MonteCarlo方法的應(yīng)用磁性材料與相變磁性材料的重要特征是高溫處于無序態(tài)〔無磁性〕，低溫處于有序態(tài)〔有磁性〕。在物理上，同一體系的這樣的不同的宏觀狀態(tài)，稱為‘相’。自然界的法那么是，體系如果存在不同的相，隨著控制參數(shù)的改變，體系會發(fā)生相變----宏觀狀態(tài)的突變，這一現(xiàn)象稱為相變。材料的宏觀磁性，來自微觀的分子或原子的磁子的有序狀態(tài)。支持有序態(tài)的力量是磁子之間的相互作用。破壞有序態(tài)的力量是來自環(huán)境或雜質(zhì)的無規(guī)相互作用，常常用溫度描述。這樣兩種力量的競爭是相和相變的根源。磁性材料通常是固體問題：為什么？因為液體一般無法保證磁子的有序狀態(tài)。設(shè)體系已到達(dá)平衡態(tài)，統(tǒng)計物理學(xué)很好地描述磁性材料的性質(zhì)。不過，我們首先需要建立體系的微觀模型。問題：什么是平衡態(tài)？物理學(xué)家的重要思維方法之一是簡化問題，尋找現(xiàn)象的本質(zhì)。理想晶體、無雜質(zhì)代表晶格上的磁子，最簡單情形假設(shè)只有兩種取向，用描述假設(shè)只有最近鄰的磁子存在相互作用，但磁子可以與外磁場相互作用例如，二維Ising模型的Hamiltonian〔能量〕<ij>記最緊鄰相互作用。Hamiltonian，在理論力學(xué)中，我們可以寫下體系的根本運動方程，即Hamiltonian方程。但是，由于Ising模型的特殊性，Hamiltonian方程不存在。不過，統(tǒng)計物理學(xué)的出發(fā)點不是運動方程，而是假設(shè)每個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率遵從一個統(tǒng)計分布。對于與溫度為T的大熱源接觸的體系，在平衡態(tài)時，這一分布由體系的Hamiltonian決定，熱源熱源體系體系LudwigBoltzmann,1844-1906宏觀物理量是對所有微觀狀態(tài)平均的結(jié)果。例如，(單位體積)磁化強度MTCT對空間維數(shù)d=1和2，存在準(zhǔn)確解。但對d=2,準(zhǔn)確解極復(fù)雜。設(shè)h＝0，磁化的曲線如圖，對d=1,Tc＝0，沒有真正的有序態(tài)。對d>1,在T=Tc處，發(fā)生二級相變。M在Tc處連續(xù)，但其一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)必須強調(diào)從理論上說，真正意義的相變只對粒子數(shù)無窮多的體系存在如果是一級相變，M在Tc處不連續(xù)MTCT在遠(yuǎn)離相變點的區(qū)域，數(shù)值模擬和物理量的測量一般比擬容易。困難在于如何模擬系統(tǒng)在相變點附近的特征行為。二級相變的特征：物理量遵從冪次行為具有普適性！例如，磁化其中約化溫度d＝2，這里稱為‘臨界指數(shù)’，只與幾個重要物理條件有關(guān)：例如，對稱性空間維數(shù)相互作用的力程臨界指數(shù)把自然界的二級相變分為假設(shè)干普適類閱讀材料：-----------------------------------------------------------------------------------------關(guān)聯(lián)長度按冪次發(fā)散或者説關(guān)聯(lián)函數(shù)取冪次形式關(guān)聯(lián)函數(shù)〔或兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)〕…，當(dāng)足夠大稱為關(guān)聯(lián)長度。在二級相變點附近，設(shè)當(dāng)，發(fā)散。這時關(guān)聯(lián)函數(shù)取冪次形式二級相變這兩個特征高度非平庸，其關(guān)鍵是關(guān)聯(lián)長度發(fā)散。因為關(guān)聯(lián)長度在相變點附近發(fā)散，相應(yīng)地統(tǒng)計漲落無窮大，所以微觀細(xì)節(jié)不影響體系的大范圍性質(zhì)，如冪次行為、臨界指數(shù)等，這便是普適性。-----------------------------------------------------------上述的行為特征可以一般表達(dá)為所謂的標(biāo)度形式例如，對磁化強度，這里b是任意的標(biāo)度因子。問題：如何從標(biāo)度形式導(dǎo)出磁化的冪次行為？進(jìn)一步，標(biāo)度形式可以推廣到有限體系，其中L是體系的尺寸，必須足夠大。換句話說，當(dāng)L足夠大，但不是無窮大時，體系具有類相變行為。我們研究什么？體系是否存在相和相變？相變點在哪里？一般說來，如果存在不同的相，便會發(fā)生相變當(dāng)然，對于理論家或計算理論家，必須先建立模型確定相變的階如果是一級相變，測量不連續(xù)性等如果是二級相變，測量物理量的冪次行為和臨界指數(shù)等當(dāng)然，物理學(xué)家和材料學(xué)家所關(guān)心的問題側(cè)重點會有所不同，甚至相當(dāng)不同。例如，對高溫超導(dǎo)材料，物理學(xué)家更關(guān)心超導(dǎo)的機制，即如何建模，得到高溫超導(dǎo)相相變點在哪？與實驗是否符合？相變的階，相變的特征行為如果根本的物理機制一時不清楚，如何構(gòu)造唯象的理論等材料學(xué)家可能更關(guān)心材料的性能，實用價值等這里我們必須指出，真實的磁性材料通常沒有Ising模型描述的那么簡單。所以，我們需要不斷改良模型，以其更好地描述實際材料的特性。例如，磁子可以有多個取向，甚至連續(xù)取向，甚至需要量子化Potts模型XY模型－>量子自旋模型是量子力學(xué)中的算符相互作用次近鄰作用，在次近鄰作用，……長程作用等一般地，短程作用同屬一個普適類。無序和摻雜根據(jù)無序和摻雜的不同，物理系統(tǒng)的相、相變和物理性能等會非常不同。例如，Tc這是所謂的相圖不同的晶格，晶格的缺陷，建模的問題不是純粹的數(shù)值模擬問題，解析的理論研究〔準(zhǔn)確方法或近似方法〕也需要建模。但是，有些模型會更適合特定的方法。所以，我們應(yīng)中選擇最適合數(shù)值模擬的模型。歸納起來，數(shù)值模擬的根本思路如下：科學(xué)問題的表述選定或開展一種理論，模型的構(gòu)造研究內(nèi)容和研究方案確實定選定計算方法，克服可能的困難計算，分析結(jié)果，撰寫論文數(shù)值模擬的關(guān)鍵是如何‘模擬’微觀世界，和選定或提出有效的計算方法。第二節(jié)Ising模型的MonteCarlo模擬現(xiàn)在的問題包括兩方面：如何計算物理量的平均值 ， ， 如何準(zhǔn)確測量相變溫度〔或者說〕，和相變點附近的物理量的特征行為，如冪次行為和臨界指數(shù)等?！膊辉谙嘧凕c附近的物理量的測量一般較容易?！硨Χ囿w問題，直接數(shù)值計算物理量的平均值是不可能的。例如，對二維格點，當(dāng)L＝100時，格點數(shù)為，那么需要求和的項數(shù)為，這是天文數(shù)字，根本無法完成。對這樣的多自由度求和〔或積分〕問題，MonteCarlo模擬方法十分有效。我們應(yīng)用重要抽樣方法，給予概率分布的意義，引入恰當(dāng)隨機過程，產(chǎn)生一系列自旋構(gòu)形 當(dāng)足夠大時， 遵從分布，那么有 例如 ，L是格點尺度。思考題：如果不能給予概率分布的意義怎么辦？關(guān)于隨機過程的平衡態(tài)我們?nèi)拥羟懊鎮(zhèn)€自旋構(gòu)型，是為了等待動力學(xué)系統(tǒng)到達(dá)所謂的平衡態(tài)。對單自由度或少自由度系統(tǒng)，通常不大，但對多自由度系統(tǒng)，可以很大。還與初始狀態(tài)有關(guān)，低溫的初始狀態(tài)較大。我們說系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)，并非指自旋構(gòu)型不再作動力學(xué)演化，處于靜止?fàn)顟B(tài)。而是指自旋構(gòu)型的概率分布不再隨時間演化。換句話說，如果我們在足夠長的時間里對自旋構(gòu)型作物理量的平均值，物理量不隨時間改變。構(gòu)造隨機過程，關(guān)鍵是選擇一個恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移概率，滿足各態(tài)歷經(jīng)和細(xì)致平衡條件。仔細(xì)點說，這里的問題有兩方面迭代方式即每次迭代更新多少個自旋。例如，我們可以每次更新一個、二個、三個，或N個自旋。一般而言，每次更新一個自旋比擬有效，稱單自旋迭代法〔或翻轉(zhuǎn)法〕。因為一次更新太多自旋，他們的能量改變會互相抵消。一旦決定采用單自旋翻轉(zhuǎn)法，還存在掃描方式的選擇。例如，我們可以選擇隨機掃描法，即隨機找一個自旋進(jìn)行迭代；也可以選擇順序掃描法，即按一定次序掃描，如一行一行地掃描。對一般問題而言，掃描方式不影響結(jié)果。但順序掃描法比擬省時間。MonteCarlo算法例如，Heat-bath算法 選定，取 注意：這一算法的躍遷概率與的值無關(guān)！這與Metropolis的方法不同。 的能量 的能量由于每次只迭代一個自旋，與無關(guān)的自旋的能量不必計算。設(shè) 各態(tài)歷經(jīng)是顯然的。 細(xì)致平衡 邊界條件：自然邊界周期邊界練習(xí)： 構(gòu)造Metropolis算法 構(gòu)造二自旋迭代的Heat-bath和Metropolis算法在計算機上實現(xiàn)Heat-bath的算法 選定 計算 產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù) ，如果 否那么 0 1 概率 計算機程序DO20I=1,NIR(I)=I20CONTINUEIR(0)=NIR(N+1)=1DO40I=-4,4,1XX1=DEXP(-AT1*I)XX2=XX1+1.D+00/XX1PABHM1(I)=XX1/XX240CONTINUEDO120I=1,NDO120J=1,NCthisisHeat-bathalgorithmIEM1=S1(I,IR(J-1))+S1(I,IR(J+1))c+S1(IR(I-1),J)+S1(IR(I+1),J)callranecu(iseed1,iseed2,ranec1)IF(ranec1.LE.PABHM1(IEM1))THENS1(I,J)=-1ELSES1(I,J)=1ENDIF120 CONTINUE在遠(yuǎn)離相變點的區(qū)域計算物理量的平均值一般不太難，因為統(tǒng)計漲落較小。關(guān)鍵是如何較準(zhǔn)確測量相變點和物理量的冪次行為以及臨界指數(shù)。這里的問題是，嚴(yán)格的相變現(xiàn)象只在無窮多粒子體系存在。Na?ve的方法比方，我們可以測量磁化強度M及其k次矩 M 當(dāng) 這里的要點是M對溫度的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。事實上，因為，M在低溫一側(cè)是發(fā)散的，。在數(shù)值模擬中，因為L總是有限，所以，無法觀測到這樣的不連續(xù)性。一般只能逐步增加L，看曲線的趨勢。這樣的方法難以準(zhǔn)確定出相變點，也難以測量臨界指數(shù)，已經(jīng)較少應(yīng)用。有限尺度標(biāo)度行為方法相變點附近系統(tǒng)具有標(biāo)度行為 對有限尺度體系，重整化群方法可以論證，具有有限尺度標(biāo)度行為 利用這一標(biāo)度行為，可以較簡單測量引入Bindercumulant 由標(biāo)度行為形式 當(dāng) 從這一行為，可以測定求U的溫度的導(dǎo)數(shù) 對二次矩 小結(jié)一下，數(shù)值測量的要點是構(gòu)造 恰當(dāng)?shù)奈锢砹?，減少待測量的參數(shù)Ising模型的另一種應(yīng)用假設(shè)代表粒子A，代表粒子B，而兩種粒子的數(shù)目是守恒的。換句話說，Ising模型的磁化M是守恒的。對這一情形，Markov過程的自旋不能任意翻轉(zhuǎn)，必須保證磁化M守恒。例如，單自旋翻轉(zhuǎn)是不允許的。保證磁化守恒的最簡單的實現(xiàn)，是交換兩個自旋的值。習(xí)題：構(gòu)造交換兩個自旋的Metropolis和heat-bath算法。磁化不守恒的Markov過程稱模型A，而磁化守恒的Markov過程稱模型B。模型B的演化比模型A慢得多。第三節(jié)動力學(xué)慢化以Markov過程為根底的MonteCarlo方法----目前這是幾乎唯一的方法，的顯而易見的弱點是，產(chǎn)生的狀態(tài)在時間方向上會有‘關(guān)聯(lián)’。什么是狀態(tài)的時間關(guān)聯(lián)？在一定的演化時間內(nèi)，狀態(tài)的大局部自旋沒有改變。這些大局部自旋相同的狀態(tài)，幾乎可以看成同一狀態(tài)。假設(shè)在時間內(nèi)狀態(tài)沒有改變，那么稱為關(guān)聯(lián)時間。顯然，當(dāng)存在時間關(guān)聯(lián)時，MonteCarlo模擬的誤差應(yīng)當(dāng)重新估計，修正為這里M是抽樣總數(shù)。當(dāng)不大時，這對數(shù)值模擬的影響并不大。但是，在一些重要而特殊的情形，例如，相變點附近，發(fā)散。這會極大地降低MonteCarlo方法的效率，稱之為dynamicslowingdown。如果是在二級相變點附近，便是所謂的criticalslowingdown----臨界慢化。為了定量描述狀態(tài)的時間關(guān)聯(lián)，可以引入時間關(guān)聯(lián)函數(shù) 包括統(tǒng)計平均和對平均。當(dāng)t足夠大，一般地，稱之為關(guān)聯(lián)時間注意：當(dāng)我們對平均，便假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)處于平衡態(tài)，我們考察系統(tǒng)在平衡態(tài)的動力學(xué)漲落。思考題：為什么當(dāng)足夠大，？對二級相變， * ，這里z是所謂的動力學(xué)臨界指數(shù)，用于描述關(guān)聯(lián)時間的發(fā)散。 當(dāng) ，這是動力學(xué)標(biāo)度行為的物理根底 * ， 當(dāng)， 這便是通常說的臨界慢化 為什么會出現(xiàn)臨界慢化現(xiàn)象？設(shè)，如果每次迭代一個自旋， 在溫度較低時，相同取向的自旋傾向于聯(lián)成一片，也即所謂的‘cluster’。例如，當(dāng)?shù)乃谢虼蠖鄶?shù)近鄰自旋，是難以取值－1的。當(dāng)溫度遠(yuǎn)低于相變溫度時，系統(tǒng)處于有序態(tài)，大多數(shù)自旋形成cluster，并取確定的值，＋1或－1。換句話說，統(tǒng)計漲落較小，這不會導(dǎo)致什么數(shù)值模擬上的困難。當(dāng)溫度在相變溫度附近時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，序參數(shù)為零，但大多數(shù)自旋形成cluster，不取確定的值，時而＋1時而－1。在數(shù)值模擬中，對于較大的cluster，難以從＋1翻轉(zhuǎn)到－1。問題：如果每次迭代多個自旋呢？閱讀材料：--------------------------------------------------------------------------------------理論上說，criticalslowingdown與動力學(xué)標(biāo)度行為密切相關(guān)。設(shè) ,當(dāng)t足夠大， 假設(shè) 當(dāng)然 顯然，指數(shù)上的b的因子必須自身抵消掉〔為什么?〕，即與b無關(guān) 驗證：思考題：為什么 ？提示：當(dāng)t足夠大，----------------------------------------------------------------------對于實際的數(shù)值模擬，動力學(xué)慢化意味這什么？必須等待非常長的時間〔即〕，才能到達(dá)平衡態(tài)。即便已到達(dá)平衡態(tài)，必須等待非常長的時間才能得到一個新的〔微觀〕自旋狀態(tài)。進(jìn)一步，動力學(xué)慢化還影響動力學(xué)測量，例如，傳統(tǒng)的測量的方法 兩難境地：要測量準(zhǔn)確，需要較大 但當(dāng)大，遇到臨界慢化困難。Cluster算法過去一、二十年，如何改良MonteCarlo算法，克服臨界慢化困難，一直是物理學(xué)家和計算科學(xué)家的一個重要課題。例如，Cluster算法Multi-canonical算法reweighting算法Hybrid算法MonteCarlo重整化群方法……Cluster算法的重要代表算法：Swendsen-Wang算法和Wolff算法 仍然以二維Ising模型為例,正那么分布寫為 Wolff算法 從某一初始態(tài)出發(fā)隨機取一格點i，翻轉(zhuǎn)的值，即取如果近鄰的自旋與不同值〔即與同值〕，以概率翻轉(zhuǎn)該自旋，這樣得到的與相同值的自旋稱之為一個Cluster,如果近鄰的自旋和同值，不做任何事情。 〔iii〕對該Cluster的近鄰自旋操作〔ii〕直至停止。證明：各態(tài)歷經(jīng)自然滿足，因為不管周圍的自旋構(gòu)形如何，隨機選中的自旋總被翻轉(zhuǎn)，所以，關(guān)鍵是細(xì)致平衡條件?！?/p>

→連起來的鍵 —— 對斷開的鍵 對不做任何事情的鍵 對 隨機抽到和的概率一