課時素養(yǎng)評價三十對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)(15分鐘30分)1.已知實(shí)數(shù)a=log23,b=QUOTE,c=log0.32,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.b<c<a B.b<a<cC.c<a<b D.c<b<a【解析】選D.因為a=log23>log22=1,b=QUOTE=1,c=log0.32<log0.31=0,所以c<b<a.2.若logaQUOTE<1,則a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪(1,+∞)【解析】選D.由logaQUOTE<1得:logaQUOTE<logaa.當(dāng)a>1時,有a>QUOTE,即a>1;當(dāng)0<a<1時,則有0<a<QUOTE.綜上可知,a的取值范圍是QUOTE∪(1,+∞).3.函數(shù)f(x)=QUOTE的值域為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】由題意知,當(dāng)x>1時,f(x)=2a+lnx>2a;當(dāng)x≤1時,f(x)=a+1x2≤a+1.要使函數(shù)f(x)的值域為R,需滿足2a≤a+1,即a≤1.答案:(∞,1]4.已知函數(shù)f(x)=loga(x+2),若圖象過點(diǎn)(6,3),則f(x)=________,f(30)=________.

【解析】代入(6,3),得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,所以a=2,所以f(x)=log2(x+2),所以f(30)=log232=5.答案:log2(x+2)55.(2020·濰坊高一檢測)已知直線mx+ny3=0經(jīng)過函數(shù)g(x)=logax+1(a>0且a≠1)的定點(diǎn),其中mn>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】由題意可得定點(diǎn)A(1,1),又點(diǎn)A在直線mx+ny3=0上,所以m+n=3,則QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)=QUOTE≥QUOTE(2+2)=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE且m+n=3,即m=n=QUOTE時取等號.答案:QUOTE6.已知函數(shù)fQUOTE=logaQUOTE,gQUOTE=logaQUOTE,QUOTE.(1)設(shè)a=2,函數(shù)g(x)的定義域為[15,1],求g(x)的最大值.(2)當(dāng)0<a<1時,求使fQUOTEgQUOTE>0的x的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=2時,gQUOTE=log2QUOTE,在QUOTE上為減函數(shù),因此當(dāng)x=15時gQUOTE的最大值為4.(2)fQUOTEgQUOTE>0,即fQUOTE>gQUOTE,所以當(dāng)0<a<1時logaQUOTE>logaQUOTE,滿足QUOTE所以1<x<0,故當(dāng)0<a<1時f(x)g(x)>0的解集為QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.0<a=log52<log5QUOTE=QUOTE,b=log0.50.2>log0.50.5=1,1=0.50>c=0.50.2>0.51=QUOTE,所以a<c<b.2.若log(a1)(2x1)>log(a1)(x1),則有 ()A.1<a<2,x>0 B.1<a<2,x>1C.a>2,x>0 D.a>2,x>1【解析】選D.當(dāng)a>2時,a1>1,由QUOTE解得x>1;當(dāng)1<a<2時,0<a1<1,由QUOTE無解.3.(2020·寧波高一檢測)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),且g(x)=f(|x|).若g(lgx)>g(1),則x的取值范圍是 ()A.[1,10) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪(10,+∞)【解析】選C.由題意,因為g(x)=f(|x|)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù),又因為f(x)是[0,+∞)上的增函數(shù),所以g(x)是[0,+∞)上的減函數(shù),又因為g(lgx)>g(1),所以g(|lgx|)>g(1),所以|lgx|<1,解得QUOTE<x<10.4.已知函數(shù)f(x)=|ln(x1)|,滿足f(a)>f(4a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(2,4)【解析】選A.函數(shù)f(x)=|ln(x1)|的定義域為(1,+∞),由f(a)>f(4a)可得:|ln(a1)|>|ln(4a1)|=|ln(3a)|,兩邊平方:[ln(a1)]2>[ln(3a)]2?[ln(a1)ln(3a)][ln(a1)+ln(3a)]>0,則QUOTE(1)或QUOTE(2)解(1)得a無解,解(2)得:1<a<2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.下列函數(shù)表達(dá)式中,是對數(shù)函數(shù)的有 ()A.y=logπx B.y=lnxC.y=2log4x D.y=log2(x+1)【解析】選AB.按對數(shù)函數(shù)的定義式判斷.6.已知0<a<b,a+b=1,則下列不等式中,正確的是 ()A.log2a<0 B.2ab<QUOTEC.QUOTE<4 D.log2a+log2b<2【解析】選AD.因為0<a<b且a+b=1,所以0<a<b<1,1<ab<0,所以log2a<0,A正確;2ab>21=QUOTE,B錯誤;因為QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2(當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=b時取等號),又0<a<b,所以QUOTE+QUOTE>2,所以QUOTE>22=4,C錯誤;因為ab≤QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號),又0<a<b,所以0<ab<QUOTE,所以log2a+log2b=log2ab<log2QUOTE=2,D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2020·菏澤高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=f(x)成立,則稱f(x)為“美麗函數(shù)”.下列所給出的函數(shù),其中是“美麗函數(shù)”的是 ()A.y=x2 B.y=QUOTEC.y=ln(2x+3) D.y=2x+3【解析】選BCD.由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為D,?x∈D,?y∈D,使得f(y)=f(x)成立,所以函數(shù)f(x)的值域關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于A中,函數(shù)y=x2的值域為[0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對稱,不符合題意;對于B中,函數(shù)y=QUOTE的值域為(∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對稱,符合題意;對于C中,函數(shù)y=ln(2x+3)的值域為R,關(guān)于原點(diǎn)對稱,符合題意;對于D中,函數(shù)y=2x+3的值域為R,關(guān)于原點(diǎn)對稱,符合題意.三、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)f(x)=QUOTE則f(f(2))=________.

【解析】因為f(2)=102>0,f(102)=lg102,令lg102=a,則10a=102,所以a=2,所以f(f(2))=2.答案:28.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(a>0且a≠1)在R上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是________.

【解析】由分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減可得0<a<1,又因為二次函數(shù)圖象開口向上,所以QUOTE≥0,解得a≤QUOTE,且[x2+(4a3)x+3a]min(x<0)≥[loga(x+1)+1]max(x≥0),將x=0代入可得3a≥1,解得a≥QUOTE,所以a的取值范圍是QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2020·鄂爾多斯高一檢測)設(shè)函數(shù)f(x)=(log2x+2)(log2x+1)的定義域為QUOTE.(1)若t=log2x,求t的取值范圍;(2)求y=f(x)的最大值與最小值,并求出取得最值時對應(yīng)的x的值.【解析】(1)因為t=log2x,而x∈QUOTE.所以t的取值范圍為QUOTE=[2,2].(2)y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1),令g(t)=(t+2)(t+1)=t2+3t+2(2≤t≤2).因為g(t)在區(qū)間QUOTE上是減函數(shù),在區(qū)間QUOTE上是增函數(shù),所以當(dāng)t=log2x=QUOTE,即x=QUOTE時,y=f(x)有最小值,最小值為fQUOTE=gQUOTE=QUOTE;當(dāng)t=log2x=2,即x=4時,y=f(x)有最大值,最大值為f(4)=g(2)=12.10.(2020·天津高一檢測)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)在QUOTE上的最大值為2.(1)求a的值;(2)若0<a<1,求使得f(f(x)2)>0成立的x的取值范圍.【解析】(1)由題意,當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=logax在QUOTE上單調(diào)遞增,因此f(x)max=f(2)=loga2=2,解得a=QUOTE;當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)=logax在QUOTE上單調(diào)遞減,因此f(x)max=fQUOTE=logaQUOTE=2,解得a=QUOTE.綜上可知:a=QUOTE或a=QUOTE.(2)由不等式f(f(x)2)>0,即loga(f(x)2)>loga1,又0<a<1,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得0<f(x)2<1,即2<loQUOTEx<3,解得QUOTE<x<QUOTE.1.函數(shù)f(x)=log3(x2x2)的定義域為 ()A.{x|x>2或x<1}B.{x|1<x<2}C.{x|2<x<1}D.{x|x>1或x<2}【解析】選A.由題意得:x2x2>0,解得:x>2或x<1,所以函數(shù)的定義域是{x|x>2或x<1}.2.(2020·鄭州高一檢測)已知函數(shù)f(x)=logaQUOTE(a>0且a≠1).(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)求不等式f(x)>0的解集.【解析】(1)由QUOTE>0得1<x<1,函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,又f(x)=logaQUOTE=logaQUOTE=f(x),所以f(x)為奇函數(shù).(2)(ⅰ)當(dāng)a>1時,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得QUOTE>1,解得1<x<0;(ⅱ)當(dāng)0<a<1時,由f(x)>0,即logaQUOTE>0,得0<QUOTE<1,解得0<x<1.綜上所述,當(dāng)a>1時,不等式f(x)>0的解集為{x|1<x<0};當(dāng)0<a<1時,不等式f(x)>0的解集為{x|0<x<1}.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)fQUOTE=log2QUOTE.(1)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論.(2)解不等式fQUOTE<1.【解析】(1)f(x)為奇函數(shù),證明:QUOTE>0?1<x<1,所以f(x)的定義域為(1,1),關(guān)于原點(diǎn)對稱,任取x∈(1,1),則x∈(