第06課勾股定理目標(biāo)目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長(zhǎng)的直角邊弦：斜邊注意：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.下圖中：，，化簡(jiǎn)可證；方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.下圖中：，，化簡(jiǎn)可證方法三：下圖所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，，化簡(jiǎn)得證；知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的作用（1）已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；（2）用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；（3）利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.能力拓展能力拓展考法01勾股定理的理解【典例1】已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，則此三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】【詳解】設(shè)Rt△ABC的第三邊長(zhǎng)為x，①當(dāng)4為直角三角形的直角邊時(shí)，x為斜邊，由勾股定理得，x==5，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+5=12；②當(dāng)4為直角三角形的斜邊時(shí)，x為直角邊，由勾股定理得，x=，此時(shí)這個(gè)三角形的周長(zhǎng)=3+4+=7+．故選C【即學(xué)即練】如圖,一場(chǎng)暴雨過后,垂直于地面的一棵樹在距地面1米處折斷,樹尖B恰好碰到地面,經(jīng)測(cè)量AB=2m,則樹高為（）米A． B． C．+1 D．3【答案】C【解析】【詳解】由題意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°據(jù)勾股定理則BC=m；∴AC+BC=（1+）m.答：樹高為（1+）米．故選C.考法02勾股定理證明的理解【典例2】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長(zhǎng)為A．9 B．6 C．4 D．3【答案】D【解析】【分析】已知ab＝8可求出四個(gè)三角形的面積，用大正方形面積減去四個(gè)三角形的面積得到小正方形的面積，根據(jù)面積利用算術(shù)平方根求小正方形的邊長(zhǎng).【詳解】故選D.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的推導(dǎo)，有較多變形題，解題的關(guān)鍵是找出圖形間面積關(guān)系，同時(shí)熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【即學(xué)即練】如圖，2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么的值為（）A．13 B．19 C．25 D．169【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意得：=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，則==13+12=25，故選C．考點(diǎn)：勾股定理的證明；數(shù)學(xué)建模思想；構(gòu)造法；等腰三角形與直角三角形．【即學(xué)即練】如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在中，，，，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求的值．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可求出，，然后根據(jù)完全平方公式的變形即可求出結(jié)論．【詳解】解：小正方形面積=4個(gè)小直角三角形的面積=∴∴【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)和完全平方公式的變形，掌握全等三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式、三角形的面積公式和完全平方公式的變形是解決此題的關(guān)鍵．考法03數(shù)軸上畫無理數(shù)【典例3】如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理得出圓弧的半徑,然后得出點(diǎn)A的坐標(biāo).【詳解】解：∴由圖可知：點(diǎn)A所表示的數(shù)為:故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù),屬于基礎(chǔ)題型.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就是求出斜邊的長(zhǎng)度.在數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是指兩點(diǎn)所表示的數(shù)的差的絕對(duì)值.【即學(xué)即練】如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．+1 B．-1 C．-+1 D．--1【答案】B【解析】【詳解】試題解析：由勾股定理得：∴數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是故選B.考法04勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例4】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的長(zhǎng)．【答案】AD=．【解析】【分析】連接AC．在Rt△ABC中，由勾股定理求出．在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可．【詳解】連接AC．∵∠B=90°，∴．∵AB=BC=2，∴∵∠D=90°，∴．∵CD=1，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程．【答案】84.【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意利用勾股定理表示出AD2的值，進(jìn)而得出等式求出答案．試題解析：作AD⊥BC于D，如圖所示：設(shè)BD=x，則．在Rt△ABD中，由勾股定理得：，在Rt△ACD中，由勾股定理得：，∴，解之得：．∴．∴．【即學(xué)即練】如圖，一架梯子AB長(zhǎng)13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了多少米？【答案】（1）12米；（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距離墻的距離為5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【詳解】解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO===12（米）；答：這個(gè)梯子的頂端距地面有12米高；（2）梯子下滑了1米即梯子距離地面的高度為OA′=12﹣5=7（米），根據(jù)勾股定理：OB′===2（米），∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米答：當(dāng)梯子的頂端下滑1米時(shí)，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中正確的使用勾股定理求OB′的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】（古代數(shù)學(xué)問題）印度數(shù)學(xué)家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”，該問題是：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；“漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”請(qǐng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問題.【答案】水深3.75尺．【解析】【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時(shí)恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件求解．【詳解】解：設(shè)水深x尺，則荷花莖的長(zhǎng)度為x+0.5，根據(jù)勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立等式進(jìn)行求解．【即學(xué)即練】在△ABC中，AB=10，AC=2，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【解析】【詳解】分兩種情況：在圖①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在圖②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故選C.【即學(xué)即練】在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC+BC=14cm，AB=10cm，則Rt△ABC的面積是()A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2=AB2=100，根據(jù)完全平方公式求出2AC?BC=96，得到AC?BC=24，得到答案．【詳解】∵∠C=90°，∴AC2+BC2=AB2=100，∵AC+BC=14，∴（AC+BC）2=196，即AC2+BC2+2AC?BC=196，∴2AC?BC=96，∴AC?BC=24，即Rt△ABC的面積是24cm2，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．考法05折疊與勾股定理【典例5】如圖，把長(zhǎng)方形沿AE對(duì)折后點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，BC＝5cm，AB＝4cm，求：（1）CF的長(zhǎng)；（2）EF的長(zhǎng)．【答案】（1）2cm；（2）2.5cm【解析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AF=AD，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理可求得BF的長(zhǎng)，利用CF=BC-BF即可求得答案；（2）在Rt△CEF中，設(shè)EF=xcm，則CE=(4-x)cm，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴CD=AB=4、AD=BC=5、∠B=∠C=90°,∵長(zhǎng)方形沿AE對(duì)折后點(diǎn)D落在BC邊的F處，∴△ADE≌△AFE，∴DE=EF，AF=AD=5在Rt△ABF中，有AB2+BF2=AF2，BF==3，∴CF=BC-BF=2；(2)由（1）知：BC=AD=5、DE=EF在Rt△CEF中，設(shè)EF=xm，則CE=(4-x)m由勾股定理得：CF2+CE2=EF222+（4-x)2=x2，解得x=2.5，即：EF=2.5cm【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是把相關(guān)的量轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，利用勾股定理求解．【即學(xué)即練】如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)．【答案】5cm【解析】【分析】先根據(jù)折疊求出AF＝10，進(jìn)而用勾股定理求出BF，即可求出CF，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，由折疊可知：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，設(shè)EF＝xcm，則DE＝EF＝xcm，CE＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6cm，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5即：EF的長(zhǎng)為5cm．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、圖形的翻折變換、全等三角形，方程思想等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，運(yùn)用方程求解．考法06勾股定理與最短路徑【典例6】如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是A．20 B．25 C．30 D．32【答案】B【解析】【詳解】試題解析：將長(zhǎng)方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，（1）如圖，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=．（2）如圖，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=．（3）只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖：∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：∴AB=；由于25＜5＜5，故選B．【即學(xué)即練】如圖，小紅想用一條彩帶纏繞易拉罐，正好從A點(diǎn)繞到正上方B點(diǎn)共四圈，已知易拉罐底面周長(zhǎng)是12cm，高是20cm，那么所需彩帶最短的是()A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm【答案】D【解析】【分析】本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決..要求彩帶的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理．【詳解】如圖，由圖可知，彩帶從易拉罐底端的A處繞易拉罐4圈后到達(dá)頂端的B處，將易拉罐表面切開展開呈長(zhǎng)方形，則螺旋線長(zhǎng)為四個(gè)長(zhǎng)方形并排后的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)彩帶最短長(zhǎng)度為xcm，∵∵易拉罐底面周長(zhǎng)是12cm，高是20cm，∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，所以彩帶最短是52cm．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開??最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，【即學(xué)即練】如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．詳解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長(zhǎng)．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長(zhǎng)，AD=1.5π，所以AC=，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．【即學(xué)即練】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一些蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好也在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，那么螞蟻要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距離是（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【解析】【分析】如圖：過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，求出A′Q，CQ，根據(jù)勾股定理求出A′C即可．【詳解】如圖：沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用，找出最短路線是解題關(guān)鍵.【即學(xué)即練】如圖，圓柱的高為8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)沿圓柱外壁爬到點(diǎn)處吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】C【解析】【分析】這種求最短的一般都是空間想象，把圓柱體展開成平面的矩形.這個(gè)矩形長(zhǎng)為底面周長(zhǎng),寬為圓柱體的高.兩點(diǎn)之間直線最短.所以展開后畫圖連接AB，然后根據(jù)勾股定理，即可得解.【詳解】底面圓周長(zhǎng)為cm，底面半圓弧長(zhǎng)為6cm，展開圖如圖所示，連接AB，∵BC=8cm，AC=6cm，∴故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是把空間圖展開.【即學(xué)即練】如圖，將一根25㎝長(zhǎng)的細(xì)木棒放入長(zhǎng)、寬、高分別為8㎝、6㎝和10㎝的長(zhǎng)方體無蓋盒子中，求細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是多少？【答案】5cm【解析】【分析】利用勾股定理求出盒子的對(duì)角線長(zhǎng)即可.【詳解】盒子底面的對(duì)角線長(zhǎng)為=10cm，∴盒子的對(duì)角線長(zhǎng)為=20cm，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長(zhǎng)度是25﹣20=5cm.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．等腰三角形的底邊和腰長(zhǎng)分別是10和12，則底邊上的高是（）A．13 B．8 C． D．【答案】D【解析】【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長(zhǎng)度．【詳解】解：作底邊上的高并設(shè)此高的長(zhǎng)度為x，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得高線平分底邊，根據(jù)勾股定理得：52+x2=122，解得x=【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：等腰三角形底邊上高的性質(zhì)和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊的中垂線．然后根據(jù)勾股定理即可求出底邊上高的長(zhǎng)度．2．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)A、B、C、D各圖形結(jié)合勾股定理一一判斷可得答案.【詳解】解:A、有三個(gè)直角三角形,其面積分別為ab,ab和,還可以理解為一個(gè)直角梯形,其面積為，由圖形可知:=ab+ab+，整理得:(a+b)=2ab+c,a+b+2ab=2ab+c,a+b=c能證明勾股定理;B、中間正方形的面積=c,中間正方形的面積=(a+b)-4ab=a+b,a+b=c,能證明勾股定理;C、不能利用圖形面積證明勾股定理,它是對(duì)完全平方公式的說明.D、大正方形的面積=c,大正方形的面積=(b-a)+4ab=a+b,,a+b=c,能證明勾股定理;故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來證明勾股定理.3．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，則AB的長(zhǎng)是()A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【解析】【分析】先求出AC的長(zhǎng)，再利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)度．【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長(zhǎng)度＝AC+BC＝7米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，矩形OABC的邊OA長(zhǎng)為2，邊AB長(zhǎng)為1，OA在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交正半軸于一點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是（）A．25 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及直角三角形三邊的關(guān)系（勾股定理）解答即可．【詳解】由勾股定理可知，∵OB=，∴這個(gè)點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用和如何在數(shù)軸上表示一個(gè)無理數(shù)的方法，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出OB的長(zhǎng)．6．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是()A．9 B．10 C． D．【答案】B【解析】【詳解】如圖(1),AB=；如圖(2),AB=.故選B.7．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，．現(xiàn)將直角邊沿直線折疊，使它落在斜邊上，且與重合，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，設(shè)CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解決．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝=＝10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC＝AE＝6，EB＝AB?AE＝10?6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，在Rt△DEB中，∵，∴，∴x＝3，∴CD＝3．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用翻折不變性是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想去思考問題．8．如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長(zhǎng)方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．題組B能力提升練9．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為________．【答案】5或【解析】【詳解】試題分析：已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論：①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：；②長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)：第三邊的長(zhǎng)為：；∴第三邊的長(zhǎng)為：或5．考點(diǎn)：1．勾股定理；2．分類思想的應(yīng)用．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼制成一個(gè)大正方形（如下圖），設(shè)勾a=3，弦c=5，則小正方形ABCD的面積是_______【答案】1．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可得股b=4，則小正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b-a，最后根據(jù)正方形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股b=∵小正方形ABCD的邊長(zhǎng)為b-a=4-3=1∴小正方形ABCD的面積是1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為20dm,3dm,2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是__________dm.【答案】25【解析】【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答即可．【詳解】如圖所示．∵三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案為25．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．12．如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_______cm．【答案】15.【解析】【分析】過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，求出A′Q，CQ，根據(jù)勾股定理求出A′C即可．【詳解】沿過A的圓柱的高剪開，得出矩形EFGH，過C作CQ⊥EF于Q，作A關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C交EH于P，連接AP，則AP+PC就是螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C==15cm，故答案為15．13．在△ABC中，AB=，AC=5，若BC邊上的高等于3，則BC邊的長(zhǎng)為_____．【答案】9或1【解析】【詳解】【分析】△ABC中，∠ACB分銳角和鈍角兩種：①如圖1，∠ACB是銳角時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算BD和CD的長(zhǎng)可得BC的值；②如圖2，∠ACB是鈍角時(shí)，同理得：CD=4，BD=5，根據(jù)BC=BD﹣CD代入可得結(jié)論．【詳解】有兩種情況：①如圖1，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，由勾股定理得：BD==5，CD==4，∴BC=BD+CD=5+4=9；②如圖2，同理得：CD=4，BD=5，∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，綜上所述，BC的長(zhǎng)為9或1；故答案為9或1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵，并注意運(yùn)用了分類討論的思想解決問題．14．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M（1，3）與點(diǎn)N（x，3）之間的距離是5，則x的值是____________．【答案】－4或6【解析】【詳解】分析：點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，則直線MN在平行于x軸的直線上，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可列出等式|x-1|=5，從而解得x的值．解答：解：∵點(diǎn)M（1，3）與點(diǎn)N（x，3）之間的距離是5，∴|x-1|=5，解得x=-4或6．故答案為-4或6．15．如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是6，高是16的長(zhǎng)方體紙箱的點(diǎn)沿紙箱爬到點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)為________.【答案】20【解析】【分析】分情況討論，將紙箱展開后，螞蟻可經(jīng)上表面爬到B點(diǎn)，也可經(jīng)右側(cè)面爬到B點(diǎn)．求出這兩種情況所走路線的長(zhǎng)度，比較可得答案．【詳解】將紙箱展開,當(dāng)螞蟻經(jīng)右表面爬到B點(diǎn),則,當(dāng)螞蟻經(jīng)上側(cè)面爬到B點(diǎn),則比較上面兩種情況,一只螞蟻從頂點(diǎn)A沿紙箱表面爬到頂點(diǎn)B點(diǎn),那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是20，故答案為20.【點(diǎn)睛】本題涉及平面展開最短路徑問題和分類討論思想,難度中等.題組C培優(yōu)拔尖練16．如圖，把長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處.（1）試說明；（2）設(shè)，，，試猜想，，之間的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2），，之間的關(guān)系是.理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之間的關(guān)系.【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)，得，，在長(zhǎng)方形紙片中，，所以，所以，所以，所以.（2），，之間的關(guān)系是.理由如下：由（1）知，由折疊的性質(zhì)，得，，.在中，，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.17．已知：如圖，在中，，為的中點(diǎn)，、分別在、上，且于.求證：.【答案】詳見解析【解析】【分析】通過倍長(zhǎng)線段，將、、轉(zhuǎn)化到中，再證為直角三角形.【詳解】延長(zhǎng)至，使，連結(jié)、，，，，，，，，，，又，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線，熟練掌握