為：44.

13.（3分）如圖所示，NAoB=90°,04=08=4,將扇形OAB繞邊OB的中點。順時針

旋轉(zhuǎn)90°得到扇形O/'B',弧AB，交OA于點E,則圖中陰影部分的面積為^π+4-

2√3.

B

【解答】解：延長Eo交O'A'于尸，連接0'E,

VZAOB=90",OA=OB=4,。為OB中點，

9

._290τr×2

?c?S陰影OPO，-o2---?ee—=4-π,

V0,P=?,A,=^0,E,

.?Z0,EP=30o,

：.ZPO'E=60o,EP=√30,P=2√3,

?'?S陰影A'PE=S扇形。，AE-S∕?O?PE

6（^）42-∣×2×2√3

=-2√3

OC

?*?5陰影=4-π+jπ-2√3=∣π+4-2√3,

故答案為：^ιτ+4-2-?∕3.

14.（3分）如圖，正方形ABCZ）中，AD=12,點E是對角線BQ上一點，連接AE,過點E

作EFLAE,交BC于點F,連接AF,交BD于點G,將aEFG沿EF翻折，得到

連接AM,交EF干點、N,若點尸是BC邊的中點，下列說法正確的是①②③.（填

序號）

①AAGDS∕?FGB；

②NEFG=NABD=45°；

③AM=IO√Σ;

【解答】解：如圖，設(shè)對角線的交點為O,

,/四邊形ABCD是正方形，

.?AD∕∕BC,AB=BC=AD=U,

；點尸是AB的中點,

：.BF=∣BC=6,

在Rt?ABFφ,AF=>JAB2+BF2=√122+62=6√5,

?,AD∕∕BC,

：.叢AGDsAFGB,故①正確，

?_AGA__D

??—，

FGBF

AG12

???_——?乙,

FG6

：.AG=2FG,

VAG+FG=AF,

Λ2FG+FG=6√5

ΛFG=2√5,

?：BD是正方形ABCD的對角線，

.?.NA3O=45°,

VEF±AE,

ΛZAEF=90Q=NABC,

：.ZABC+ZAEF=}S0o,

，點A,B,F,E四點共圓，

NEFG=NA8O=45°,故②正確，

,.?將AEFG沿EF翻折，得到aEFM,

.,.FG=FM,NEFM=NEFG

ΛFM=2√5,NEFM=NEFG=45°,

：.ZAFM=ZEFM+ZEFG=450+45°=90°,

：.AM=√ΛF2+FM2=J(6√5)2+(2√5)2=10√2.故③正確.

連接EC,過點E作EPVAD于點P交BC于點Q,過點F作FHjLBD于點H.

?；四邊形是正方形，

：.ZADE=ZCDE=45a,DA=DC,

'：DE=DE,

：.AADE經(jīng)ACDE(SAS),

：.EA=EC,

"：EA=EF,

：.EF=EC,

,JEQLCB,

：.FQ=CQ,

'：∕?APE^∕?EQF,

.?.PE=FQ=CQ=3,

.?.OE=3√I,

`:AD//BF,BD=12五,AF=6√5,

：.BG：GD=BF：AD=FG:AG=I:2,

ΛBG=4√2,EG=12√2-3√2-4√2=5√2,FG=FM=2炳,

'：FHLBH,

：.FH=BH=3近,

,2

..ΔAEM的面積=S∕?AEF+SAEFM-SziAFM=/X(6√5)+1×5√2×3√2-∣×

6√5×2√5=30,故④錯誤，

故答案為：①②③.

PQ

三、作圖題（本題滿分4分）

15.（4分）已知：NAoB和線段/求作：OP,使它與NAoB的兩邊相切，半徑等于線段

a.

四、解答題（本題滿分74分，共有9道小題）

、“x-2X2+2X二X一4

'6?（8分）⑴計算：（六一^÷x+2;

（2%+5≤3（%+2）

⑵解不等式組：2.空＜2,并求出不等式組的非負(fù)整數(shù)解?

Em%-2x(x+2)x+2

【解答】解：(1)原式=[—--τ—八7卜—7

X+2(%+2)2,x-4

x-2X%+2

=(--------)?---

x+2x+2%-4

——_x_-_2_-_X.%+2

%+2χ-4

久+

-___2_?-----2-

x÷2χ-4

2

x-4;

2x+5≤3（X+2）①

（2）1+3X-.，

（2χ-?2yΞ<2z②

解①得：x2-1,

解②得：x<5,

故不等式組的解集為：-IWXV5,

則不等式組的非負(fù)整數(shù)解為：O,1,2,3,4.

17.（6分）由于疫情爆發(fā)，小王家所在的小區(qū)被管控，規(guī)定每兩日每戶可派一人出小區(qū)購

買生活必需品.小王和爸爸用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，游戲規(guī)則如下：分別旋轉(zhuǎn)兩

個轉(zhuǎn)盤，將A盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，8盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)；如果差為負(fù)數(shù)，爸

爸出小區(qū)購買生活必需品；若差為正數(shù)，小王出小區(qū)購買生活必需品.這個游戲?qū)﹄p方

公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由.

【解答】解：這個游戲?qū)﹄p方不公平，理由如下:

列表如下：

1256

3-2-123

5-4-301

5-4-301

由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中差為負(fù)數(shù)的有6種結(jié)果，差為正數(shù)的有4種結(jié)果，

.?.爸爸出小區(qū)購買生活必需品的概率為&=工，小王出小區(qū)購買生活必需品的概率為

122

_4__1

1213,

???這個游戲?qū)﹄p方不公平.

18.（6分）為了解我校學(xué)生每天的睡眠時間（單位：小時），隨機調(diào)查了我校的部分學(xué)生,

根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出如圖統(tǒng)計圖.若我校共有IO（X）名學(xué)生，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下

列問題:

(1)本次接受調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為

(2)請補全條形統(tǒng)計圖;

(3)求所調(diào)查的學(xué)生每天睡眠時間的方差;

（4）若睡眠時間超過7小時及以上在白天才能達(dá)到良好的學(xué)習(xí)效果，估計我校學(xué)生每天

睡眠時間不足的人數(shù).

【解答】解：（1）4÷10%=40（人）,

10÷40X100%=25%,即山=25,

故答案為：40,25；

（2）樣本中睡眠時間為7/!的學(xué)生人數(shù)為：40-4-8-10-3=15（人）,

補全條形統(tǒng)計圖如下:

A人數(shù)

所以方差為：S2=?[(5-7)2×4+(6-7)2×8+(7-7)2×15+(8-7)2X10+(9

-7)2×3]

=1.15,

答：方差為1.15；

4+8-

(4)1000-----=300(名)，

40

答：全校IOoO名學(xué)生中，睡眠時間不足7〃，即每天睡眠時間不足的大約有300名.

19.(6分)如圖，某電影院的觀眾席成“階梯狀”，每一級臺階的水平寬度都為?m,垂直

高度都為0.3m.測得在C點的仰角∕ACE=42°,測得在。點的仰角∕4OF=35°.求

銀幕AB的高度.(參考數(shù)據(jù)：sin35o?=0.57,cos35°Qo.82,tan35°≈=≈0.7,sin42°≈

0.67,cos42o≈?≈0.74,tan42o≈?≈0.9)

【解答】解：延長CADF交AB于H、G,

由題意知，NAG。=NA4C=90°,

在RtZ?AGQ中，NADG=35°,

Λtan35o=需，

即OG=盛尹

在RtZ?4CH中，NACH=42°,

?taπ42°=

即S=備

u

?AH=AG+GHfG"=0.3,

.「口_4G+0.3

??5=tan42o9

'JDG-CH=I9

AGAG+03

---------------------=1,

tαn35otαn42o

AGAG+0.3

——----------=1

0.70.9

解得：AG=4.2,

???AB=AG+G∕∕+8H=4.2+0.3+0.6=5.1.

答:銀幕A8的高度約為5.1機.

20.(6分)如圖，直線尸-%+而與X軸，y軸分別交于點8、A兩點，與雙曲線相交于C、

。兩點，過C作CELV軸于點E,已知08=3,OE=X.

(1)求直線AB和雙曲線的表達(dá)式；

(2)設(shè)點/是X軸上一點，使得SAC=2SACO3,求點尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1)?.?0B=3,OE=I,

???B(3,0),C點的橫坐標(biāo)為-1,

Y直線尸一審+加經(jīng)過點8,

1

**?0=—?x3+"?,解得m=1,

，直線為：y=-g+l,

Il4

把x=~1代入y=—??÷1得，y=—?×(-1)÷1=?,

?.?點C在雙曲線y=W(A≠0)上,

44

X-=--

33

.?.雙曲線的表達(dá)式為：尸-白

(2)?.?O8=3,CE=三,

14

:?SMCOB=2×3×?=2,

*.*SACEF=2sAeOB,

14

：.S&CEF=2XEFX?=4,

：.EF=6,

?：E(-1,0),

工F(-7,0)或(5,0)；

21.(6分)(1)問題提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究.

探究一：如圖1,在AABC中，乙4BC=90°,AC=b,BC=a,ZC=Za,求AABC

的面積?

在RtZ?A8C中，∕A8C=90°,

..AB

..SIna=京

.'.AB=b*sina.

11

."?SMBC=?2BC?AB=WbSina.

探究二：如圖2,Z?ABC中，AB=AC=b,BC=a,NB=Ncc,求AABC的面積（用含a、

b、a代數(shù)式表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,4ABC中，AB=b,BC=a,ZB=Za,求aABC的面積（用a、b、a

表示）寫出探究過程.

問題解決：己知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：一個三角形兩邊

及其夾角的正弦值的積的一半（用文字?jǐn)⑹觯?

問題應(yīng)用：如圖4,已知平行四邊形ABCD中，A8=6,BC=a,NB=a,求平行四邊形

ABCO的面積（用a、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用a、b、c、

d、a、β表示），其中AB—b,BC=c,CD=d,AD=a,ZA—a,ZC=β.

【解答】解：探究二：如圖2中，作AHJ_CB于H.

圖2

9

?AB=AC=bfBC=a,ZB=Zaf

.,.NB=NC=a,

在RtZ?A4C中，ZAHC=90o,

..AH

..sιnα=市:,

ΛAW=??sina,

11

.*.SMBC=^BC?AH=嚴(yán)加ina.

探究三：如圖3中，作A"，CB于”.

在RtZ?AHC中，ZAHC=Wo

.?.sina=第,

.?AH=b?s?na

11

9

.*.SΔABC=2^CAH=,4〃Sina?

問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半.

問題應(yīng)用：如圖4中，作LCB于

圖4

在RtZ?AH8中，NAHB=9?！?/p>

..AH

..sιna=麗,

ΛA∕∕=??sina

?*?S平行四邊形A8CQ=JBC?AZZ=Hsina.

問題拓廣:

圖5

11

連接8￡）,由探究三的結(jié)論可得：SAABD=*XABXAOXSina=川?sinα.

11

S^BCD=2XBCXCD=臥：小5坪.

11

.".S四邊形ABCo=2ɑe,sina+ICd?sinβ.

22.（8分）為了改善湘西北地區(qū)的交通，我省正在修建長（沙）-益（陽）-常（德）高

鐵，其中長益段將于2021年底建成.開通后的長益高鐵比現(xiàn)在運行的長益城際鐵路全長

縮短了40千米，運行時間為16分鐘；現(xiàn)乘坐某次長益城際列車全程需要60分鐘，平均

13

速度是開通后的高鐵的?7?

（I）求長益段高鐵與長益城際鐵路全長各為多少千米？

（2）甲、乙兩個工程隊同時對長益段高鐵全線某個配套項目進(jìn)行施工，每天對其施工的

長度比為7：9,計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確

保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？

【解答】解：（1）設(shè)長益段高鐵全長為X千米，長益城際鐵路全長為y千米，

根據(jù)題意，

y=X+40

y_X13,

{60=16X30

X=64

解得:

>=104,

答：長益段高鐵全長為64千米，長益城際鐵路全長為104千米.

（2）設(shè)甲隊后期每天施工a千米,

甲原來每天的施工長度為64÷40x/=0.7（千米）,

乙每天的施工長度為64÷40x得=0.9（千米）,

根據(jù)題意，得：0.7×5+0.9×(40-3)+(40-3-5)a264,

解得：β≥0.85,

答：甲工程隊后期每天至少施工0.85千米，可確保工程提早3天以上(含3天)完成.

23.(8分)已知：如圖，在直角梯形A3C。中，ZABC=90Q,AD//BC,LAC于點凡

交BC于點、G,交AB的延長線于點￡,且AE=AC.

(1)求證：AB=AF↑

(2)若NAcB=30°,連接AG,判斷四邊形AGC。是什么特殊的四邊形？并證明你的

結(jié)論.

E

【解答】(1)證明：VZABC=90o,DElAC,

：.ZABC=ZAFE=WO,

在aABC和AAFE中

(ZBAC=ZFAE

,?,??ABC=Z.AFE，

Uc=AE

：.ABC^∕?AFE(AAS),

：.AB=AF.

(2)四邊形AGeO是菱形.

證明：VZACB=30o,ZABC=90o,

：.IAB=AC,

*：AB=AF,

：.AC=2AF=AF+FCf

：.AF=CF,

?9AD∕∕BC,

：./DAF=NFCG,

在aOAF和AGCF中

(ZDFA=NCFG

?AF=FC，

[?DAF=乙FCG

.?∕?DAF^AGCF(ASA),

：.AD=CGf

9CAD//CG,

???四邊形AGCD是平行四邊形,

VDGlAC,

???平行四邊形AGS是菱形.

24.（10分）青島方特夢幻王國位于美麗的山東省青島市紅島海濱，由深圳華強集團(tuán)投資興

建.火流星是其經(jīng)典項目之一.如圖所示，F(xiàn)-EfG為火流星過山車的一部分軌道，它

可以看成一段拋物線.其期OE=等米，OF=黑米（軌道厚度忽略不計）.

（1）求拋物線FfEfG的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和G,當(dāng)過山車運動到G處時，平行于地面

向前運動了蓑米至K點，又進(jìn)入下坡段K-H（K接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物

線KfHfQ的形狀與拋物線PfEfG完全相同，在G到Q的運動過程中，求OH的距

離；

（3）現(xiàn)需要在軌道下坡段F-E進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、

CM、BN、DN,且要求OA=A8.已知這種材料的價格是80000元/米，如何設(shè)計支架，

會使造價最低？最低造價為多少元？

【解答】解：(1)由圖象可設(shè)拋物線解析式為y="(?-?)2

把尸(0,—)代入，得：

12525?

瓦?=”(0F'

解得:a=

.?.拋物線FfE-G的函數(shù)關(guān)系式為y=&(?-?)2；

(2)當(dāng)y=5時，5=考(X—第2,

解得：Xl=稱，X2=?,

545

：.P(-,5),G(―,5),

88

?生_5一竺Y

??PG^-8"^8^T^5,

Y拋物線KfH-Q的形狀與拋物線P-E-G完全相同,

???拋物線Kf”一。由拋物線PfE-G向右平移(PG