第二章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(本題有10小題，每小題3分，共30分)1.[教材P28作業(yè)題T1變式]下列方程中一定是一元二次方程的是() A.ax2＋bx＋c＝0 B.3x2－2x＋1＝mx2 C.x＋eq\f(1,x)＝1 D.(a2＋a＋2)x2－3x＋1＝02.[2023·溫州甌海區(qū)月考]將方程2x2－1＝3x化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為() A.2，1，3 B.2，－1，3 C.2，－3，－1 D.2，－3，13.用配方法解方程x2＋6x＋8＝0時，配方后得到的方程是() A.(x＋3)2＝1 B.(x＋3)2＝8 C.(x－3)2＝1 D.(x－3)2＝94.某品牌手機經(jīng)過5，6月份連續(xù)兩次降價每部售價由10000元降到6400元，且第二次降價的百分率是第一次的2倍，設(shè)第二次降價的百分率為x，根據(jù)題意可列方程為() A.10000(1－x)(1－2x)＝6400 B.6400(1－x)(1＋2x)＝10000 C.10000(1－x)(1－0.5x)＝6400 D.6400(1＋x)(1＋0.5x)＝100005.關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是() A.－2 B.－1 C.0 D.16.方程x2－9x＋18＝0的兩個根是等腰三角形的底和腰的長，則這個三角形的周長是() A.12 B.15 C.12或15 D.18或97.[2023·杭州蕭山區(qū)期中]已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，則x2＋y2的值為() A.0 B.4 C.4或－2 D.－28.已知a是方程x2－2025x＋4＝0的一個解，則a2－2024a＋eq\f(8100,a2＋4)＋7的值為() A.2028 B.2027 C.2026 D.20259.[數(shù)學(xué)文化]古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元250年前后)在《算術(shù)》中就已提出一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法求解.歐幾里得的《原本》記載，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的圖解法是：如圖，畫Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝eq\f(a,2)，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝eq\f(a,2).則該方程的一個正根是()A.CD的長 B.AC的長 C.AD的長 D.BC的長10.[2023·杭州西湖區(qū)期中]對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則b2－4ac≥0；②若方程ax2＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不相等的實數(shù)根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，則一定有ac＋b＋1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，則b2－4ac＝(2ax0＋b)2.其中正確的是()A.①② B.①②④ C.①②③④ D.①②③二、填空題(本題有6小題，每小題4分，共24分)11.方程x2－6x－4＝0的兩根為x1＝________，x2＝________.12.若x＝1是一元二次方程2x2－x＋m＝0的一個根，則m的值是________.13.已知二次項系數(shù)為1的一元二次方程(未知數(shù)為x)的兩根分別是2和－3，則這個一元二次方程是________________.14.[2023·杭州濱江區(qū)期中]九年級舉行班級足球賽，先把所有班通過抽簽平均分成A，B兩組，再在每一組中進行單循環(huán)的小組賽(每兩個班之間比賽一場)，若A組共進行了21場小組賽，則九年級共有______個班級.15.若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程x2－4x＋2＝0的兩個實數(shù)根，則這個直角三角形斜邊的長是________.16.《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2＋8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖①，先構(gòu)造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的長方形，得到大正方形的面積為33＋16＝49，則該方程的正數(shù)解為7－4＝3.”小唐按此方法解關(guān)于x的方程x2＋12x＝m時，構(gòu)造出如圖②所示的圖形，已知陰影部分的面積為60，則該方程的正數(shù)解為________.三、解答題(本題有8小題，共66分)17.(6分)解方程： (1)x2＋2x－1＝0； (2)x2－4x＝4.18.(6分)[2023·荊州]已知關(guān)于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有兩個不相等的實數(shù)根. (1)求k的取值范圍； (2)當k＝1時，用配方法解方程.19.(6分)已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個實數(shù)根. (1)求m的取值范圍； (2)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； (3)已知等腰三角形ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是等腰三角形ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.20.(6分)[2023·杭州]設(shè)一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程. ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝－1； ④b＝2，c＝2.21.(8分)[2023·郴州]隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人.(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？22.(10分)某校為了進行學(xué)雷鋒愛心義賣活動，決定在操場劃分一塊面積為480m2的長方形場地.若長方形場地的一邊靠墻(墻長31m)，另外三邊由總長為60m的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設(shè)置了一個開口寬為1m的入口和出口(如圖).請根據(jù)方案計算出長方形場地平行于墻的邊長為多少米？23.(10分)[2023·杭州拱墅區(qū)期中]關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2. (1)求實數(shù)k的取值范圍； (2)用含k的代數(shù)式表示|x1－x2|； (3)是否存在實數(shù)k，使得|x1|－|x2|＝eq\r(3)？若存在，試求出k的值； 若不存在，說明理由.24.(14分)[教材P44作業(yè)題T5變式]如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動.點P，Q同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，設(shè)運動時間為ts.(1)填空：BQ＝________cm,PB＝________cm；(用含t的代數(shù)式表示)(2)當t為多少時，PQ的長度等于8cm?(3)是否存在某一時刻，使四邊形APQC的面積等于△ABC面積的eq\f(2,3)？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由.

答案一、1.D2.C3.A4.C5.A6.B【點撥】x2－9x＋18＝0，分解因式，得(x－3)(x－6)＝0，所以x1＝3，x2＝6，所以等腰三角形三邊長為3，3，6或3，6，6，當腰長為3時，三角形不存在，故三角形的底邊長為3，腰長為6，所以這個等腰三角形的周長為3＋6＋6＝15.7.B【點撥】設(shè)x2＋y2＝z，則原方程換元為(z＋1)(z－3)＝5，即z2－2z－8＝0，∴(z－4)(z＋2)＝0，解得z1＝4，z2＝－2，即x2＋y2＝4或x2＋y2＝－2(不合題意，舍去)，∴x2＋y2＝4.8.A【點撥】由題意得a2－2025a＋4＝0，∴a2＝2025a－4，a2＋4＝2025a，∴原式＝2025a－4－2024a＋eq\f(8100,2025a)＋7＝a－4＋eq\f(4,a)＋7＝eq\f(a2＋4,a)＋3＝eq\f(2025a,a)＋3＝2028.9.C【點撥】利用勾股定理得AC2＋BC2＝AB2＝(AD＋BD)2，將BC＝eq\f(a,2)，AC＝b，BD＝eq\f(a,2)代入，整理得AD2＋a·AD＝b2，與原方程比較，可得AD的長是方程x2＋ax＝b2的一個正根.10.B【點撥】①若a＋b＋c＝0，則x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可b2－4ac≥0，故①正確； ②∵方程ax2＋c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴0－4ac＞0，∴－4ac＞0，則方程ax2＋bx＋c＝0的判別式b2－4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有兩個不相等的實數(shù)根，故②正確；③∵c是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，則ac2＋bc＋c＝0，∴c(ac＋b＋1)＝0，若c＝0，則ac＋b＋1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，則由求根公式得x0＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)或x0＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)， ∴2ax0＋b＝eq\r(b2－4ac)或2ax0＋b＝－eq\r(b2－4ac)， ∴b2－4ac＝(2ax0＋b)2，故④正確.二、11.3＋eq\r(13)；3－eq\r(13)12.－113.x2＋x－6＝014.14【點撥】設(shè)A組共有x個班級.依題意得eq\f(1,2)x(x－1)＝21，解得x1＝7，x2＝－6(不合題意，舍去)，∴九年級共有7×2＝14(個)班級.15.2eq\r(3)【點撥】設(shè)兩條直角邊的長分別是a，b，則a＋b＝4，ab＝2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×2＝12，∴直角三角形斜邊的長是eq\r(12)＝2eq\r(3).16.4eq\r(6)－6三、17.【解】(1)x2＋2x－1＝0，移項得x2＋2x＝1，配方得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2，則x＋1＝±eq\r(2)，∴x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2).(2)x2－4x＝4，配方得x2－4x＋4＝4＋4，即(x－2)2＝8，則x－2＝±2eq\r(2)，∴x1＝2＋2eq\r(2)，x2＝2－2eq\r(2).18.【解】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴[－(2k＋4)]2－4k(k－6)＞0，且k≠0，解得k>－eq\f(2,5)且k≠0.(2)當k＝1時，原方程為x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，即x2－6x－5＝0，移項得x2－6x＝5，配方得x2－6x＋9＝5＋9，即(x－3)2＝14，直接開平方得x－3＝±eq\r(14)，解得x1＝3＋eq\r(14)，x2＝3－eq\r(14).19.【解】(1)由題意得4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，解得m≥2.(2)由題意得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，由(x1－1)(x2－1)＝28得x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，即m2－2m－24＝0，解得m＝6或m＝－4，由(1)知m≥2，∴m＝6.(3)由題意得，當7是底邊長時，x1＝x2，∴4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2，此時原方程為x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能組成三角形；當7是腰長時，原方程有一個解為7，∴72－14(m＋1)＋m2＋5＝0，即m2－14m＋40＝0，解得m＝4或m＝10.當m＝4時，原方程為x2－10x＋21＝0.解得x＝7或x＝3.∴等腰三角形ABC的周長為7＋7＋3＝17；當m＝10時，原方程為x2－22x＋105＝0.解得x＝7或x＝15.∵7＋7＜15，∴不能組成三角形.綜上，等腰三角形ABC的周長為17.20.【解】∵使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2－4c＞0，即b2＞4c，∴選②③均可.選②解方程，則這個方程為x2＋3x＋1＝0，∴x＝eq\f(－3±\r(5),2)，即x1＝eq\f(－3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－3－\r(5),2)；選③解方程，則這個方程為x2＋3x－1＝0，∴x＝eq\f(－3±\r(13),2)，即x1＝eq\f(－3＋\r(13),2)，x2＝eq\f(－3－\r(13),2).21.【解】(1)設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由題意得1.6(1＋x)2＝2.5，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合題意，舍去).答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25%.(2)設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬人，由題意得2.125＋10a≤2.5×(1＋25%)，解得a≤0.1.答：5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人.22.【解】設(shè)長方形場地平行于墻的邊長為xm(x≤31)，則垂直于墻的邊長為eq\f(1,2)(60－x＋1×2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(31－\f(1,2)x))m，由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(31－\f(1,2)x))x＝480，∴31x－eq\f(1,2)x2＝480，∴x2－62x＋960＝0，∴(x－30)(x－32)＝0，解得x＝30或x＝32(舍去).答：長方形場地平行于墻的邊長為30m.23.【解】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＞0，整理得4k－11＞0，∴k>eq\f(11,4).(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3.∴(x1－x2)2