第二單元方程（組）與不等式（組）第6講一元二次方程及其應(yīng)用課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.理解一元二次方程的定義及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化為一般形式；2.掌握一元二次方程的四種解法，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?.理解一元二次方程根的判別式，會(huì)用根的判別式判斷方程解的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；4.會(huì)用一元二次方程解如增長(zhǎng)率問題、銷售利潤(rùn)問題、距離問題、面積問題等實(shí)際生活中常見的問題.備考指南備考指南考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)考點(diǎn)1一元二次方程的相關(guān)概念☆本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了．考點(diǎn)2一元二次方程的解法☆☆考點(diǎn)3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系☆考點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用☆☆知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)清單知識(shí)清單1．一元二次方程的定義：兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程．我們把a(bǔ)x2＋bx＋c＝0(a，b，c為已知數(shù)，a≠0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有開平方法，配方法，公式法，因式分解法四種.(1)開平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用開平方法．(2)配方法：一般步驟：①化二次項(xiàng)系數(shù)為1；②移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；③配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④化為(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用開平方法求出方程的解．(3)公式法：求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(其中eq\r(b2－4ac)≥0)．(4)因式分解法：一般步驟：①將方程右邊化為零；②將方程化為A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A(yù)＝0，B＝0，即可解方程．3．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式：Δ=b2－4ac①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)方程的兩個(gè)根為，則，4．一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：常見的等量問題：(1)平均增長(zhǎng)率(下降率)問題：如果基數(shù)用a表示，末數(shù)用b表示，增長(zhǎng)率(下降率)用x表示，時(shí)間間隔用n表示，那么可用等量關(guān)系表示為a(1±x)n＝b．(2)利潤(rùn)問題：利潤(rùn)＝售價(jià)－成本，利潤(rùn)率＝eq\f(利潤(rùn),成本)×100%，銷售價(jià)＝(1＋利潤(rùn)率)×進(jìn)貨價(jià)．(3)利息問題：利息＝本金×利率×?xí)r間，本息和＝本金＋利息．(4)面積問題：如圖，對(duì)于矩形中有條形通道的求面積問題，通常把圖①中的通道平移轉(zhuǎn)化為如圖②的形狀，再求面積．設(shè)通道的寬為x，則S空白＝(a－x)(b－x)．深度講練深度講練■考點(diǎn)一一元二次方程的有關(guān)概念?

典例1：（2023?蘭溪市模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2023﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】D【思路點(diǎn)撥】由題意知，a+b+1＝0，則a+b＝﹣1，根據(jù)2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），計(jì)算求解即可．【解析】解：由題意知，a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2024．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，掌握解一元二次方程的方法是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．【答案】B【思路點(diǎn)撥】利用一元二次方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解析】解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2個(gè)未知數(shù)，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、方程整理為x2﹣2x＝0，它為一元二次方程，所以B選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)a＝0時(shí)，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C選項(xiàng)不符合題意；D、方程含有分式，它不是一元二次方程，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2021?永嘉縣模擬）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式為（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式．【答案】B【思路點(diǎn)撥】方程整理為一般形式即可．【解析】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)且a≠0）．3．（2023?長(zhǎng)興縣二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一個(gè)根，則a﹣b的值是2．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】2．【思路點(diǎn)撥】利用一元二次方程根的定義把x＝﹣1代入方程可得到a﹣b的值．【解析】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0得a﹣b﹣2＝0，所以a﹣b＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．■考點(diǎn)二一元二次方程的解法?

典例2：（2021?東陽(yáng)市模擬）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．【思路點(diǎn)撥】先移項(xiàng)得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【變式訓(xùn)練】1．（2022?永康市模擬）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個(gè)解，則﹣4a2+6a的值為（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】B【思路點(diǎn)撥】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根據(jù)﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．【解析】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，則2a2﹣3a＝5，則﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，方程的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．2．（2023?臨安區(qū)一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】B【思路點(diǎn)撥】先移項(xiàng)得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可．【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2021?濱江區(qū)二模）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小濱的解答如下：解：原方程可化簡(jiǎn)為x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），方程兩邊同時(shí)除以x﹣5，得x＝﹣1，小濱的解答是否正確，如不正確，寫出正確的解答過程．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】方程解答不正確，過程見解答．【思路點(diǎn)撥】方程解答不正確，兩邊除以（x﹣5）時(shí)，沒有考慮為0的情況，寫出正確過程即可．【解析】解：方程解答不正確，正確解答為：方程化簡(jiǎn)得：x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），移項(xiàng)得：x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，可得x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．4．（2021?湖州模擬）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣公式法．【答案】x1＝5，x2＝﹣2．【思路點(diǎn)撥】方程移項(xiàng)后，利用因式分解法求出解即可．【解析】解：方程移項(xiàng)得：x2﹣4﹣3（x+2）＝0，分解因式得：（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0，即（x+2）（x﹣2﹣3）＝0，所以x+2＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣2．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．■考點(diǎn)三一元二次方程根的判別式?

典例3：（2023?龍灣區(qū)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+x＝k有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，k的取值范圍是（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】B【思路點(diǎn)撥】利用判別式的意義得到Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．【解析】解：根據(jù)題意得Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，解得k＞﹣．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【變式訓(xùn)練】1．（2022?龍泉市一模）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)各選項(xiàng)中各方程的系數(shù)，利用根的判別式Δ＝b2﹣4ac可求出各方程的根的判別式Δ的值，取Δ＝0的選項(xiàng)即可得出結(jié)論．【解析】解：A．x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程x2+1＝2x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)A符合題意；B．x2+1＝0，∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴方程x2+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)B不符合題意；C．x2﹣2x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，∴方程x2﹣2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)C不符合題意；D．x2﹣2x＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴方程x2﹣2x＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“①當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．”是解題的關(guān)鍵．2．（2023?甌海區(qū)四模）已知關(guān)于x的方程x2﹣10x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m＝（）A．10 B．25 C．﹣25 D．±25【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣10）2﹣4×1×m＝0，然后解一次方程即可．【解析】解：由題意得，Δ＝（﹣10）2﹣4×1×m＝0解得m＝25．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．3.（2021?長(zhǎng)興縣模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．（1）若方程的一個(gè)根為1，求m的值；（2）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】（1）1；（2）見解析．【思路點(diǎn)撥】（1）將x＝1代入已知方程，列出關(guān)于m的新方程，通過解方程求得m的值；（2）由根的判別式符號(hào)進(jìn)行證明．【解析】（1）解：∵方程的一個(gè)根為1，∴1+m+m﹣3＝0，∴m＝1；（2）證明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．■考點(diǎn)四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?

典例4：（2023?海曙區(qū)模擬）已知a為正實(shí)數(shù)，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個(gè)根，則＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【答案】C【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，∴＝＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1＝a2﹣a2﹣2a+1＝﹣2a+1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023?諸暨市模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一個(gè)解為x＝1，則該方程的另一個(gè)解為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【答案】D【思路點(diǎn)撥】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系將x＝1代入求出答案即可．【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一個(gè)根是1，設(shè)另一根為m，由根與系數(shù)的關(guān)系得：1×m＝﹣2，∴另一根為﹣2，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2022?寧波模擬）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，則x1+x2﹣x1x2＝2．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【答案】2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，將其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出結(jié)論．【解析】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2＝3、x1x2＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：，．■考點(diǎn)五一元二次方程的應(yīng)用?

典例5：（2021?寧波模擬）某商場(chǎng)品牌經(jīng)過5，6月份連續(xù)兩次降價(jià)每部售價(jià)由5000元降到3600元．且第一次降價(jià)的百分率是第二次的2倍，設(shè)第二次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000 C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】A【思路點(diǎn)撥】設(shè)第二次降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)的百分率為2x，根據(jù)某件商品原價(jià)5000元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，售價(jià)為3600元，可列方程．【解析】解：設(shè)第二次降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)的百分率為2x，根據(jù)題意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查從實(shí)際問題抽象出一元二次方程，求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．2．（2021?寧波模擬）美麗的鮮花為人們傳遞著各種各樣的情感：桔梗象征著永恒；水仙象征著尊敬；康乃馨象征著母親的愛；風(fēng)鈴草象征著知恩圖報(bào)…3月里，花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，且風(fēng)鈴草的單價(jià)是桔梗單價(jià)的．（1）若3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，則桔梗的單價(jià)至少為多少元？（2）根據(jù)往年的經(jīng)驗(yàn)，4月份的桔梗更美，它的進(jìn)價(jià)也會(huì)有所提升，因此商家決定將桔梗的單價(jià)在（1）中的最少單價(jià)的基礎(chǔ)上提高m%，預(yù)計(jì)桔梗的銷量將比3月份提高4m%，則4月份桔梗的銷售額將比（1）中總銷售額最低時(shí)風(fēng)鈴草的銷售額多192元，求m的值．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【答案】（1）3元；（2）20．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以得到桔梗的單價(jià)至少為多少元；（2）根據(jù)題意，可以得到關(guān)于m的方程，從而可以求得m的值．【解析】解：（1）設(shè)桔梗的單價(jià)為x元，則風(fēng)鈴草的單價(jià)是x元，∵花店里的桔梗、風(fēng)鈴草兩種鮮花共銷售了1000朵，其中風(fēng)鈴草和桔梗的銷量之比為3：2，∴風(fēng)鈴草的銷量為1000×＝600（朵），桔梗的銷量為1000﹣600＝400（朵），∵3月份兩種鮮花的總銷售額不低于3600元，∴400x+600×x≥3600，解得x≥3，即桔梗的單價(jià)至少為3元；（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），即m的值是20．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的不等式和一元二次方程，利用不等式的性質(zhì)和方程的知識(shí)解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022?衢江區(qū)二模）某超市將進(jìn)價(jià)為40元件的商品按50元/件出售時(shí)，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價(jià)每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價(jià)多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價(jià)x元，則依據(jù)題意可列方程為（）A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000 C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】C【思路點(diǎn)撥】設(shè)這種商品每件漲價(jià)x元，則銷售量為（500﹣10x）件，根據(jù)“總利潤(rùn)＝每件商品的利潤(rùn)×銷售量”列出一元二次方程．【解析】解：設(shè)這種商品每件漲價(jià)x元，則銷售量為（500﹣10x）件，根據(jù)題意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系．2.（2023?衢州）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（）A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】C【思路點(diǎn)撥】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝36．【解析】解：由題意得：1+x+x（1+x）＝36，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023?拱墅區(qū)三模）某網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)2021年的新注冊(cè)用戶數(shù)為100萬(wàn)，2023年的新注冊(cè)用戶數(shù)為64萬(wàn)，設(shè)新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均下降率為x（x＞0），則x＝20%（用百分?jǐn)?shù)表示）．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；百分?jǐn)?shù)的互化．【答案】20%．【思路點(diǎn)撥】利用2023年的新注冊(cè)用戶數(shù)＝2021年的新注冊(cè)用戶數(shù)×（1+新注冊(cè)用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率）2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解析】解：根據(jù)題意得：100（1﹣x）2＝64，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.8（不符合題意，舍去），∴x的值為20%．故答案為：20%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及百分?jǐn)?shù)的互化，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長(zhǎng)、寬增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m2，求新的矩形綠地的長(zhǎng)與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．【答案】（1）新的矩形綠地的長(zhǎng)為40m，寬為20m；（2）新的矩形綠地面積為1500m2．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加xm，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值分別代入（35+x）及（15+x）中，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面積計(jì)算公式，即可求出新的矩形綠地面積．【解析】解：（1）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加xm，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長(zhǎng)為40m，寬為20m．（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．真題演練真題演練1．（2022?婺城區(qū)模擬）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一個(gè)解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用一元二次方程解的定義得到a+b＝﹣1，然后把2022﹣a﹣b變形為2022﹣（a+b），再利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，所以a+b＝﹣1，所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2．（2021?麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．【答案】D【思路點(diǎn)撥】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【解析】解：方程x2+4x+1＝0，整理得：x2+4x＝﹣1，配方得：（x+2）2＝3．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023?浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】A【思路點(diǎn)撥】利用因式分解法解答，即可求解．【解析】解：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2022?溫州）若關(guān)于x的方程x2+6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】C【思路點(diǎn)撥】方程x2+6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可計(jì)算出c的值．【解析】解：∵方程x2+6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)Δ＝0．5．（2021?臺(tái)州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【考點(diǎn)】根的判別式．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解析】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．6．（2023?黃巖區(qū)一模）神舟十五號(hào)載人飛船搭載3名宇航員于2022年11月29日進(jìn)入太空，在中國(guó)空間站進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，計(jì)劃今年6月返回．太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水，即將宇航員的汗液、尿液和太空水收集起來(lái)，經(jīng)過特殊的凈水器處理成可用水循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中的雜質(zhì)x%，經(jīng)過2次過濾可使水中的雜質(zhì)減少到原來(lái)的64%，根據(jù)題意可列方程為（）A．1﹣2x＝64% B．（1﹣x）2＝64% C．2（1﹣x%）＝64% D．（1﹣x%）2＝64%【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意列一元二次方程得到答案．【解析】解：根據(jù)題意列方程得（1﹣x%）2＝64%，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查列一元二次方程，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2022?婺城區(qū)模擬）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個(gè)問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問闊及長(zhǎng)各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問寬和長(zhǎng)各幾步．設(shè)長(zhǎng)為x步，則可列方程為（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程；數(shù)學(xué)常識(shí)．【答案】A【思路點(diǎn)撥】由長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：∵長(zhǎng)為x步，寬比長(zhǎng)少12步，∴寬為（x﹣12）步．依題意，得：x（x﹣12）＝864．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022?浦江縣模擬）如圖，要設(shè)計(jì)一幅寬10cm，長(zhǎng)15cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3：2．如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，設(shè)橫彩條的寬度是3xcm，則可列方程為（）A．4x×10+6x×15＝×10×15 B．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15 C．4x×10+6x×15＝×10×15﹣2x×3x×4 D．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】B【思路點(diǎn)撥】由橫、豎彩條的寬度比為3：2可得出豎彩條的寬為2xcm，根據(jù)彩條所占的面積是圖案面積的四分之一，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解析】解：∵橫、豎彩條的寬度比為3：2，橫彩條的寬為3xcm，∴豎彩條的寬為2xcm．依題意得：（15﹣2×2x）（10﹣2×3x）＝（1﹣）×15×10，即（15﹣4x）（10﹣6x）＝×15×10．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023?武義縣一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的兩根分別為x1，x2，則代數(shù)式x1+x2＝2．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【答案】2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求則可．若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，．【解析】解：∵2x2﹣4x+1＝0，這里a＝2，b＝﹣4，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)比值的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．10．（2022?金華模擬）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一個(gè)根為x＝1，寫出滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【思路點(diǎn)撥】把x＝1代入方程得到a與b的關(guān)系式，確定出一對(duì)a與b的值即可．【解析】解：把x＝1代入方程得：a+b﹣2019＝0，當(dāng)a＝2019時(shí)，b＝0，則滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值為a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．故答案為：a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．11．（2021?嘉善縣一模）新能源汽車節(jié)能環(huán)保，越來(lái)越受到消費(fèi)者的喜愛，各種品牌相繼投放市場(chǎng)．某地2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬(wàn)輛，銷售量逐年增加，到2020年為125.6萬(wàn)輛．若年增長(zhǎng)率x不變，則x的值是多少？根據(jù)題意可列方程為50.7（1+x）2＝125.6．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．【答案】50.7（1+x）2＝125.6．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)2018年新能源汽車的銷售量為50.7萬(wàn)輛，到2020年為125.6萬(wàn)輛，若年增長(zhǎng)率x不變，可得關(guān)于x的一元二次方程．【解析】解：依題意，得：50.7（1+x）2＝125.6．故答案為：50.7（1+x）2＝125.6．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2022?衢州）將一個(gè)容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示．利用容積列出圖中x（cm）滿足的一元二次方程：15x（10﹣x）＝360（不必化簡(jiǎn)）．【考點(diǎn)】一元二次方程的解；幾何體的展開圖；一元二次方程的定義．【答案】15x（10﹣x）＝360．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意表示出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬，進(jìn)而表示出長(zhǎng)方體的體積即可．【解析】解：由題意可得：長(zhǎng)方體的高為：15cm，寬為：（20﹣2x）÷2（cm），則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x（10﹣x）＝360．故答案為：15x（10﹣x）＝360．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有實(shí)際問題抽象出一元二次方程，正確表示出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．13．（2022?仙居縣二模）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），此方程的解為x1＝2，x2＝3．則關(guān)于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解為x1＝﹣，x2＝﹣1．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．【答案】x1＝﹣，x2＝﹣1．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，從而求得﹣3x，然后求得x的值即可．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，∴方程9ax2﹣3bx+c＝0中﹣3x＝2或﹣3x＝3，解得：x1＝﹣，x2＝﹣1．故答案為：x1＝﹣，x2＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求得3x的值．14．（2021?南潯區(qū)模擬）設(shè)x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則4x12+4x1﹣2x2的值為11．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【答案】11．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到2x12＝﹣3x1+4，則4x12+4x1﹣2x2化為﹣2（x1+x2）+8，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，∴2x12+3x1﹣4＝0，∴2x12＝﹣3x1+4，∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣，∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．故答案為11．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．15．（2021?婺城區(qū)模擬）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝﹣，x2＝2．【思路點(diǎn)撥】先移項(xiàng)得到（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1﹣1＝0，所以x1＝﹣，x2＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．16．（2023?杭州）設(shè)一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程﹣公式法．【答案】見試題解答內(nèi)容【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中選取，然后求解方程即可．【解析】解：∵使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，選②解方程，則這個(gè)方程為：x2+3x+1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；選③解方程，則這個(gè)方程為：x2+3x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式小于0，方程無(wú)解．17．（2023?舟山一模）在學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系一課時(shí)老師出示了這樣一個(gè)題目：已知關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同學(xué)的解答過程如右框：波波的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【答案】波波的解法不正確．正確的解法見解答．【思路點(diǎn)撥】波波的解法沒有考慮根的判別式的意義，所以他的解法不正確．先利用根的判別式的意義得到m≤，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，最后利用k的取值范圍確定m的值．【解析】解：波波的解法不正確．正確解法為：根據(jù)題意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝3，∴x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+（2m﹣1）+1＝3，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，∵m≤，∴m的值為﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，，．也考查了根的判別式．18．（2023?拱墅區(qū)三模）如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)C表示的數(shù)分別為1和3，宸宸同