單位圓與三角函數(shù)線課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切。（1）了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦、正切；（2）能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01正弦線與余弦線1、單位圓與三角函數(shù)：在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足的點(diǎn)做成的集合，角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，如圖，則，，，則角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為2、三角函數(shù)線綜合圖示（1）過(guò)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)作軸的垂線，垂足為；（2）角的終邊（或其反向延長(zhǎng)線）與直線交于點(diǎn)。3、正弦線的定義：為角的正弦線的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且。4、余弦線的定義：為角的余弦線的方向與軸的正方向相同時(shí)，表示是正數(shù)，且；的方向與軸的正方向相反時(shí)，表示是負(fù)數(shù)，且?！炯磳W(xué)即練1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的正弦線和余弦線的方向相反、長(zhǎng)度相等，則的終邊在（）A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、第四象限的角平分線上D．第一、第三象限的角平分線上【答案】C【解析】因?yàn)榻堑恼揖€和余弦線的方向相反、長(zhǎng)度相等，所以角終邊上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以的終邊在第二、第四象限的角平分線上.故選：C.知識(shí)點(diǎn)02正切線1、正切線的定義：為角的正切線當(dāng)角的終邊在第二、三象限或軸的負(fù)半軸上，終邊與直線沒(méi)有交點(diǎn)，但終邊的反向延長(zhǎng)線與有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值。2、三角函數(shù)線的特征（1）位置：三條三角函數(shù)線中有兩條在以坐標(biāo)為原點(diǎn)的單位圓內(nèi)，一條以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓外；（2）方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向軸上的垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與的終邊（或其反向延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)；（3）正負(fù)：三條三角函數(shù)線的正負(fù)可簡(jiǎn)記為“同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)”；（4）書(shū)寫(xiě)：起點(diǎn)（比如點(diǎn)）在前，終點(diǎn)（比如點(diǎn)）在后，寫(xiě)為【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是（）A．正弦線為，正切線為B．正弦線為，正切線為C．正弦線為，正切線為D．正弦線為，正切線為【答案】C【解析】角在第三象限，故正弦線為，正切線為.故選：C【題型一：三角函數(shù)線的作法】例1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析【解析】（1）作出單位圓，交角的終邊于P，過(guò)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作軸，交角的終邊于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（2）作出單位圓，交角的終邊于P，過(guò)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作軸，交角的終邊反向延長(zhǎng)線于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（3）作出單位圓，交角的終邊于P，過(guò)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作軸，交角的終邊于點(diǎn)T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT；（4）因?yàn)?，所以角與角的終邊相同，作出單位圓，交角的終邊于P，過(guò)P作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)作軸，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于T，如下圖所示，則角的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.變式11．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析【解析】（1）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（2）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（3）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為；（4）作出單位圓，交角的終邊于，過(guò)作軸，交軸于，過(guò)點(diǎn)作軸平行線，交角的終邊的反向延長(zhǎng)線于，如下圖：則角的正弦線為、余弦線為、正切線為．變式12．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析【解析】（1）如圖所示，正弦線為有向線段，余弦線為有向線段，正切線為有向線段；（2）如圖所示，正弦線為有向線段，余弦線為有向線段，正切線為有向線段；（3）如圖所示，正弦線為有向線段，余弦線為有向線段，正切線為有向線段；（4）如圖所示，正弦線為有向線段，余弦線為有向線段，正切線為有向線段.變式13．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析【解析】（1）的終邊與單位圓交于點(diǎn)，與過(guò)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸，交軸于，如下圖：則是正弦線，是余弦線，是正切線．（2）的終邊與單位圓交于點(diǎn)，的終邊的反向延長(zhǎng)線與過(guò)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸，交軸于，如下圖：則是正弦線，是余弦線，是正切線．（3）的終邊與單位圓交于點(diǎn)，的終邊與過(guò)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸，交軸于，如下圖：則是正弦線，是余弦線，是正切線．（4）的終邊與單位圓交于點(diǎn)，與過(guò)且平行于軸的直線交于點(diǎn)，過(guò)作軸，交軸于，如下圖：則是正弦線，是余弦線，是正切線．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)線的畫(huà)法（1）作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過(guò)此交點(diǎn)作軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線；（2）作正切弦時(shí)，過(guò)點(diǎn)引軸的垂線，交的終邊（為第一或第四象限角）或終邊的反向延長(zhǎng)線（為第二或第三象限角）于點(diǎn)，即可得到正切線【題型二：利用三角函數(shù)線比較大小】例2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果、分別是角的余弦線和正弦線，那么下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出的正弦線和余弦線，如下圖所示：由于，由圖可知，．故選：D.變式21．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)選項(xiàng)中大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，在單位圓中作出角的正弦線DP、余弦線OD、正切線AT，角的正弦線、余弦線、正切線，由于，因此和的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，由圖可得，，，∴，∴A，C，D均錯(cuò)誤，B正確．故選：B變式22．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二中?？计谥校┤?，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】畫(huà)出的三角函數(shù)線，如下：則，，，設(shè)扇形的面積為，則，，又，故，所以，，因?yàn)椋?，所?故選：A變式23．（2022上·河北邯鄲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知，那么下列命題正確的是（）A．若角、是第一象限角，則B．若角、是第二象限角，則C．若角、是第三象限角，則D．若角、是第四象限角，則【答案】BCD【解析】設(shè)角、的終邊分別為射線、．對(duì)于A，如圖1，，此時(shí)，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖2，，此時(shí)，，且，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖3，，此時(shí)，，且，所以，故C正確；對(duì)于D，如圖4，，，即，故D正確．故選：BCD.【方法技巧與總結(jié)】畫(huà)出三角函數(shù)線，通過(guò)比較三角函數(shù)線的大小從而確定三角函數(shù)值的大小【題型三：利用三角函數(shù)線解三角不等式】例3．（2023·湖北·高一?？茧A段練習(xí)）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，則角α的取值范圍是（）A．B．C．D．∪【答案】D【解析】角α的取值范圍為圖中陰影部分如下所示吧：即∪，故選：.變式31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線，寫(xiě)出滿足下列條件的角x的集合：（1）且；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）分別作出三角函數(shù)線圖象如下所示：由圖（1）知當(dāng)且時(shí)，角滿足的集合.（2）由圖（2）知：當(dāng)時(shí)，角滿足的集合，即；所以的解集為.變式32．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】畫(huà)出單位圓以及，，，∵，且，從圖中可知的取值范圍是，故選：D.變式33．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的定義域．【答案】【解析】要使原函數(shù)有意義，有，即．如圖，在單位圓中由可知角x的終邊落在由OA，OB及劣弧AB圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）．由可知角x的終邊落在由OC，OD及優(yōu)弧CD圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界），所以，所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋痉椒记膳c總結(jié)】利用單位圓解三角不等式（組）的一般步驟（1）用邊界值定出角的終邊位置；（2）根據(jù)不等式（組）定出角的范圍；（3）求交集，找單位圓中公共的部分；（4）寫(xiě)出角的表達(dá)式?！绢}型四：利用三角函數(shù)線求三角值的范圍】例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是的一個(gè)內(nèi)角，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，則，又，由，得．作出的正切線，如圖所示．由圖可得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故的取值范圍是．故選：A．變式41．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的取值范圍是．【答案】【解析】由下圖可知，，，即．變式42．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，作出單位圓中的三角函數(shù)線，則有，，，在中，，∴,又，∴即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，∴.【方法技巧與總結(jié)】通過(guò)三角函數(shù)的定義域確定三角函數(shù)線的范圍，從而確定三角函數(shù)值的取值范圍。一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）有三個(gè)命題：①和的正弦線長(zhǎng)度相等；②和的正切線長(zhǎng)度相同；③和的余弦線長(zhǎng)度相等.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】如下圖，和的正弦線關(guān)于y軸對(duì)稱，長(zhǎng)度相等；如下圖，和兩角的正切線分別為長(zhǎng)度相同；如下圖，和的余弦線長(zhǎng)度相等.故①②③都正確.故選：C.2．（2023·廣西北?！じ咭恍？计谥校┰谏?，使不等式成立的x的集合為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，則，又，所以所求集合為．故選：A．3．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）使成立的x的一個(gè)變化區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)x的終邊落在如圖所示的陰影部分時(shí)，滿足．故選：A4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用正弦線比較的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，在單位圓中，觀察正弦線可知，在區(qū)間，的長(zhǎng)度隨著增大而增大，所以故選：D5．（2023·北京·高一北京四中?？计谥校┤?，則下列關(guān)系中正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三角函數(shù)線定義作出如圖：是角的終邊，圓是單位圓，則，，，，，即.故選：D6．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】畫(huà)出的三角函數(shù)線，如下：則，，，設(shè)扇形的面積為，則，，又，故，所以，，因?yàn)?，所?所以，故選：A7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在上，利用單位圓，得到成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示，在單位圓中，設(shè)，則，，，由圖形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以為分界線，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即；綜上在第一象限無(wú)解；由圖形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限無(wú)解；由圖形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限無(wú)解；有圖形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以在第四象限的解為，綜上在的解集為，故選：C8．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，在單位圓中，作出內(nèi)的一個(gè)角及其正弦線、余弦線、正切線.由圖知，，又分別與軸、軸的正方向相反，而與軸的正方向相同，所以.故選：D二、多選題9．（2023·遼寧葫蘆島·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．一定時(shí)，單位圓中的正弦線也一定B．在單位圓中，有相同正弦線的角相等C．和有相同的余弦線D．具有相同正切線的兩角的終邊在同一條直線上【答案】AD【解析】對(duì)于A，單位圓中，一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定，所以A正確．對(duì)于B，與有相同的正弦線，但，所以B錯(cuò)對(duì)于C，和的余弦線相反，所以C錯(cuò)，對(duì)于D，一三象限角的正切線相同，二四象限角的正切線相同，即具有相同正切線的兩個(gè)角終邊一定在同一條直線上，所以D正確．故選：AD10．（2023·北京·高一北師大二附中?？计谥校┮阎?，那么下列命題中成立的是（）A．若、是第一象限角，則B．若、是第二象限角，則C．若、是第二象限角，則D．若、是第四象限角，則【答案】CD【解析】如圖（1），α、β的終邊分別為OP、OQ，，此時(shí)，故A錯(cuò)；如圖（2），OP、OQ分別為角α、β的終邊，，∴，故B錯(cuò)；如圖（2），角α，β的終邊分別為OP、OQ，，∴，故C正確；如圖（4），角α，β的終邊分別為OP、OQ，∴，故D正確.故選：CD.11．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）[多選題]給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（）A．一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定B．單位圓中，有相同正弦線的角相等C．和有相同的正切線D．具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上【答案】AD【解析】由正弦線定義可知當(dāng)一定時(shí)，單位圓中的正弦線一定，故A正確；與有相同正弦線，但，故B錯(cuò)誤；由正切線的定義可知，當(dāng)時(shí)，和的正切線均不存在，故C錯(cuò)誤；具有相同正切線的兩個(gè)角終邊在同一條直線上，故D正確．故選：AD．12．（2023·江西九江·高一?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．，則D．若，則【答案】AD【解析】由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有，所以A正確．由于B是∠AOB的一邊與單位圓的交點(diǎn)，是對(duì)應(yīng)∠AOB的正弦值，即，所以是對(duì)應(yīng)∠AOB的余弦值，即，所以B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，，所以C錯(cuò)誤．反過(guò)來(lái)，當(dāng)，即時(shí)，一定成立，所以D正確．故選：AD．三、填空題13．（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角，則的大小關(guān)系為．【答案】/【解析】如下圖示，在單位圓中，軸，軸，且，所以，，，△的面積，扇形的面積，△的面積，由圖知：，故.14．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）依據(jù)三角函數(shù)線作出如下四個(gè)判斷：①；②；③；④．其中判斷正確的有（填序號(hào)）．【答案】②④【解析】①中，如圖所示，根據(jù)三角函數(shù)線，可得的函數(shù)值為正，函數(shù)值為負(fù)，可得，所以①不正確；②中，如圖所示，依據(jù)三角函數(shù)線，可得和的三角函數(shù)線長(zhǎng)度相等，可得，所以②正確；③中，如圖所示，因?yàn)?，依?jù)三角函數(shù)線，可得，且的正切線大于的正切線的長(zhǎng)度，可得，所以③不正確；④中，如圖所示，依據(jù)三角函數(shù)線，可得，且的正弦線大于的正弦線，所以，所以④正確.故選：②④.15．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，則a?b?c的大小順序?yàn)?按從小到大的順序排列).【答案】【解析】如圖，在單位圓中分別作出角的正弦線，角的余弦線?正切線.由知，又，易知，∴，故.16．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在內(nèi)，使成立的的取值范圍為．【答案】【解析】如圖所示，找出在內(nèi)，使成立的值，由圖可知，，．根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律得出滿足題中條件的角．四、解答題17．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知,利用正弦線和余弦線比較和的大小.【答案】【解析】如圖所示,正弦線為,余弦線為,因?yàn)?所以,即.18．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在第一象限，在內(nèi)，求的取值范圍．【答案】【解析】由題意知，即，由，可得或，又，如圖，由三角函數(shù)線可知，，綜上，或，即的取值范圍為.19．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用三角函數(shù)線說(shuō)明（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若，則.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1