一、選擇題1．若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是()．A．lg(1＋a2)＞0B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab＞2b2D．eq\f(a,b)＜eq\f(a＋1,b＋1)2．給出下列三個等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝eq\f(f(x)＋f(y),1－f(x)f(y)).下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是()．A．f(x)＝3xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2xD．f(x)＝tanx3．(2011浙江高考，理7)若a，b為實數(shù)，則“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()．A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件4．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()．A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一個不大于－2D．至少有一個不小于－25．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()．A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定6．一個平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲線的長度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為τ1，τ2，τ3，τ4，則下列關(guān)系中正確的是()．A．τ1＞τ4＞τ3B．τ3＞τ1＞τ2C．τ4＞τ2＞τ1D．τ3＞τ4＞τ1二、填空題7．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a，b的大小關(guān)系為________．8．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為__________．9．請閱讀下列材料：若兩個正實數(shù)a1，a2滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，那么a1＋a2≤eq\r(2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).根據(jù)上述證明方法，若n個正實數(shù)滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1時，你能得到的結(jié)論為__________．三、解答題10．已知，a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于eq\f(1,4).11．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)．(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明f(x)＝0沒有負實數(shù)根．12．已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F(0,1)，且過點A(2，t)，(1)求t的值；(2)若點P，Q是拋物線C上兩動點，且直線AP與AQ的斜率互為相反數(shù)，試問直線PQ的斜率是否為定值，若是，求出這個值；若不是，請說明理由．

參考答案一、選擇題1．B解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．B解析：易知第一個等式是對數(shù)函數(shù)模型，第二個等式是指數(shù)函數(shù)模型，第三個是兩角和與差的正切公式，易知只有B選項不合條件．3．A解析：∵0＜ab＜1，∴ab同號，當a，b同為正時，可得a＜eq\f(1,b)，當a，b同為負時，可得b＞eq\f(1,a)，因此0＜ab＜1?a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)；反之由a＜eq\f(1,b)得，a－eq\f(1,b)＜0，即eq\f(ab－1,b)＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0，,ab<1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b<0，,ab>1.))同理，由b＞eq\f(1,a)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,ab>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,ab<1.))因此a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)D0＜ab＜1，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分但不必要條件．4．C解析：因為a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，所以三者不能都大于－2.5．A解析：由正弦定理，得eq\f(c,sin120°)＝eq\f(a,sinA)，∴sinA＝eq\f(a·\f(\r(3),2),\r(2)a)＝eq\f(\r(6),4)＞eq\f(1,2).∴A＞30°.∴B＝180°－120°－A＜30°.∴a＞b.6．C解析：在圖(1)中，設(shè)圖形所在的矩形長為a，寬為b，則其周率為eq\f(2(a＋b),\r(a2＋b2))，由不等式的性質(zhì)可知eq\f(2(a＋b),\r(a2＋b2))≤2eq\r(2)；在圖(2)中設(shè)大圓的半徑為R，則易知外邊界長為πR，而內(nèi)邊界恰好為一個半徑為eq\f(R,2)的小圓的周長πR，故整個邊界長為2πR，而封閉曲線的直徑最大值為2R，故周率為π；圖(3)中周長為直徑的三倍，故周率為3；圖(4)中設(shè)各邊長為a，則整個邊界的周長為12a，直徑為2eq\r(3)a，故周率為2eq\r(3)，故三個周率大小符合選項C.二、填空題7．a(chǎn)＜b解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，顯然，eq\r(6)＜eq\r(7).∴a＜b.8．18解析：＝，由S11為定值，可知為定值．設(shè)＝24，整理得＋eq\f(n＋12,6)d＝4，可知n＝18.9．≤eq\r(n)解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝＝，因為對一切實數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得≤0，所以≤eq\r(n).三、解答題10．證法一：假設(shè)三式同時大于eq\f(1,4)，即(1－a)b＞eq\f(1,4)，(1－b)c＞eq\f(1,4)，(1－c)a＞eq\f(1,4).∵a，b，c∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞eq\f(1,64).又(1－a)a≤＝eq\f(1,4)，同理(1－b)b≤eq\f(1,4)，(1－c)c≤eq\f(1,4)，∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a≤eq\f(1,64)，這與假設(shè)矛盾，故原命題得證．證法二：假設(shè)三式同時大于eq\f(1,4)，∵0＜a＜1，∴1－a＞0，eq\f((1－a)＋b,2)≥eq\r((1－a)b)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理eq\f((1－b)＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(1,2)，三式相加得eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，所以原命題正確．11．證明：(1)任取，∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)，則，，且，所以，又因為，，所以＝＝，于是，故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)設(shè)存在，滿足，則.又，所以，即，與假設(shè)矛盾，故f(x)＝0沒有負實數(shù)根．12．解：(1)由條件得拋物線方程為x2＝4y，把點A(2，t)代入x2＝4y，得t＝1.(2)設(shè)直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為－k，則直線AP的方