江蘇省無錫市錫山高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2

1.下列曲線中，與雙曲線＞2=1有相同漸近線是()

2

A.X2-^=1B.x2-4y2=1

4

2

C.4x2-y2=1D.匕一%2=1

4

2.江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體于2020年進(jìn)行了一次校際數(shù)學(xué)競賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的

得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.得分在［40,60)之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人,其得分在［60,80)的概率為0.5

C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

D.可求得a=0.005

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的y=2,則輸人的％=()

A.-72B.6或—也

C.-5D.一萬或—逝’

4.圓（X—1）?+"—1）2=1與圓d+y2=4的位置關(guān)系是（）

A.相離B.內(nèi)含

C.相切D.相交

5.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓。，將籃球表面

的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓。的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB=BO=OC=CD,則該雙

曲線的離心率為（）

A.72B.73

C.2D.百

6.已知AA5C的頂點(diǎn)8、。在橢圓三■+產(chǎn)=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在3c邊上，則

△4BC的周長是（）

A.273B.6

C.46D.12

7.若a>b,c>d,則下列不等式中一定正確的是()

A?a+d>/?+cB.a—d>b—c

,ab

C.ad>bTcD.—>—

dc

8.甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是()

C.平均數(shù)D.中位數(shù)

9.平面上動點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,1)的距離與它到直線/:x+y-1=0的距離之比為0,則動點(diǎn)P的軌跡是()

A.雙曲線B.拋物線

C橢圓D.圓

10.若復(fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=|3+4i],則復(fù)平面內(nèi)表示z的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.如圖，在單位正方體中，以。為原點(diǎn)，DA>DC，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則

平面的法向量是()

A.(l,1,1)1,1)

c.(l,-1,1)D.(1,1,-1)

12.1x2-展開式的第3項(xiàng)為()

A.189B.189x8

C.-945D.-945x5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點(diǎn)P是拋物線/=—4%上一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)尸到點(diǎn)M(0,2)的距離與點(diǎn)尸到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小

值為______________

14.若“/_六6>0"是“x>a”的必要不充分條件，則a的最小值為.

22A

15.已知aeR,命題p：3%0tz>x0；命題g：X/xeR,%+2ax+4>0>且0q為真命題，則a的取

值范圍為

16.已知直線乙：(a-3)x+(4-a)y+l=0與4:2(a-3)x-2y+2=0平行，貝!)。=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱柱ABCD—A4G。的底面ABC。為正方形，，平面ABC。，4%=4,AB=2,

點(diǎn)石在CG上，且GE=3EC.

(1)求證：Ac1DE；

(2)求直線與平面5r石所成角的正弦值；

(3)求平面3Z汨與平面ABD夾角的余弦值.

18.(12分)已知直線4：3x—4y+6=0,直線4：3x-4y+c=。

(1)若4，4之間的距離為3,求c的值:

(2)求直線4截圓C：d+y2—4x—4y+7=0所得弦長

19.(12分)某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；

(2)在這60天中包裹件數(shù)在［100,200)和［200,300)的兩組中，用分層抽樣的方法抽取30件，求在這兩組中應(yīng)分別

抽取多少件？

20.(12分)如圖，在四棱錐A—BCDE中，四邊形BCDE為平行四邊形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

為等腰直角三角形，且A5=2,ZBAE=9Q°.

(1)若點(diǎn)。為棱BE的中點(diǎn)，證明：平面ACD,平面AOC；

(2)若平面ABE_L平面3CDE,點(diǎn)口為棱8C的中點(diǎn)，求直線■與平面ADE所成角的正弦值.

21.(12分)已知拋物線。：/=2/(夕>0)上一點(diǎn)4(%,為)到拋物線焦點(diǎn)的距離為%+；，點(diǎn)A,3關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

對稱，過點(diǎn)A作了軸的垂線，。為垂足，直線與拋物線。交于M,N兩點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線與V軸交點(diǎn)分別為RQ,求儡的值；

(3)若|腦V「=4夜|3卜|出|,求七.

1

22.(10分)已知函數(shù)%)=］雙9一In九(awR).

(1)證明：x>lnx；

(2)若函數(shù)/(無)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.

r21

【詳解】雙曲線/=1的漸近線方程為丁二土萬工，

2

而雙曲線尤2一2L=1的漸近線方程為y=±2x,

4

雙曲線爐一4產(chǎn)=1的漸近線方程為丁=土;x,

雙曲線4——>2=1的漸近線方程為y=±2尤，

2

雙曲線21一%2=］的漸近線方程為y=±2%.

4

故選:B

2、C

【解析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合直方圖的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【詳解】由頻率分布直方圖，可得

A中，得分在［40,60)之間共有［1—(0.03+0.02+0.01)x10］x100=40人，所以A正確；

B中，從100名參賽者中隨機(jī)選取1人，

其得分在［60,80)中的概率為(0.03+0.02)x10=0.5,所以B正確；

D中，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a+0.01+0.035+0.030+2.020+0.010)x10=1,

解得a=0.005,所以D正確.

C中，前2個(gè)小矩形面積之和為0.4,前3個(gè)小矩形面積之和為0.7,所以中位數(shù)在［60,70］,這100名參賽者得分的

05-04

中位數(shù)為60+><10。63.3,所以C不正確；

0.3

故選：c.

3、A

——,x>0

【解析】根據(jù)題意可知該程序框圖顯示的算法函數(shù)為y=x+1,分1>0和兩種情況討論即可得解.

x2,x<0

y1,X>0

【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數(shù)為y=冗+1,

x2,x<0

由y=2,

當(dāng)x>0時(shí)，，=2,方程無解；

X+1

當(dāng)尤<0時(shí)，f=2,解得X=—世，

綜上，若輸出的y=2,則輸入的％=—a.

故選：A.

4、D

【解析】先由圓的方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心間的距離與兩半徑之和與差比較可得答案.

【詳解】圓(%—1)2+(y—1)2=1的圓心為(1,1),半徑為4=1

圓/+/=4的圓心為(0,0),半徑為4=2

兩圓心間的距離為J(l—0『+(1-0)2=0

由心一弓=1<0<3=弓+馬，所以兩圓相交.

故選：D

5、B

【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到a、b的關(guān)系即可求解.

【詳解】以。為原點(diǎn)，AO所在直線為x軸建系，不妨設(shè)AB=BO=OC=CD=1,

則該雙曲線過點(diǎn)(、歷，應(yīng))且a=l,

__22

將點(diǎn)("五)代入方程*-不=1=>。2=2n(?=3,

ab

故離心率為e=9=若，

a

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查已知點(diǎn)在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目

6、C

【解析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.

V2L

【詳解】由橢圓方+產(chǎn)=1知，該橢圓的長半軸4=也，

A是橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為而點(diǎn)R在邊上，點(diǎn)3,C又在橢圓上，

由橢圓定義得|剛+忸同=2a,|CF|+|C4|=2a,

所以一ABC的周長/=|AB|+忸。|+|。1|=|45|+忸耳+|。川+|。1|=40=4百

故選：C

7、B

【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閏>d,所以—d>—c,所以a—d>b—c,所以B正確；

〃=-11=一2,。=2,1=1時(shí)，a+d=b+c不滿足選項(xiàng)A；

ah

。=03=—2,c=—l,d=-2時(shí)，ad<bc,且一<一,所以不滿足選項(xiàng)CD；

dc

故選：B

8、C

【解析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的波動情況，可直接判斷方差不同；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、平均

數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】由莖葉圖可得：甲的數(shù)據(jù)更集中，乙的數(shù)據(jù)較分散，所以甲與乙的方差不同；

甲的極差為37—5=32；乙的極差為39-1=38,所以甲與乙的極差不同；

甲的中位數(shù)為3±21=18.5,乙的中位數(shù)為上土身=16,所以中位數(shù)不同；

22

E田丁3皿位—5+16+12+25+21+3758

甲的平均數(shù)為而二-----------------------=—，

63

rLAFrj皿、，-1+6+14+18+38+3958?,?

乙的平均數(shù)為％2=---------------------------=一，所以甲、乙的平均數(shù)相同；

63

故選：C.

9,A

【解析】設(shè)點(diǎn)。(九》),利用距離公式化簡可得出點(diǎn)P的軌跡方程，即可得出動點(diǎn)p的軌跡圖形.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由題意可得7(x-l)2+(y-l)2=V2.歸土］,

A/2

化簡可得孫=；，即y=」(xwO),曲線y='(xwO)為反比例函數(shù)圖象，

2212%

故動點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線.

故選：A.

10、A

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得z=13+g4i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

/、??|3+4i|5（3+4i）34

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足（3—4i）z=|3+4i|,可得2=上膏=（3_；）（3；電）=二+7'

34

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為［,］），位于第一象限.

故選：A.

11、A

【解析】設(shè)平面A,B八C的法向量是〃=（x,y,z）,由n-BA:,=y」—z=Q可求得法向量.

n，—x+z—0

【詳解】在單位正方體ABCD—a4GA中，

以。為原點(diǎn)，DA'DC，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，

4（1,0,I）,3（1,1,O）,G（。，1.1），

網(wǎng)=（0,1,-1）,BG=（-1,0,1）,

設(shè)平面ABG的法向量是〃=（X,y,z）,

=y-z=0

則n-BA耳.，取尤=1,得"=（1,1,1）,

n-BCx=-x+z=0

平面的法向量是a,i,1）,

故選：A.

12、B

【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可

【詳解】因?yàn)槎。?6(公廣［—=G(—3)'”2,

所以02—2］展開式的第3項(xiàng)為4=C；(-3)2X14-3x2=189x8，

故選：B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、75

【解析】由拋物線的定義得：|PN|=|尸耳，所以|PN|+PM=|即+|PM|,當(dāng)p、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|+|oM最

小可得答案.

【詳解】如圖所示：F(-LO),

由拋物線的定義得：|PN|=|PE|,所以|PN|+|PM|=|W|+|PM|,

由圖象知：當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PN|+「M最小，

(\PN\+\PM\)mn=\FM\=^i^=45.

故答案為：下.

14、3

【解析】解出不等式爐上6>0,由“好.?6>0”是“X>G”的必要不充分條件，求出a的最小值.

【詳解】由爐-“6>0,解得x<-2或x>3.

因?yàn)樯?.6>0”是的必要不充分條件，

所以｛X|X>Q｝是｛x|xv-2或公>3｝的真子集，即a>39

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.

15、[1,2]

【解析】先求出命題P,g為真命題時(shí)的。的取值范圍，根據(jù)。人q為真可知P應(yīng)都是真命題，即可求得答案.

【詳解】命題P：玉°C[1,2],為真時(shí)，有々21,

命題g：X/xeR,/+2公+4?0為真時(shí)，則有A=4a2-1640，

即-2WaW2，

故。人4為真命題時(shí)，且—2WaW2,即lWaW2,

故。的取值范圍為[1,2],

故答案為：[1,2]

16、3

【解析】根據(jù)平行可得斜率相等列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€4：(a—3)x+(4—a)y+l=O與4：2(a—3)x—2y+2=0平行，

所以-2(a-3)-2(4-a)(a-3)=0,解得。=3或q=5,

又因?yàn)閍=5時(shí)，乙：2x—y+1=0,Z2:4x—2y+2=0,

所以直線4,4重合故舍去，

而a=3,/i：y+l=0,/2：—2y+2=0,所以兩直線平行.

所以4=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情

況.同時(shí)還要注意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件

⑵在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

⑵邁

3

(3)亞

3

【解析】（I）以。為原點(diǎn)，DA.DC、所在的直線為X、外y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面03石

的一個(gè)法向量”可得4。=-2"，即AC，平面由汨，再由線面垂直的性質(zhì)可得答案；

/\\n-DD\

（2）設(shè)直線。2與平面瓦汨所成角的為。，Sin6=cos/^DDJ=%~^可得答案;

'/卜岡匹|

（3）由二面角的向量求法可得答案.

【小問1詳解】

以。為原點(diǎn)，DA.DC、所在的直線為工、乃丁軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則5(220),E(0,2,l),￡>(0,0,0),A(2,0,4),C(0,2,0),

所以DE=(0,2,1),BE=(-2,0,1),4c=(—2,2,T),

設(shè)平面DBE的一個(gè)法向量為w=(x,y,z),

DE〃=0f2y+z=0

所以，即:八，令z=2,貝!==

BE?〃=01-2x+z=0

所以“=(1,—1,2),所以4。=(一2,2,—4)=-2(1,-1,2)=-2n,

所以AC1■平面由汨，DEu平面BDE,所以4CLDE.

【小問2詳解】

。（0,0,4）,所以?！?（0,0,4）,

由（1）平面￡出石的一個(gè)法向量為“=（1,T,2）,

設(shè)直線DDX與平面BDE所成角的為0,

_卜,叫__8__76

所以直線DD］與平面3。石所成角的正弦值sin6=|cos（n,DD}

|n|x|z)￡)i|4瓜3

【小問3詳解】

由已知為平面曲的一個(gè)法向量，且=（0,0,4）,

由（1）平面石的一個(gè)法向量為"=。,一1,2）,

所以cos。。］,")=—==逅,

'/4,63

由圖可得平面應(yīng)出與平面ABD夾角的余弦值為—.

3

⑵-

5

【解析】（1）根據(jù)兩條平行直線的距離公式列方程，化簡求得。的值.

（2）利用弦長公式求得

【小問1詳解】

因?yàn)閮蓷l平行直線4：3x—4y+6=0與，2：3x—4y+c=0間的距離為3,

|6-c|

所以△=3

解得c=21或c=一9.

【小問2詳解】

圓Cd+丁_4x_4y+7=0=(x-2)2+(y-2)2=1,

圓心為（2,2）,半徑為1.

圓心（2,2）到直線4的距離為△

5,

6

所以弦長|AB|=2x

-5

19、（1）平均數(shù)和中位數(shù)都為260件；（2）在［100,200）的件數(shù)為5,在［200,300）的件數(shù)為25.

【解析】（1）由每組頻率乘以組中值相加即可得平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為％,由落在區(qū)間（0,%）內(nèi)的頻率為0.5可得結(jié)果;

（2）先得頻率分別為0.1,0.5,由分層抽樣的概念即可得結(jié)果.

【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為

0.1x50+0.1x150+0.5x250+0.2x350+0.1x450=260；

設(shè)中位數(shù)為X,易知xe(200,300),貝!］0.001xl00x2+0.005x(x—200)=0.5,

解得尤=260.

所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.

(2)件數(shù)在［100,200),［200,300)的頻率分別為0.1,0.5

頻率之比為1：5,所抽取的30件中，在［100,200)的件數(shù)為30=5,

6

在［200,300)的件數(shù)為30x1=25.

6

20、(1)證明見解析

⑵迪

3

【解析】(1)先證明COLBE,進(jìn)而證明跖1平面AOC,即可證明平面AOC,從而證明平

面ACDL平面AOC.

(2)以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OE,0A所在直線為左軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

用向量法求解即可

【小問1詳解】

因?yàn)榘?5石為等腰直角三角形，點(diǎn)。為棱的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)锳B=2,ZBAE=9Q°,所以BO=亞,

又因?yàn)樵谝籅OC中30=0，BC=2,NCBO=45°,

所以CO=7BO2+BC--2BO-BC-cosZCBO=拒，

所以8。2+。。2=8。2,所以。。，班，

又因?yàn)锳OCO=O,所以班1平面AOC,

又因?yàn)?CDE為平行四邊形，所以BE//CD,

所以CD，平面49。，

又因?yàn)镃Du平面AC。，

所以平面ACD±平面AOC.

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫嫫矫?CDE,平面ABE平面BCDE=BE,AO±BE,

所以49,平面BCDE,又因?yàn)锽E上OC,

以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OE,0A所在直線為天軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(O,O,0),D(V2,2A/2,0),E(0,V2,0),F與，—與,0,

\7

所以，AD=^y/2,2A/2,-A/2j,AE=Z，3.，-0),AF=[^^-,-^-,-41

/、1ULIU

設(shè)平面AZ)石的一個(gè)法向量為〃=(%,y,z),則由幾.A￡)=0，〃.AE=0，

_.yjlx+2>j2y-y/2z=0,

可得1/—/—

d2y—A/2Z=0.

令z=l,得〃=(-1,1,1),

設(shè)直線AF與平面ADE所成角為a,

A/2A/2rr

----------------------------7Zr—

?/A7-\222A/2，

sina=cos(n,AF)=-------產(chǎn)―尸------=-----

'/3

所以直線AF與平面ADE所成角的正弦值為逑.

3

21、（1）y2=x；

（2）V2!

4

【解析】（1）運(yùn)用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)出直線8。的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)河和N的縱坐標(biāo)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間距離公

式進(jìn)行求解即可；

（3）利用弦長公式求得|MN『，由兩點(diǎn)間距離公式求得I和IAN|,再解方程即可.

【小問1詳解】

拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-2,

2

因?yàn)辄c(diǎn)4（%,%）到拋物線焦點(diǎn)的距離為5+；,

所以有玉）_（—g）=Xo+1=>p=Q=>y-=x；

小問2詳解】

由題意知，%）,設(shè)%〉0,則3（-需，-%）,。（城，0）,

所以直線的方程為y=/一（X-常），

2%

消去x得，^-y2-y-A=0,解得y=（l±3）y0,

聯(lián)立2%

U2=%

設(shè)M（y；,%）,N（yf,為），

不妨?。?（1+夜）％,%=（1_夜）為，

直線AM的斜率為字2=^^,其方程為V-%=^^（%-弊）,

%—%%+y0J