商開大聯(lián)考2022-2023學年上學期期末考試

皿

-高pis-一數(shù)1r學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.己知集合/={x|log2X<l},5={x|-l<x<l},則()

A.A5B.BAC.A=BD.AcB#0

2.sin70°sin100+cos10°cos70°=()

A.7B.--C.—D.--

2222

C-EI6sina+cosa3/土上/、

3.已知tana=2,則的值為()

3smcr-2coscr

c1313D.土竺

A.-4B.—C.---

444

4.方程x+lgx=3的解所在的一個區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5.函數(shù)①y=x2cos《-x)；②"sinx,xe［0,2n］；

(3)^=sin|2x|,X?-匹兀］中,奇函

數(shù)的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

6.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且〃l+x)-/(x)=0,當OWxWl時，/(x)=sin7rx,則

A.—B?@C.1

D.近

22

7.已知使不等式x2+(a+l)x+a40成立的任意一個x,都不滿足不等式x+240,則實數(shù)a

的取值范圍為()

A.B.(-oo,-l]C.[-2,+oo)D.(7,2)

8.阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的

阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可

試卷第1頁，共4頁

近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間r(s)的函數(shù)關系為

尸sin(d+0(0>O,同<兀)，如圖2,若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的

時間分別為4，G，/3(0</,</2<?3),且4+f2=2,t2+t3=5,則在一個周期內(nèi)阻尼器離開

平衡位置的位移大于0.5m的總時間為()

4

D.-s

3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知a<b<0,c<d<0,則下列不等式一定成立的是()

dc

A.a+c<b+dB.ac>bdC.—>—D.a1>ab>b2

aa

10.(多選)下列三角函數(shù)值中符號為負的是()

A.sin100°B.cos(-220°)C.tan(-10)D.cos兀

將函數(shù)/(x)=sin(2x-M的圖象向左平移s(*>0)個單位長度后，所得圖象關于原點

11.

對稱，則。的值可以是()

12.某同學用“五點法”畫函數(shù)/(x)=/sin(ox+*)/>0,0>0用<方在一個周期內(nèi)的圖象

時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表:

717兀

X

3T

713兀

0712

2T

4sin(/x+>)0百00

試卷第2頁，共4頁

則下列說法正確的是()A.VxeR都有/(x+2兀)=-/(x)成立

B.正的解集為-g+2E,7t+〃兀優(yōu)eZ)

C./(X)的圖象關于點($0)中心對稱

D.“X)在區(qū)間(一/總上單調(diào)遞增

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計算：0.04~；+(-1)-2*6=.

14.已知pH/eR,x：-4/+3<0,請寫出一個使P為假命題的實數(shù)。的值，a=.

15.若sin(9+；)=g,則sin29=.

16.記區(qū)表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.3]=2,[-1.5]=-2,已知函數(shù)/(x)=；

則/(/(-))=;若函數(shù)g(x)=/(x)-log0國恰有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.(1)求tan255°的值；

(2)求tan22.5"的值.

18.已知p：V^T<l,q：-\<x<a.

(1)若q是p的必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=l,且0,q至少有一個成立，求x的取值范圍.

19.證明下列不等式，并討論等號成立的條件.

⑴若04E,則五(1-4卜；；

(2)若ab40,則。+922.

ab

20.己知/(x—1)=x)—1.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

試卷第3頁，共4頁

⑵若函數(shù)g(x)=ln/(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

21.已知函數(shù)/(X)=〃8'+2'("R,且awO),對VxeR,/2(x)=/2(-x).

⑴求。的值；

(2)若a>0,關于x的不等式“2x)2切?(x)恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

22.已知函數(shù)f(x)=2sin@xcos0x+2>/Jcos2@x(0>O)的最小正周期為兀.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若關于x的方程〃x)=6+a在區(qū)間0,；上有相異兩解士,三

求：①實數(shù)。的取值范圍；

②sin(X1+X2)的值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合A,逐一判斷各選項即可.

【詳解】

由log2》<l,解得0<x<2,所以/=(0,2),X5={x|-l<x<l},

對于A:A8不成立，A錯；

對于B：BA不成立，B錯；

對于C：1=8不成立，C錯；

對于D：/c8=(O,l)x0,D正確.

故選：D

2.A

【分析】

利用兩角差的余弦公式即可求解.

【詳解】

sin70°sin10°+cos10°cos70°=cos(70°-10°)=cos60°=g.

故選：A.

3.B

【分析】

根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)之間的關系即可求得結(jié)果.

【詳解】

由tana=2,智空盧巴分子分母同時除以cosa,可得:

3sina-2cosa

6sina+cosa_6tancr+1_6x2+1_13

3sina-2cosa3tana-23x2-24

故選：B.

4.C

【分析】

令〃x)=x+lgx-3,由零點存在定理判斷區(qū)間

答案第1頁，共12頁

【詳解】

令/(x)=x+lgx-3,則/(x)單調(diào)遞增,

由〃2)=2+lg2-3=lg2-l<0,〃3)=3+lg3-3=lg3>0,

.?.方程、+*[=3的解所在一個區(qū)間是(2,3).

故選：C.

5.B

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義，對選項逐一判斷即可.

【詳解】

根據(jù)奇函數(shù)定義，②中xe[0,2可違背了定義域要關于原點對稱這一要求，所以排除②；

對于①y=x2cos('-x)=x2sinx,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-/(x),是奇函數(shù);

對于③V=sin|2x|,/(-x)=sin卜2x|=sin2x=/(x),是偶函數(shù).

故選：B.

6.A

【分析】

根據(jù)題意得到〃x)的周期為i,從而代入求解即可.

【詳解】

因為/(l+x)-/(x)=O,所以/(l+x)=/(x),函數(shù)/(x)的周期為1,

所以G卜尼4哈卜i苧李.

故選：A.

7.D

【分析】

由x+240得x4-2,因為使不等式/+(。+1)X+。40成立的任意一個x,都不滿足不等式

x+2<0,所以不等式/+(。+1)》+。40的解集是(-2,+00)的子集.討論。解出不等式的解

集，從而利用集合的包含關系即可求解

答案第2頁，共12頁

【詳解】

由x+2W0得x?—2,

因為使不等式/+(“+1)》+。40成立的任意一個x,都不滿足不等式x+240,

所以不等式/+卜/+1卜+“40的解集是(-2,+8)的子集.

由x?+(a+l)x+a40,得(x+a)(x+l)40,

當a=l,xe{-l}c(-2,+<?),符合題意；

當”>1,xe[-a,-l]c(-2,+oo),則_°>_2,|<<?<2；

當a<1,xe[-l,-a]c(-2,+oo),符合題意，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(一叫2).

故選：D.

8.C

【分析】

先根據(jù)周期求出。嚀，再解不等式sin學+“>0.5,得到f的范圍即得解.

【詳解】

因為(+4=2,t2+t3=5,13T1=T,所以7=3,又7=生，所以。="，

0)3

則y=5畝(當/+8),由y>0.5可得sin1與/+9)>0.5,

LL,、l…兀2兀5兀…，r

所以2kitH—<—/+9<--F2kit,%￡Z,

636

“1353…7G531的13、?

3k4------(p<t<------(p+3k、kGZ,3KH------(p-3、H------(p\—

42兀，42TI142TIJ(42c

所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.

故選：C.

9.ABD

【分析】

本題考查了不等式的性質(zhì)，利用不等式的同向可加性、同向同正可乘性、傳遞性即可求解.

【詳解】

由不等式的同向可加性知選項A正確；

因為“<b<0,c<d<0,所以-a>-6>0,-o-d>0,所以ac>8",故選項B正確；

答案第3頁，共12頁

?dc

因為c<d<0,-<0,所以一<一，故選項C錯誤；

aaa

因為—a>—6>0,所以a?>ab，ab>b2>所以/>ab>/,故選項D正確.

故選：ABD.

10.BCD

【分析】

根據(jù)各交所在象限判斷三角函數(shù)的正負情況.

【詳解】

因為90°<100°<180°,所以sinlOO。角是第二象限角，所以9nl0(T>0；因為

-270。<-220°<-180。，-220°角是第二象限角，所以cos(-220。)<0；因為-々-<-10<_37，

所以角一10是第二象限角，所以tan(-10)<0；COST:=-1<0；

故選：BCD.

II.AD

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出變換后的解析式，再根據(jù)所得圖象關于原點對稱，即可求

出答案.

【詳解】

將函數(shù)=sin12x用的圖象向左平移。個單位長度后得到"sin+2夕-野的圖如

該圖象關于原點對稱，所以29-?=而，左eZ,

6

即9="+N#€Z，所以夕的值可以是三，二.

2121212

故選：AD.

12.AD

【分析】

首先求出/(x)=^sin[]+g).可以化簡證明選項A正確；解不等式得

■JT

xe--+4k7t,n+4kn(%€Z),故選項B錯誤；求出函數(shù)圖象的對稱中心，即得選項C錯

誤；求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即得選項D正確.

【詳解】

答案第4頁，共12頁

A=V3

71TlX71

由題意得—69+67=—，解得夕=],A=也,所以/（x）=JIsin一十—

3223

7713兀

——0=——

32

x+2兀

對于A,/(X+2TT)=V3sin=Wsin；C+兀=-(故A

2

正確;

由八工）2當,得sinx兀>—,所以巴+2E+'工2+2航,％cZ,

對于B,一+一

2326236

rr

得xe一1+4阮,兀+4阮（左￡2）,故B錯誤;

.YTT271

對于C,令一+—=而，左cZ,解得x=2左兀---,kwZ,

233

所以函數(shù)/.（X）的對稱中心為（2E-會,O1,A€Z,當2E-年=。時，k=三,不滿足題意,

故C錯誤:

?X兀?7C_.7T_|_

對于D,—I—GF2ATC,—卜2kfnLkGZ,

23122/

所以xe（-年+水兀看+斯兀|*eZ,所以卜gW）是函數(shù)〃x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，

又一：>一干，?2<7,因此函數(shù)"X）在卜方啟）上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：AD.

13.0

【分析】

直接利用指數(shù)對數(shù)的運算法則求解.

【詳解】

因為0.0小=0.27=5'(一￡|=1，2幅6=6,

所以0.042+（-1）-2log：6=5+I-6=0.

故答案為：0

14.0（答案不唯一）

【分析】

利用命題的否定來找到一個滿足條件即可.

答案第5頁，共12頁

【詳解】

由題意，—>p：WxwR,x?一4"+320為真命題，

當。=0時，/-4QX+3=/+320恒成立，滿足題意，

故答案為：0(答案不唯一).

1

15——

.9

【分析】

化sin(e+；)=￥(sine+cos。)=1,從而平方即可.

【詳解】

因為sin(e+；卜孝(sine+cose)=g,所以sine+cos?=￥，兩邊平方得

QQ1

sin20+cos2e+2sin?cos8=—,即l+sin26=—,sin20=——.

999

故答案為：

9

16.0［血詞

【分析】

直接代入可求得/(/㈠))；g(x)=/(x)-log?|x|w3個零點o方程/(X)=log』x|有3個

不同的實數(shù)根，即/(X)的圖象與函數(shù)y=bg“|x|的圖象有3個交點，數(shù)形結(jié)合可求.

【詳解】

〃(-1))=嗎甩=。;

g(x)=/(x)-log.國有3個零點=方程/(%)=bg“國有3個不同的實數(shù)根，即“X)的圖

象與函數(shù)y=bgjx|的圖象有3個交點，

由題可知當顯然不成立，所以“>1,做出/(X)與y=log』x|的圖象如圖.

答案第6頁，共12頁

兩函數(shù)圖象在夕軸的左側(cè)只有1個交點，故y軸右邊有2個交點,

l<loga2<2

則Jog“3>2，解得也丁.

Jog,,4<3

故答案為：0；[返，百)

17.(1)2+5(2)72-1

【分析】

(1)利用誘導公式利兩角和的正切公式計算即可；

(2)換元法及二倍角公式化簡求值即可.

【詳解】

(1)tan255°=tan(180°+75°)=tan750=tan(45°+30°)

1+3

tan450+tan30°3c

=--------------=---片=2+V3.

1-tan45°tan30°V3

1----

3

(2)設x=tan22.5。，

即/+2x-l=0,

解?得x=-\士6'

又x=tan22.5°>0,

所以tan22.5°=應-1.

18.⑴[2,+8)

⑵[T，2]

【分析】

(1)解出集合力,由p,q的推斷關系得集合48的關系，得a的取值范圍.

(2)求出p,q都不成立時a的取值范圍，其補集即為所求.

【詳解】

(1)設/={x|Jx-l41}=2},B={x\-\<x<a],

答案第7頁，共12頁

因為4是〃的必要非充分條件，所以/是8的真子集，則a22,

所以實數(shù)a的取值范圍為［2,”).

(2)當。=1時，p:\<x<2,

當p,g都不成立時，

x<l或x>2,且x<-l或x>l同時成立，

解得x<-l或x>2,

故p,q至少有一個成立時，x的取值范圍為［T,2］.

19.(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】

(1)利用基本不等式即可證明:

(2)討論必>0和"<0兩種情況，脫掉絕對值符號，結(jié)合基本不等式證明即可.

【詳解】

(1)證明：因為04x41,所以04五41,l-7x>0,

所以五(1-4慳竺二9=1,

當且僅當4=1-6，即x=9時，等號成立.

4

(2)證明：因為必#0,當外>0ff寸，-+--2,

abab\ab

當且僅當。=力wO時等號成立.

當"<0時，『如用+卜酢2心力02,

當且僅當。=-6工0時等號成立.

綜上，若“AwO,則猿+*卜2成立，當且僅當時等號成立.

20.(1)/(X)=A:2+2X

(2)單調(diào)增區(qū)間為(0,+e),單調(diào)遞減區(qū)間為(TO,-2)

答案第8頁，共12頁

【分析】

(1)由配湊法或換元法即可求：

(2)由復合函數(shù)單調(diào)性判斷.

【詳解】

(1)因為/(x-1)=x?-1=(x-1)?+2(x-1),

設f=x-l,則/⑺=*+2f,所以〃x)=，+2x.

(2)^=g(x)=ln/(x)=ln(x2+2x),由f+2》>0=x<-2或x>0,

設u=/+2x>0，則y=lnw,

當xe(-a,-2)時，"=/+2》，因為其對稱軸為x=-l,

則此時"(x)單調(diào)遞減，y=lnu單調(diào)遞增，所以g(x)在(-8,-2)單調(diào)遞減；

當xe(0,+8)時，"=f+2x單調(diào)遞增，y=lnw單調(diào)遞增，所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增.

所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2).

21.⑴-1或1

⑵(-8』

【分析】

(1)根據(jù)題意代入運算求解；

(2)利用換元法結(jié)合基本不等式可得s=2'+2-、±2,題意轉(zhuǎn)化為機Vs-士2當sN2時恒成

s

立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析運算.

【詳解】

(I)由題意可得：/(A-)=-'8,-2-=2X+--2-J,f(-x)=2-'+-2x,

''a-4xaa

Vf\x)=f\-x),即(2、+：2-*)=(2-，+.2'],

得4V+2+J.4T=4"+)+，則(1一5)(4'-4-')=0,

答案第9頁，共12頁

且4、_4T不恒為0,貝iJl-」r=0,解得。=±1,

a

故實數(shù)。的值為-1或1.

(2)因為4>0,所以4=1,

則/(工)=2*+2—)/(2x)=22v+2-2r=(2r4-2-x)2-2,

令s=2*+2，則s之2J2".2一，=2，當且僅當2"=2，即x=0時，等號成立，

2

?.?/(2x"W(x)恒成立，等價于$2-22機s當S22時恒成立，等價于加4s—-當sN2時恒

S

成立，

2

令〃(X)=x——(X>2),

對Vxpx2e［2,+oo),且王<X2,

因為一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=-W在［2,+8)上都是增函數(shù)，

X

22,22

貝！I再<々，--<----，可得玉----<xi----，

再x2玉x2

即,(石)。(々)，所以〃(x)=x--在［2,+8)上單調(diào)遞增,