絕密★啟用前呂梁臨縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)易錯(cuò)題整理考試范圍：八年級(jí)上冊(cè)(人教版)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題（共10題）1.（2021?寧波模擬）下列計(jì)算正確的是?(???)??A.??a2B.??a5C.?(?D.??a52.（安徽省合肥市廬江縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）若P=（a+b）2，Q=4ab，則（）A.P＞QB.P＜QC.P≥QD.P≤Q3.下列是關(guān)于x的分式方程的有（）①=4②+2=③=-2，④=+1．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4.（2020年秋?無(wú)棣縣期末）將下列多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果中不含因式x+1的是（）A.x2-1B.x2-2x+1C.x（x-2）+（x+2）D.x2+2x+15.（2021?高陽(yáng)縣模擬）小剛設(shè)計(jì)了用?n??個(gè)完全相同的?ΔABC??紙片（如圖?1)??拼接正多邊形的游戲，用6個(gè)?ΔABC??紙片按照?qǐng)D2所示的方法拼接起來(lái)，能夠圍成正六邊形．如果用若干個(gè)?ΔABC??紙片按照?qǐng)D3所示的方法拼接起來(lái)，那么能夠圍成的正多邊形為?(???)??A.正六邊形B.正八邊形C.正九邊形D.正十邊形6.（2021年春?連山縣校級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（）A.（-a3）4=a12B.a3?a4=a12C.3a?4a=12aD.（a3）2=a97.下列算式正確的是（）A.（）m=B.（）2=C.（-）2=-D.（）4=8.（北京市三帆中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）下列等式成立的是（）A.（-）-2=B.=-C.0.00061=6.1×10-5D.=9.若將三條高線長(zhǎng)度分別為x、y、z的三角形記為（x，y，z），則在以下四個(gè)三角形中（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)10.（福建省泉州市泉港區(qū)峰片區(qū)八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份））如圖，在△ABC中，AC=4，BC邊上的垂直平分線DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E，若△AEC的周長(zhǎng)是14，則直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（）A.28B.18C.10D.7評(píng)卷人得分二、填空題（共10題）11.（黑龍江省大慶市祥閣中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）（2012秋?大慶校級(jí)期中）如圖，∠B=∠D=90°，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：，使△ABC≌△ADC．12.（2021?天心區(qū)二模）如圖，矩形?ABCD??中，點(diǎn)?E??在?AD??上，過(guò)點(diǎn)?E??作?EF⊥BE??交?CD??于?F??，且?BC=BE=10??，?FC=FE=5??，點(diǎn)?M??是線段?CF??上的動(dòng)點(diǎn)，連接?BM??，過(guò)點(diǎn)?E??作?BM??的垂線交?BC??于點(diǎn)?N??，垂足為?H??．以下結(jié)論：①?∠FED=∠EBA??；②?AE=6??；③?AE?ED=CD?DF??；④連接?CH??，則?CH??的最小值為?6513.（2022年春?邵陽(yáng)縣校級(jí)月考）若（-5am+1b2n-1）（2anbm）=-10a4b4，則n-m的值為．14.（江蘇省泰州市興化市沈倫中學(xué)八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）小強(qiáng)站在鏡前，從鏡中看到鏡子對(duì)面墻上掛著的電子表顯示的時(shí)刻為20：15，則電子表的實(shí)際時(shí)刻是．15.（2009-2010學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市湯汪中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）（2009秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）一圖章上刻有如圖，那么印在紙上的數(shù)字是．16.（福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）（2020年秋?長(zhǎng)樂(lè)市期中）如圖是一個(gè)活動(dòng)的衣帽架，它應(yīng)用了四邊形的性．17.（江蘇省無(wú)錫市宜興市新街中學(xué)八年級(jí)（上）第一次課堂檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）問(wèn)題提出學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．初步思考我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可以分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．深入探究第一種情況：當(dāng)∠B為直角時(shí)，△ABC≌△DEF（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B為銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等（3）如圖，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中再作出△DEF，△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使得△ABC≌△DEF，請(qǐng)直接填寫結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．18.（2021?杭州一模）如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校旗桿?AB??的高度，他發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，從而測(cè)得繩子比旗桿長(zhǎng)?a??米，小明將這根繩子拉直，繩子的末端落在地面的點(diǎn)?C??處，點(diǎn)?C??距離旗桿底部?b??米?(b>a)??，則旗桿?AB??的高度為______米（用含?a??，?b??的代數(shù)式表示）．19.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，寬為3n，高為4mn-1，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是．20.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，（1）若PA=1，PB=，PC=2，則點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為，∠APB=．（2）若∠CPB=110°，∠APC=α，則當(dāng)α為度時(shí)，△P′PB是等腰三角形．評(píng)卷人得分三、解答題（共7題）21.（2021?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知正方形?ABCD??，點(diǎn)?E??在邊?BC??上，點(diǎn)?F??在?CD??的延長(zhǎng)線上，且?DF=BE??，求證：?AF⊥AE??．22.（2021?寧波模擬）圖①②都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形組成的正六邊形，已經(jīng)有5個(gè)小等邊三角形涂上陰影，請(qǐng)?jiān)谟嘞碌目瞻仔〉冗吶切沃?，分別按下列要求選取一個(gè)涂上陰影．（1）使得6個(gè)陰影小等邊三角形組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形．（2）使得6個(gè)陰影小等邊三角形組成的圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．（請(qǐng)將兩個(gè)小題依次作答在圖①，圖②中，均只需畫出符合條件的一種情形）23.（四川省綿陽(yáng)市平武縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-2，5），B（-4，3），C（-3，0），D（-1，2）．（1）在圖中畫出四邊形ABCD關(guān)于y軸對(duì)稱的四邊形A1B1C1D1（其中A1、B1、C1、D1）分別是A、B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，不寫畫法．（2）直接寫出A1、B1、C1、D1的坐標(biāo)．24.已知：3x-2y=40，x-4y=-50，利用因式分解求（x+y）2-（2x-3y）2的值．25.（2022年江蘇省鎮(zhèn)江市潤(rùn)州區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷）計(jì)算：（1）計(jì)算|-3|+（-1）0+sin30°（2）化簡(jiǎn)(-)×．26.（2016?濱湖區(qū)一模）（1）計(jì)算：|-3|-（）-2+20160；（2）若a=b+2，求代數(shù)式3a2-6ab+3b2的值．27.如圖，△ABC是一個(gè)等腰三角形鋼架，現(xiàn)要在橫梁BC上確定一點(diǎn)D，使△ABD≌△ACD，點(diǎn)D的位置應(yīng)當(dāng)選在何處？為什么？參考答案及解析一、選擇題1.【答案】解：?A??．??a2+?a?B??．??a5??a?C??．?(??a5?D??．??a5÷?a故選：?D??．【解析】利用同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方與積的乘方法則，合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行逐一判斷即可．本題考查了同底數(shù)冪的乘除法法則，冪的乘方與積的乘方法則，合并同類項(xiàng)法則，能準(zhǔn)確運(yùn)用法則是解題的關(guān)鍵．2.【答案】【解答】解：∵P=（a+b）2，Q=4ab，∴P-Q=（a+b）2-4ab=（a-b）2≥0，則P≥Q，故選C【解析】【分析】把P與Q代入P-Q，去括號(hào)合并整理后，判斷差的正負(fù)即可．3.【答案】【解答】解：①=4不是分式方程；②+2=不是分式方程；③=-2，不是分式方程，④=+1，是分式方程．故選：A．【解析】【分析】直接利用分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，進(jìn)而得出答案．4.【答案】【解答】解：A、x2-1=（x+1）（x-1），故此選項(xiàng)不合題意；B、x2-2x+1=（x-1）2，故此選項(xiàng)符合題意；C、x（x-2）+（x+2）=x2-x+2=（x+1）（x-2），故此選項(xiàng)不合題意；D、x2+2x+1=（x+1）2，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【解析】【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，進(jìn)而得出答案．5.【答案】解：?∵?正六邊形每一個(gè)內(nèi)角為?120°??，?∴∠ACB=120°-80°=40°??，?∴∠CAB=180°-120°=60°??，?∴??圖3中正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角為?60°+80°=140°??，?∵??360°?∴??可以得到外輪廓的圖案是正九邊形．故選：?C??．【解析】先根據(jù)正六邊形計(jì)算一個(gè)內(nèi)角為120度，可知?ΔABC??各角的度數(shù)，再根據(jù)圖3中正多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，可得結(jié)論．本題考查正多邊形和圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形內(nèi)角和與外角和公式．6.【答案】【解答】解：A、積的乘方等于乘方的積，故A正確；B、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故B錯(cuò)誤；C、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：系數(shù)乘系數(shù)，同底數(shù)的冪相乘，故C錯(cuò)誤；D、冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故D錯(cuò)誤；故選：A．【解析】【分析】根據(jù)積的乘方等于乘方的積，同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：系數(shù)乘系數(shù)，同底數(shù)的冪相乘；冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，可得答案．7.【答案】【解答】解：A、分式的乘方，分子分母分別乘方，故A正確；B、分式的乘方，分子分母分別乘方，故B錯(cuò)誤；C、分式的乘方，分子分母分別乘方，分子分母再分別冪的乘方，冪的乘方底數(shù)不變指數(shù)相乘，故C錯(cuò)誤；D、分式的乘方，分子分母分別乘方，分子分母再分別積的乘方，故D錯(cuò)誤；故選：A．【解析】【分析】根據(jù)分式的乘方，分子分母分別乘方，可得答案．8.【答案】【解答】解：A、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，故A錯(cuò)誤；B、=-，故B錯(cuò)誤；C、0.00061=6.1×10-4，故C錯(cuò)誤；D、分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，故D正確；故選：D．【解析】【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；科學(xué)記數(shù)法表示小數(shù)，可得答案．9.【答案】【解答】解：直角三角形中x、y為直角邊，z為斜邊上的高，則有xy=c，我們采用排除法假設(shè)都是直角三角形，①（6，8，10），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以10一定是一條直角邊，假設(shè)6是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于6×10÷8=7.5，其平方顯然不等于136，同理假設(shè)8是另一條直角邊8×10÷6=，其平方不等于164，也不符合，所以不是直角三角形；②（8，15，17），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以17一定是一條直角邊，假設(shè)8是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于17×8÷15=，其平方顯然不等于353，同理假設(shè)15是另一條直角邊15×17÷8=，其平方不等于514，也不符合，所以不是直角三角形；③（12，15，20），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以20一定是一條直角邊，假設(shè)12是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于20×12÷15=16，其平方顯然不等于544，同理假設(shè)15是另一條直角邊15×20÷12=25，其平方等于625，符合，所以是直角三角形；④（20，21，29），斜邊對(duì)應(yīng)的高一定比直角邊短，所以29一定是一條直角邊，假設(shè)21是另一條直角邊，則斜邊應(yīng)等于29×21÷20=，其平方顯然不等于1281，同理假設(shè)20是另一條直角邊29×20÷21=，其平方不等于1241，也不符合，所以不是直角三角形；符合條件的只有一個(gè)．故選：A．【解析】【分析】利用直角三角形的面積可知：兩條直角邊的乘積，等于斜邊與高的乘積；假設(shè)x、y為直角邊，z為斜邊上的高，則有xy=c，利用這個(gè)性質(zhì)逐一分析探討得出答案即可．10.【答案】【解答】解：∵DE是BC的中垂線，∴BE=EC，則AB=EB+AE=CE+EA，又∵△ACE的周長(zhǎng)為14，故AB=14-4=10，直線DE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為10．故選C．【解析】【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)和已知的周長(zhǎng)計(jì)算．二、填空題11.【答案】【解答】解：添加：AB=AD，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．故答案為：AB=AD．【解析】【分析】添加：AB=AD，根據(jù)HL定理可判定Rt△ABC≌Rt△ADC即可．12.【答案】解：連接?BF??，?CE??交于點(diǎn)?O??，由?BE=BC??，?EF=FC??可得?BF??垂直平分?EC??，?∵BF??垂直平分?EC??，?∴??在??R??t?Δ?B?BO=55-5=45設(shè)?DF??為?x??，?DC=5+x??，?DE=?52-?x2在??R??t?Δ?E??G?∴DC=8??，?DE=4??，?AE=6??，②正確；?∵??AE?∴ΔABE∽ΔDEF??，?∵AB=CD??，?∴???AECD=?∵ΔABE∽ΔDEF??，?∴∠FED=∠EBA??，①正確；?∵EN⊥BM??，?BE=10??，?∴??點(diǎn)?H??的運(yùn)動(dòng)軌跡為以?BE??中點(diǎn)?I??為圓心，5為半徑的?OHG過(guò)?I??作?IT⊥DC??于?T??，?CI=?4在?ΔIHC??中，?CH?CI-IH=65故答案為：①②③④．【解析】連接?BF??，?CE??交于點(diǎn)?O??，由?BE=BC??，?EF=FC??可得?BF??垂直平分?EC??，在??R??t?Δ?B??E??F???中，利用射影定理，?EO??，?FO??，?BF??均可求解，設(shè)?DF??為?x??，?DC=5+x??，?DE=?52-?x2??，在??R??t?Δ?E??G??C13.【答案】【解答】解：由（-5am+1b2n-1）（2anbm）=-10a4b4，得．解得，n-m=2-1=1，故答案為：1．【解析】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，系數(shù)乘系數(shù)，同底數(shù)的冪相乘，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得n、m的值，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案．14.【答案】【解答】解：∵實(shí)際時(shí)間和鏡子中的時(shí)間關(guān)于豎直的線成軸對(duì)稱，∴，故答案為：21：05．【解析】【分析】實(shí)際時(shí)間和鏡子中的時(shí)間關(guān)于豎直的線成軸對(duì)稱，畫出相關(guān)圖形可得實(shí)際時(shí)間．15.【答案】【解答】解：如圖所示：故答案為：918．【解析】【分析】印章與印在紙上的圖章成鏡面對(duì)稱，根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．16.【答案】【解答】解：一個(gè)活動(dòng)的衣帽架，它應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性，故答案為：不穩(wěn)定．【解析】【分析】根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性解答．17.【答案】【解答】（1）解：根據(jù)HL定理可以推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故答案為：HL；（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°-∠ABC=180°-∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如圖2，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF，故答案為：∠B≥∠A．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可18.【答案】解：設(shè)旗桿的高為?x??米．在??R?∵A?C?∴(?x+a)?∴x=?b故答案為：??b【解析】設(shè)旗桿的高為?x??米，在??R??t?Δ?A??B19.【答案】【解答】解：∵一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，寬為3n，高為4mn-1，∴這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是：2m?3n?（4mn-1）=6mn（4mn-1）=24m2n2-6mn．故答案為：24m2n2-6mn．【解析】【分析】直接利用長(zhǎng)方體體積公式結(jié)合單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則求出即可．20.【答案】【解答】解：（1）由題意可知BP′=PC=2，AP′=AP，∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，所以∠PAP′=60度．故△APP′為等邊三角形，所以PP′=AP=AP′=1；∵PA=1，PB=，PC=2．∴PP′2+BP2=BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°∴∠APB=90°+60°=150°．（2）∵PA=P′A，∠PAP′=60°，∴△P′PA是等邊三角形，∴∠P′PA=∠PP′A=60°，設(shè)∠APC=x時(shí)，由△BPP′是等腰三角形，則∠AP′B=x，∴∠BP′P=x-60°，①當(dāng)P′B=P′P時(shí)，則∠P′PB=∠PBP′=，∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，∴+60°+x+110°=360°，解得x=140°；②當(dāng)P′B=BA時(shí)，則∠P′PB=∠PP′B=x-60°∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，∴x-60°+60°+x+110°=360°，解得x=65°；③當(dāng)P′P=PB時(shí)，則∠P′PB=180°-2（x-60°）=300°-2x∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，∴300°-2x+60°+x+110°=360°，解得x=110°；所以，當(dāng)∠APC為140°或65°或110°，△BPP′是等腰三角形．故答案為：1，150°；140°或65°或110°．【解析】【分析】（1）由已知△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋轉(zhuǎn)角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；再由△APP′為等邊三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度數(shù)．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△P′PA是等邊三角形，得出∠P′PA=∠PP′A=60°，設(shè)∠APC=x時(shí)，由△BPP′是等腰三角形，則∠BP′A=x，∠BP′P=x-60°，分三種情況分別討論求得∠BPP′的值，根據(jù)∠BPP′+∠P′PA+∠BPC+∠BPC=360°，列出等式即可求得．三、解答題21.【答案】證明：由正方形?ABCD??，得?AB=AD??，?∠B=∠ADF=∠BAD=90°??．在?ΔABE??和?ΔADF??中，???∴ΔABE?ΔADF(SAS)??．?∴∠BAE=∠FAD??，?AE=AF??．?∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠FAD+∠EAD=90°??．即?∠EAF=90°??．?∴AF⊥AE??．【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到?∠B=∠ADF=90°??，?AD=AB??，求出?∠ADF??，根據(jù)?SAS??即可推出答案，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．本