高等代數(shù)§1.9有理系數(shù)多項式第九節(jié)有理系數(shù)多項式第一章多項式

Polynomial

§1.9有理系數(shù)多項式一、本原多項式1.本原多項式的概念

任何一個有理系數(shù)多項式f(x)乘以適當(dāng)?shù)挠欣頂?shù)r

后，可以使r

f(x)成為一個系數(shù)互素的整系數(shù)多項式.

而且多項式f(x)與rf(x)在有理數(shù)域上同時可約或同時不可約，在有理數(shù)域上同解.

因此，有理數(shù)域上多項式的可約性、因式分解及求根問題可以歸結(jié)為系數(shù)互素的整系數(shù)多項式的可約性、因式分解及求根問題.§1.9有理系數(shù)多項式

定義1

若整系數(shù)多項式f(x)的系數(shù)互素，則稱f(x)是一個本原多項式.

注◆

任何一個非零的有理系數(shù)多項式f(x)都可以表示成一個有理數(shù)r

與一個本原多項式g(x)的乘積r

g(x).◆與多項式f(x)對應(yīng)的本原多項式除了差一個正負(fù)號是唯一的.§1.9有理系數(shù)多項式2.本原多項式的性質(zhì)定理1(Gauss引理)

兩個本原多項式的乘積還是本原多項式.證明任取兩個本原多項式g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0,f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0

，考慮它們的乘積▼§1.9有理系數(shù)多項式如果h(x)不是本原多項式，那么一定存在素數(shù)p是h(x)的系數(shù)dn+m

,dn+m-1

,…,d0

的公因數(shù)，因為f(x)是本原的，所以p不會同時整除f(x)的每一個系數(shù).令ai

是第一個不能被p

整除的系數(shù)，p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同樣地，g(x)也是本原的，令bj是第一個不能被p

整除的系數(shù)，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.即§1.9有理系數(shù)多項式下面來看h(x)的系數(shù)di+j,di+j=a0bi+j+...+ai-1bj+1+aibj

+ai+1bj-1+...+ai+j

b0由上面的假設(shè)，p

整除等式左邊的di+j

，p

整除右邊aibj

以外的每一項，但是p

不能整除aibj

.矛盾.因此，h(x)一定也是本原多項式.證畢由多項式乘積的定義得§1.9有理系數(shù)多項式二、整系數(shù)多項式的分解定理證明略.

定理2

如果一非零的整系數(shù)多項式能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù)多項式的乘積,那么它一定能分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積.

推論

設(shè)f

(x)，g

(x)是整系數(shù)多項式，且g

(x)是本原的.如果f

(x)=g

(x)h

(x)，其中h

(x)是有理系數(shù)多項式，那么h

(x)一定是整系數(shù)多項式.證明略.§1.9有理系數(shù)多項式三、整系數(shù)多項式的有理根的求法定理3

設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數(shù)多項式，而是它的一個有理根，其中r,s

互素，那么必有s|an,r|a0.證明因為是f(x)

的一個有理根.因此從而§1.9有理系數(shù)多項式(sx-r)|f(x).因為

r,s

互素，所以sx-r是一個本原多項式.根據(jù)上述推論，可設(shè)f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0),其中bn-1,…,b0都是整數(shù).比較兩邊系數(shù)，即得an

=sbn-1,a0=-rb0.因此s|an,r|a0.證畢§1.9有理系數(shù)多項式注◆

如果

f(x)的首項系數(shù)an=1，那么f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是a0的因數(shù).§1.9有理系數(shù)多項式例1

求多項式f(x)=3x4+5x3+x2+5x-2的有理根.解多項式f(x)的首項系數(shù)3的因數(shù)為±1、±3，常數(shù)項-2的因數(shù)為±1、±2.所以，多項式f(x)可能的有理根是用綜合除法可得，-2與是f(x)的有理根.§1.9有理系數(shù)多項式例2

證明f(x)=x3-5x+1在有理數(shù)域上不可約.證明如果f(x)可約，那么它至少有一個一次因子，也就是有一個有理根.但是f(x)的有理根只可能是

1.直接驗算可知

1都不是f(x)的根，因而f(x)在有理數(shù)域上不可約.§1.9有理系數(shù)多項式證明因為c

是f(x)的一個有理根,所以可設(shè)因為f(x)是整系數(shù)多項式，易證q(x)也是整系數(shù)多定理4

設(shè)f(x)是一個整系數(shù)多項式.如果有理數(shù)c(c≠±1)是它的一個根，那么和都是整數(shù).f(x)=(x-c)q(x).項式.由于f(1)=(1-c)q(1)，f(-1)=(-1-c)q(-1)，§1.9有理系數(shù)多項式所以證畢例3

求多項式f(x)=2x3+7x2-5x+18的有理根.§1.9有理系數(shù)多項式解多項式f(x)的首項系數(shù)2的因數(shù)為±1、±2，常數(shù)項18的因數(shù)為±1、±2、±3、

±6、±9、±18.所以，多項式f(x)可能的有理根是因為f(1)=22≠0，f(-1)=28≠0，并且§1.9有理系數(shù)多項式都不是整數(shù)，所以f(x)的有理根只可能是3和.由綜合除法知，是f(x)的有理根，是單根.§1.9有理系數(shù)多項式四、整系數(shù)多項式不可約的條件定理5(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數(shù)多項式.如果有一個素數(shù)p,使得1.p

|

an;2.p

|

an-1,an-2,…,a0;3.p2

|

a0;那么f(x)在有理數(shù)域上不可約.設(shè)▼§1.9有理系數(shù)多項式證明假設(shè)f(x)在有理數(shù)域上可約，那么f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積：f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m<n,l+m=n).因此an=

bl

cm,a0=b0c0.因為p|a0,所以p能整除b0或c0.但p2|a0,所以p

不能同時整除b0及c0.因此不妨假設(shè)p|b0

§1.9有理系數(shù)多項式且p|c0.另一方面，因為p|an,所以p|bl.假設(shè)b0,b1,…,bl

中第一個不能被p

整除的是bk

.比較f(x)中xk

的系數(shù)，得等式ak=bkc0

+bk-1c1+…+b0ck.式中ak,bk-1,…,b0

都能被p

整除，所以bkc0也必須能被p

整除.但是p

是一個素數(shù)，所以bk與c0中至少有一個被p

整除.矛盾.證畢§1.9有理系數(shù)多項式例4

證明多項式xn+2在有理數(shù)域上不可約.項式xn+2在有理數(shù)域上不可約.因此，多證明取p=2,則p︱1,p︱2,p2︱2.注◆

復(fù)數(shù)域上只有一次多項式才是不可約的，實數(shù)域上不可約多項式只有一次的和某些二次的，有理數(shù)域上存在任意次數(shù)的不可約多項式.◆有理系數(shù)多項式的因式分解的問題，可以歸結(jié)為整系數(shù)多項式的因式分解問題，并進(jìn)而解決求有理系數(shù)多項式的有理根的問題.證畢§1.9有理系數(shù)多項式◆艾森斯坦判別法中的素數(shù)如果不存在，多項式有可能不可約.這時，可以用其他方法判別可約性,也可通過變換后使用艾森斯坦判別法.例5

證明多項式f(x)=x4+