關(guān)于零點(diǎn)極點(diǎn)分析系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數(shù)，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、策動(dòng)點(diǎn)阻抗或?qū)Ъ{第2頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布第3頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.1由系統(tǒng)函數(shù)的極零點(diǎn)分布決定

時(shí)域特性

（1）時(shí)域特性——h(t)反變換第i個(gè)極點(diǎn)決定總特性Ki與零點(diǎn)分布有關(guān)第4頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(a)一階極點(diǎn)在原點(diǎn)第5頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(b)一階極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸第6頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(c)一階極點(diǎn)在正實(shí)軸第7頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(d)一階共軛極點(diǎn)在虛軸上第8頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(e)共軛極點(diǎn)在虛軸上，原點(diǎn)有一零點(diǎn)第9頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(f)共軛極點(diǎn)在左半平面第10頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）幾種典型的極點(diǎn)分布——

(g)共軛極點(diǎn)在右半平面第11頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）有二重極點(diǎn)分布——

(a)在原點(diǎn)有二重極點(diǎn)第12頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）有二重極點(diǎn)分布——

(b)在負(fù)實(shí)軸上有二重極點(diǎn)第13頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）有二重極點(diǎn)分布——

(c)在虛軸上有二重極點(diǎn)第14頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）有二重極點(diǎn)分布——

(d)在左半平面有二重共軛極點(diǎn)第15頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天一階極點(diǎn)第16頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天二重極點(diǎn)第17頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天極點(diǎn)影響小結(jié)：極點(diǎn)落在左半平面—h(t)逞衰減趨勢(shì)極點(diǎn)落在右半平面—h(t)逞增長(zhǎng)趨勢(shì)極點(diǎn)落在虛軸上只有一階極點(diǎn)—h(t)等幅振蕩，不能有重極點(diǎn)極點(diǎn)落在原點(diǎn)—h(t)等于u(t)第18頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）零點(diǎn)的影響零點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)第19頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）零點(diǎn)的影響零點(diǎn)的分布只影響時(shí)域函數(shù)的幅度和相移，不影響振蕩頻率幅度多了一個(gè)因子多了相移第20頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論H(s)的極點(diǎn)決定了自由響應(yīng)的振蕩頻率，與激勵(lì)無(wú)關(guān)自由響應(yīng)的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點(diǎn)有關(guān)，即零點(diǎn)影響Ki,Kk系數(shù)E(s)的極點(diǎn)決定了強(qiáng)迫響應(yīng)的振蕩頻率，與H(s)無(wú)關(guān)用H(s)只能研究零狀態(tài)響應(yīng)，H(s)中零極點(diǎn)相消將使某固有頻率丟失。第21頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天激勵(lì)E(s)的極點(diǎn)影響激勵(lì)E(s)的極點(diǎn)也可能是復(fù)數(shù)增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作 用下穩(wěn)下來(lái)，或與系統(tǒng) 某零點(diǎn)相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)衰減趨勢(shì)，暫態(tài)第22頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（1）求e(t)的拉氏變換第23頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)（3）求系統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換暫態(tài)穩(wěn)態(tài)第24頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天(5)求第一個(gè)周期引起的響應(yīng)的拉氏變換V01(t)（4）求暫態(tài)響應(yīng)，它在整個(gè)過(guò)程中是一樣的。固定常數(shù)衰減因子第25頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第26頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（8）整個(gè)周期矩形信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)第27頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.2由系統(tǒng)函數(shù)決定系統(tǒng)頻率特性什么是系統(tǒng)頻率響應(yīng)？ 不同頻率的正弦激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般為復(fù)數(shù)，可表示為下列兩種形式：第28頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天由正弦激勵(lì)的極點(diǎn)決定的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項(xiàng)最后衰減為零第29頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有關(guān)的幅度該變相位偏移第30頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天若換成變量

系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性第31頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天用幾何法求系統(tǒng)頻率特性第32頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：已知試求當(dāng)

時(shí)的幅頻和相位第33頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.3一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的

S平面分析已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點(diǎn)在S平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線第34頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）一階系統(tǒng)一零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn)一在原點(diǎn)的零點(diǎn)，一在實(shí)軸的極點(diǎn)只有無(wú)窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)一在實(shí)軸的極點(diǎn)第35頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性+U1—+U2—CRMN-1/RC第36頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第37頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_M沒(méi)有零點(diǎn)第38頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天幅頻特性相位特性第39頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析只考慮單極點(diǎn)使系統(tǒng)逞低通特性只考慮一極點(diǎn)和一零點(diǎn)使系統(tǒng)逞高通特性中間狀態(tài)是個(gè)常數(shù)低通高通總體是個(gè)帶通第40頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：第41頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天高通低通第42頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

較小時(shí)起作用

逐漸增加高通第43頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

較大時(shí)起主要作用低通特性

逐漸增加第44頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天帶通第45頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：若已知H(s)零極點(diǎn)分布如圖(a)--(h)試粗略給出它們的第46頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第47頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第48頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.4二階諧振系統(tǒng)的S域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質(zhì)因素第49頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（一）諧振頻率衰減因素

諧振頻率

第50頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天(二)阻尼衰減因子的影響若不變，則共軛極點(diǎn)總是落在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的左半圓弧上等幅震蕩衰減震蕩第51頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

臨界不起振實(shí)數(shù)根本不起振第52頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天（三）頻率變化影響當(dāng)頻率變化時(shí)在S平面沿著虛軸移動(dòng)，將代入Z(s)，則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿變化。第53頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天討論的前提下，不變

而變化的情況第54頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第55頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天斜邊乘高直角邊之積第56頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

顯著增長(zhǎng)，而增長(zhǎng)緩慢些第57頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天(四)高品質(zhì)因素的影響品質(zhì)因素定義為包括了兩方面的影響高，若諧振頻率一定，則小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳低，則相反第58頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如：當(dāng)時(shí)的情況

當(dāng)在附近時(shí)第59頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第60頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天邊帶帶寬

高帶窄第61頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如：高階系統(tǒng)（極零點(diǎn)靠近虛軸）無(wú)損電路，即很小第62頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第63頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天有非?？拷撦S的零極點(diǎn)第64頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.5全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)第65頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.5全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于軸互為鏡象對(duì)稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)。全通，即幅頻特性為常數(shù)相移肯定不是零第66頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天全通網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)分布從對(duì)稱零點(diǎn)極點(diǎn)之和為180度逐漸減少最后為-360度第67頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天第68頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：一些對(duì)稱性強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò)第69頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天最小相移網(wǎng)絡(luò)零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較大零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較小定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)”非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)第70頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天相互抵消乘第71頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天§5.6系統(tǒng)穩(wěn)定性一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)于有界激勵(lì)信號(hào)產(chǎn)生有界的響應(yīng)函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)情況無(wú)關(guān)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性第72頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點(diǎn)落在左半平面（除虛軸外）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點(diǎn)在右半平面，或虛軸有二階以上重極點(diǎn)，不收斂。邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階極點(diǎn)，等幅震蕩第73頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天穩(wěn)定系統(tǒng)對(duì)零極點(diǎn)的要求

在右半平面不能有極點(diǎn)，全在左半面在虛軸上只能有一階極點(diǎn)分子方次最多比分母方次高一次，即：轉(zhuǎn)移函數(shù)策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)中分母的的因子只能是的形式，其中都是正值，乘得的系數(shù)也是正值。第74頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從最高次冪到最低次冪無(wú)缺項(xiàng)，b0

可以為零。要么全部缺偶次項(xiàng)要么全部缺奇次項(xiàng)的性質(zhì)也使用于第75頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則設(shè)n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是實(shí)常數(shù)。H(s)的分母多項(xiàng)式為第76頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。

A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件是：A(s)的各項(xiàng)系數(shù)ai都不等于零，并且ai全為正實(shí)數(shù)或全為負(fù)實(shí)數(shù)。若ai全為負(fù)實(shí)數(shù)，可把負(fù)號(hào)歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai＞0。顯然，若A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則(R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。第77頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則

(R-H準(zhǔn)則)。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)。第78頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算：第79頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)

指出：多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。第80頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

綜上所述，根據(jù)H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai的符號(hào)不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式，故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無(wú)缺項(xiàng)并且符號(hào)相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。第81頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.8-2

已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。第82頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解H1(s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)a1=0，H2(s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號(hào)不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項(xiàng)式無(wú)缺項(xiàng)且系數(shù)全為正值，因此，進(jìn)一步用R-H準(zhǔn)則判斷。H3(s)的分母為A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列的行數(shù)為n+1=4，羅斯陣列為第83頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)式(4.8-20)和式(4.8-21)，得因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第84頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例4.8-3

圖4.8-4所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為圖4.8-4例4.8-3圖K取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第85頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天解令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得第86頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得第87頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天由式(4.8-20)和式(4.8-21)計(jì)算陣列的未知元素，得到陣列為根據(jù)R-H準(zhǔn)則，若和-K＞0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)以上條件，當(dāng)K＜0時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第88頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.8.5拉普拉斯變換與傅里葉變換

若f(t)為因果信號(hào)，則f(t)的傅里葉變換F(jω)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為

由于s=σ+jω，因此，若能使σ=Re［s］等于零，則F(s)就等于F(jω)。但是，能否使σ等于零，這取決于F(s)的收斂域。

F(s)的收斂域?yàn)镽e［s］＞σ0,σ0為實(shí)數(shù)，稱為收斂坐標(biāo)。σ0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。第89頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.σ0＜0

如果σ0＜0，則F(s)的收斂域包含jω軸(虛軸)，F(xiàn)(s)在jω軸上收斂。若令σ=0，即令s=jω，則F(s)存在。這時(shí)，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=jω，則F(s)等于F(jω)。即例如，，其單邊拉普拉斯變換為

的傅里葉變換為第90頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.σ0=0

若收斂坐標(biāo)σ0=0，F(xiàn)(s)的收斂域?yàn)镽e［s］＞0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含jω軸，故F(s)在jω軸上不收斂。若令s=jω，則F(s)不等于F(jω)。和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn)為m個(gè)一階極點(diǎn)jβi(i=1,2,…,m)。將F(s)展開為部分分式，表示為式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分式。令FN(s)的原函數(shù)為fN(t)，則F(s)的原函數(shù)為第91頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天

的傅里葉變換為由于是的原函數(shù)，并且的極點(diǎn)在左半面，故第92頁(yè),共101頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和頻移性質(zhì)，并且由于ε(t)的傅里葉變換為 ，因此得第93頁(yè),共101頁(yè)