第07講三元一次方程組的解法及應(yīng)用（核心考點講與練）

聚焦考點

一.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,

并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同

一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個二元一次方程組，求出

這兩個未知數(shù)的值.③再把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，

得到一個關(guān)于第三個未知數(shù)的一元一次方程.④解這個一元一次方程，求出第三個未知數(shù)的

值.⑤最后將求得的三個未知數(shù)的值用合寫在一起即可.

二.三元一次方程組的應(yīng)用

在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設(shè)三個未知數(shù)，但同時應(yīng)注意，設(shè)幾個未知數(shù)，就要

找到幾個等量關(guān)系列幾個方程.

（I）把求等式中常數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

奠定基礎(chǔ).

（2）通過設(shè)二元與三元的對比，體驗三元一次方程組在解決多個未知數(shù)問題中的優(yōu)越性

名師點睛

解三元一次方程組（共2小題）

1.（2021春?西湖區(qū)校級期中）實數(shù)X,y,z滿足2x+y-3z=5,x+2y+z=-4,請用X的代數(shù)式表

示Z,即z=-x~^-.

----7―

【分析】根據(jù)已知方程消去y,表示出Z即可.

【解答】解：2r+y-3z=5①，x+2y+z=-4②，

①X2-②得：3x-7z=14,

整理得：Z=3X?L4

7

故答案為：z=3x74

7

【點評】此題考查了解三元一次方程組，以及列代數(shù)式，根據(jù)題中等式消去y是本題的突破

點.

3χ-y+z=4

2.（2008春?杭州期末）解三元一次方程組：《2x+3y-z=12?

x+y+z=6

【分析】因為三個方程中Z的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，應(yīng)用加減法來解.

【解答】解：①+②得5x+2y=16④，

③+②得3x+4y=18⑤，

得方程組（5x+2y=16,

13x+4y=18

代入③得，2+3+z=6,

?*?z=1.

'x=2

.?.方程組的解為彳y=3?

z=l

【點評】解三元一次方程組要注意以下幾點：

方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程，像這樣的方程

組，叫三元一次方程組.通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化

為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“己知”和把復雜問題轉(zhuǎn)

化為簡單問題的思想方法.解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元.解題之前先觀察方程組中的方

程的系數(shù)特點，認準易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組.

二.三元一次方程組的應(yīng)用（共6小題）

3.（2021?鹿城區(qū)校級二模）已知[x=l,1x=2都是關(guān)于X,y的方程y=-3x+c的一個解，則下

Iy=a?y=b

列對于α,6的關(guān)系判斷正確的是（）

A.a-b=3B.a-b=-3.C.a+b=3D.a+b=-3

【分析】將兩對解代入方程得到fa=-3+cQ,①-②即可求得α-b=3.

lb=-6+c②

【解答】解：將（X=I,I'代入方程產(chǎn)一3x+c,得（a=T+cQ

Iy=a[y=b∣b=-6+c②

①^②得：a~b=3.

故選：A.

【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知

數(shù)的值.

4.（2021春?慈溪市期末）學校設(shè)置了有關(guān)藝術(shù)類的甲、乙、丙三個拓展性課程項目，規(guī)定甲、

乙兩項不能兼報，學生選報后作了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)報甲項目的人數(shù)與報乙項目的人數(shù)之和為報丙

項目人數(shù)的冬；同時兼報甲、丙兩項目的人數(shù)占報甲項目的人數(shù)的工，同時兼報乙、丙兩項目

53

的人數(shù)占報乙項目的人數(shù)的工；兼報甲、丙兩項目的人數(shù)與兼報乙、丙兩項目的人數(shù)之和是

4

報丙項目人數(shù)的2.則報甲、乙兩個項目的人數(shù)之比為I：2.

9--------------

【分析】設(shè)報甲項目的有X人，報乙項目的有y人，報丙項目的有Z人，根據(jù)“報甲項目的人數(shù)

與報乙項目的人數(shù)之和為報丙項目人數(shù)的4；同時兼報甲、丙兩項目的人數(shù)占報甲項目的人

5

數(shù)的工，同時兼報乙、丙兩項目的人數(shù)占報乙項目的人數(shù)的工；兼報甲、丙兩項目的人數(shù)與兼

34

報乙、丙兩項目的人數(shù)之和是報丙項目人數(shù)的2”，即可得出關(guān)于X,y,Z的三元一次方程

9

組，由方程①可得Z=SX+2③，將③代入②化簡后可得出」T=工，，進而可得出X：)，=

441836

1：2.

【解答】解：設(shè)報甲項目的有X人，報乙項目的有y人，報丙項目的有Z人，

<4

x+y=-zφ

依題意得：］,

Il2小

yx÷τy-z(2)

由①得：z=5χ+5y③，

44

將③代入②得：工x+?ly=2x(∑Λ-+Σv),

--34944

化簡得：-Lx=Λ,y,

1836

??xιy=1：2?

故答案為：1：2.

【點評】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

5.(2021春?奉化區(qū)校級期末)為防控新冠疫情，做好個人防護，小君去藥店購買口罩.若買6

個平面口罩和4個KN95口罩，則她所帶的錢還剩下1()元；若買4個平面口罩和6個KN95口罩，

則她所帶的錢還缺8元.若只買10個KN95口罩，則她所帶的錢還缺44元.

【分析】設(shè)平面口罩的單價為X元，KN95口罩的單價為y元，小君帶的錢數(shù)為0元，根據(jù)“若買

6個平面口罩和4個KN95口罩，則她所帶的錢還剩下1()元；若買4個平面口罩和6個KN95口罩，

則她所帶的錢還缺8元”，即可得出關(guān)于X,y,。的三元一次方程組，利用(6X②-4X①)

?2可得出10y=a+44,移項后即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)平面口罩的單價為X元，KN95口罩的單價為y元，小君帶的錢數(shù)為α元，

依題意，得"6x+4y=a-10①，

I4x+6y=a+8②

（6X②-4X①）÷2,得：10y=α+44,

.*.IOy-?=44.

故答案為：44.

【點評】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

6.（2021春?東陽市期末）已知買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊

橡皮、3本日記本共需58元，則購買10支鉛筆、10塊橡皮與1（）本日記本共需（）元.

A.16B.60C.30D.66

【分析】設(shè)鉛筆單價為X元，橡皮的單價為y元，日記本的單價為Z元，由題意：買20支鉛筆、3

塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，列出方程組，求

出x+y+z=6,即可求解.

【解答】解：設(shè)鉛筆單價為X元，橡皮的單價為），元，日記本的單價為Z元，

由題意得：＜P°x+3y+2z=32①，

139x+5y+3z=58②

由①X2-②得：x+y+z=6,

：.10x+10y+10z=10×6=60,

即購買10支鉛筆、10塊橡皮與10本日記本共需60元，

故選：B.

【點評】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及“整體思想”等知識；熟練掌握“整體思

想”，找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵.

7.“三寧”公司擴建，某項工程招標時，工程領(lǐng)導小組接到了甲、乙、丙三個工程隊的投標

書，甲、乙工程隊合作施工兩天需付工程款6萬元，乙、丙工程隊合作施工三天需付工程款6.6

萬元，甲、丙工程隊合作施工4天需付工程款12.8萬元.工程領(lǐng)導小組根據(jù)甲、乙、丙三隊的

投標書測算，得到以下四種方案：

方案①：由甲工程隊單獨完成這項工程，剛好按規(guī)定日期完成；

方案②：由乙工程隊單獨完成這項工程，所需天數(shù)是規(guī)定日期的兩倍；

方案③：由丙工程隊單獨完成這項工程，要比規(guī)定日期多9天；

方案④：先由甲、乙、丙三工程隊合作做3天，再由乙、丙兩工程隊合作做3天，最后由丙工

程隊單獨做，也正好如期完成；

（1）每天付給甲、乙、丙工程隊的工程款分別為多少萬元？

（2）規(guī)定的日期是多少天？

（3）在不耽誤工期的前提下，你覺得哪種方案最省錢？請說明理由.

【分析】（1）設(shè)每天付給甲、乙、丙工程隊的工程款分別為X萬元、y萬元、Z萬元，根據(jù)

“甲、乙工程隊合作施工兩天需付工程款6萬元，乙、丙工程隊合作施工三天需付工程款6.6萬

元，甲、丙工程隊合作施工4天需付工程款12.8萬元”列出方程組，求解即可；

(2)設(shè)規(guī)定的日期是〃天，根據(jù)甲、乙、丙三工程隊合作做3天完成的工作量+乙、丙兩工程

隊合作做3天完成的工作量+由丙工程隊單獨做(α-6)天完成的工作量=1列出方程，求解即

可；

(3)根據(jù)己知算出各種方案的價錢之后，再根據(jù)題意進行選擇.

【解答】解：(1)設(shè)每天付給甲、乙、丙工程隊的工程款分別為X萬元、y萬元、Z萬元,

'2(x+y)=6(χ=2

根據(jù)題意，得3(y+z)=6.6，解得b=1.

4(x+z)=12.8z=l.2

答：每天付給甲、乙、丙工程隊的二程款分別為2萬元、1萬元、1.2萬元；

(2)設(shè)規(guī)定的Fl期是“天，根據(jù)題意，得

3(-l?+?A?+?^^)+3(?+-?-)+—―(α-6)=1,

a2aa+92aa+9a+9

解得α=18.

經(jīng)檢驗，α=18是原方程的解，也符合題意.

答：規(guī)定的日期是18天；

(3)Y方案②與方案③都耽誤工期，

施工方案是①與④.

方案①需要的工程款為：2X18=36(萬元),

方案④需要的工程款為：3(2+1+1.2)+3(1+1.2)+1.2×12=12.6+6.6+14.4=33.6(萬元)，

.?.在不耽誤工期的前提下，方案④最省錢.

【點評】此題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵.在既有工程任務(wù)，又有工程費用的情況下.先考慮完成工程任務(wù)，再考慮工程

費用.

8.媽媽給小敏IOO元錢買花裝飾圣誕樹.花店的花成束出售，規(guī)格與價格如下：

為了使買到的花最多，請你給小敏提建議：每種規(guī)格的花買幾束.

規(guī)格ABC

每束花朵數(shù)203550

價格(元/束)469

__________

【分析】設(shè)買A,B,C三種花分別為αΓTΓ7束，然后根據(jù)題意列出代數(shù)式4α+6b+9c=100,

再根據(jù)40,64100的奇偶性來判斷C的奇偶性：最后，對各種花束的花朵數(shù)進行比較并作出

判斷與選擇.

【解答】解：設(shè)買A,B,C三種花分別為4,%,c束，則4t∕+6?+9c=100?

因為44,6b,100都是偶數(shù)，所以C是偶數(shù)，

各種花束的花朵數(shù)進行比較：

(1)用12元錢可買4種花3束，共60朵；可買8種花2束，共70朵.因此買4

種花3束不妨改買8種花，可見買A種花不能多于2束，a≤2;

(2)用18元錢可買B種花3束，共105朵；可買C種花2束，共100朵.同理，c<2,但C是偶

數(shù)，所以c=0；

根據(jù)以上分析，得4α+60=l()(),化筒得2α+3b=5().

若。=1,則3=16；若α=2,則8不是整數(shù).這個方程符合條件的解只有1個.

答：買4種花1束、8種花16束，這時花朵最多，達580朵.

【點評】本題主要考查了關(guān)于一元二次方程的一道應(yīng)用題，在解答一元二次方程時，要根據(jù)

實際情況來確定方程的整數(shù)解.

h能力提升

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

選擇題(共4小題)

1.(2019春?西湖區(qū)校級月考)方程組［3x+5y=k+2的解x、丫的值互為相反數(shù)，貝味的值為

I2x+3y=k

()

A.0B.2C.4D.6

【分析】解關(guān)于x、y的方程組，X,y即可用煤示出來，再根據(jù)x、y的值互為相反數(shù)，即可得

到關(guān)于k的方程，從而求得A的值.

【解答】解：解方程組得：［x=2k-6

［y=4-k

根據(jù)題意得：(2?-6)+(4-&)=0

解得：k=2

故選：B.

【點評】正確解關(guān)于％y的不等式組是解決本題的關(guān)鍵.

2.(2019春?椒江區(qū)期末)如果方程組［x+y=4的解X、丫的值相同，則加的值是()

Iχ-(m-l)y=6

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】由題意將方程組<p+y=4中的兩個方程相減，求出y值，再代入求出y值，再根

Iχ-(m-l)y=6

據(jù)x=y求出機的值.

【解答】解：由己知方程組［x"=4的兩個方程相減得,

Iχ-(m^l)y=6

99

y=z--=-,x=4÷-=-,

mm

???方程組［x4y=4的解X、y的值相同，

Iχ-(m-l)y=6

.?.-2=4+2,

mm

解得，加=-1.

故選：B.

解法2、?.?方程組卜^*v=4的解X、的值相同,

Iχ-(m-l)y=6

...聯(lián)立得，F(xiàn)+y=4,

IX=y

解得，卜=2,

∣y=2

將x=2,y=2RΛx-(∕n-I)y=6,

解得，〃?=-1,

故選:B.

【點評】此題主要考二元一次方程組的解法，一般先消元求出X,再代入其中一個方程求出y

值，比較簡單.

3.(2017秋?福田區(qū)校級期末)若4χ-3y-6z=0,x+2y-7z=0(XyZ≠0),貝IJ

222

5三_+2Pz_的值等于()

2χ2-3y2-10z2

?-4BTC.-15D.-13

【分析】先由(4x-3y-6z=0解得(x=3Z,再代入5χ2+2^-z2即可.

U+2y-7z=0IY=2Z.2x2-3y2-10z2

【解答】解：由(4x-3y-6z=0

Ix+2y-7z=0

解得卜=3z,

ly=2z.

代入5χ2+2y2-z245z2+8z2-Z273,

2x2-3y2-10z218Z2-12Z2-10Z2

故選：D.

【點評】本題的實質(zhì)是考查三元一次方程組的解法通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為

“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化

為“己知”和把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法.解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元.解

題之前先觀察方程組中的方程的系數(shù)特點，認準易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知

數(shù)的二元一次方程組.

4.（2019春?金華期中）三個二元一次方程3x-y=7,2x+3y=},y=fcv-9有公共解，貝麟的值是

（）

A.3B.C.-2D.4

3

【分析】利用方程3x-y=7和2x+3y=l組成方程組，求出入、yf再代入y=fcr-9求出左值.

【解答】解：（3χ-y=7Q,

l2x+3y=l②

把①式兩邊乘3,得9x-3y=21③，

②+①得IIX=22,得X=2,

把x=2代入①得6-y—1,

解得y=-1,

將［x^2代入y=fcv-9得2k-9=-1,

Iy=-I

解得24.

故選：D.

【點評】本題考查二元一次方程組和三元一次方程組的解法，有加減法和代入法兩種，一般

選用加減法解二元一次方程組較簡單.

二.填空題（共3小題）

5.（2020?晉江市模擬）已知方程組［x+y-5z=0,則心丫：Z=2：3：1.

［χ-y+z=O

【分析】先解方程組，用含Z的代數(shù)式表示小y,再求尤y：z.

【解答】解：（x+y-5z=p,

Iχ-y+z=O②

①+②，得2x-4Z=0,

???x=2z.

①-②，得2y-6z=0,

?,?y=3z.

.*.x:y：z=2z：3z：z=2：3：1.

故答案為：2：3：1.

【點評】本題考查了三元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵.

6.（2020春?奉化區(qū)期中）已知（x+7y+"z=9,則χ+y-z=7.

I2x+5y+4z=15

【分析】把Z看做已知數(shù)表示出方程組的解，代入原式計算即可求出值.

【解答】解：0+7y=9-nz%

12x+5y=15-4z②

①X2■②得：9v=3-18z,

解得：y=--2z,

3

把y=I"。Z代入①得:χ=3z+-？2.,

33

則x+y-z=3z+—+--Iz-z=l.

33

故答案為：7.

【點評】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與

加減消元法.

7.（2020秋?鹿城區(qū)校級月考）如圖，甲、乙、丙均為正方形，甲與乙的面積之和是丙面積的

3，甲內(nèi)陰影部分的面積占甲面積的工，乙內(nèi)陰影部分面積占乙面積的工，內(nèi)內(nèi)陰影部分的面

543

積占丙面積的工，則甲、乙兩個正方形面積的比為2：?.

6

【分析】設(shè)甲的面積為X,乙的面積為y,丙的面積為z,根據(jù)‘'甲與乙的面積之和是丙面積的

3,甲內(nèi)陰影部分的面積占甲面積的工，乙內(nèi)陰影部分面積占乙面積的工，丙內(nèi)陰影部分的面

543

積占丙面積的工”，即可得出關(guān)于X,y,z的三元一次方程組，解之可得出工=!y,進而可

6105

求出甲、乙兩個正方形面積的比.

【解答】解：設(shè)甲的面積為X,乙的面積為y,丙的面積為z,

fO

x÷y=-z（D

依題意得：｛1；1，

436J

由②可得：z=Zχ+2⑥，

2-

將③代入①中得：x+y=Aχ+ly,

105

??xzy=2：1.

故答案為：2：i.

【點評】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

Ξ.解答題(共1小題)

(O

c+a÷2bc=25

2

8.已知正實數(shù)0、b、C滿足方程組,a+b+2ac=29>求的值

O

lb+c+2ab=18

【分析】先把三個方程相加，得到[(α+b+c)+9][(α+b+c)-8]=0,再由α,b,C都是正實

數(shù)，從而得出答案.

【解答】解：三式相加,得：

(a+b+c)+(cΓ+bi+c1+2ab+2hc+2ca)=72,

(a+b+c)2+(α+?+c)-72=0,

：.[(α+fr+c)+9][(a+?+c)-8]=0,

?：a,b,C都是正實數(shù)，

a+b+c+9>0,

?*?α+b+c=8.

【點評】本題考查了三元一次方程組的解法.解題的關(guān)鍵是弄清題意和所給的條件，然后解

題就容易了.

題組B能力提升練

選擇題(共4小題)

1.(2018秋?雁塔區(qū)校級期末)若3x+5y+6z=5,4x+2y+z=2,則x+y+z的值等于()

A.0B.1C.2D.不能求出

【分析】兩方程的兩邊分別相加，即可得出7x+7尹7z=7,再兩邊除以7即可.

【解答】解：由題意得：儼+5y+6z=g

I4x+2y+z=2②

①+②得：7x+7y÷7z=7,

即x+γ+z=1,

故選：B.

【點評】本題考查了解三元一次方程組，能夠選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵.

2.(2018?蒼南縣校級自主招生)已知y=x3+αx2+∕>x+c,當x=5時，y=50;x=6時，y=60；X=

7時，y=70.則當x=4時，y的值為()

A.30B.34C.40D.44

【分析】將小y的值分別代入y=A∕+以+。轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃、b、C的方程，求出。、b、C的

值，再把工=4代入，求出y的值.

【解答】解：∫Ex=5,y=50；x=6,y=60:x=7,y=70代入y=Λ3+αx2+fov+c,

qO

5J+5a+5b+c=50

得，63+62a+6b+c=60*

32

17+7a+7b+c=70

,a=-18

解得＜b=117；

c=-210

代入y=χ3+αr2+?r+c得：

y=x3-I8.r+I17x-21O,

把x=4代入y=x3-18f+117*-210得：

y=43-18×42+∏7×4-210=64-288+468-210=34,

解法二：y-10x=x3+0r2+fer+c=0有三個根5,6,7,

?'.y=(X-5)(X-6)(X-7)+10x.

當x=4時，y=34.

故選：B.

【點評】本題通過建立關(guān)于a,b,C的三元一次方程組，求得a、b、C的值后而求解.

3.(2012?樂平市校級自主招生)一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi).發(fā)現(xiàn)漏洞時，船

內(nèi)已經(jīng)進入了一些水，如果以12個人淘水，3〃可以淘完，如果以5個人淘水，10〃才能淘

完.現(xiàn)在要想在2〃內(nèi)淘完，需要()人.

A.17B.18C.20D.21

【分析】設(shè)水流入的速度為y,原來有水z,一人的淘水速度為X,需要W，人，根據(jù)流入的水+原

來的水=人淘出的水，列出方程組求解.

【解答】解：設(shè)水流入的速度為y,原來有水z,一人的淘水速度為X,需要VV人，根據(jù)題意

得：

,3y+z=3×12x(1)

-10y+z=10×5x(2),

2y+z=2?wx(3)

(2)-(1)得：

y=2χf

代入(1)得：

z=3()x,

把z=30x,y=2x代入(3)得：

w=17（人）.

所以要想在2小時內(nèi)淘完，需要17人.

故選：A.

【點評】本題通過列出方程組求解，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系為：流入的水+原來的水=人淘出的

水.

4.（2011?浙江校級自主招生）已知整數(shù)X,y,z滿叫Wy<z,f∣x+V∣+∣Y+z∣+∣z+x∣

I∣χ-y∣+∣y-z1+∣z-χ|=2

那么/+V+/的值等于（）

A.2B.14C.2或14D.14或17

【分析】根據(jù)絕對值的定義和已知條件，得出僅+y∣,W-M式子的范圍，把己知訪化簡，從而

確定X,y,z的范圍即可求解.

【解答】解:YxWyVz,

∣x-y∣=y-X,Iy-ZI=Z-y,IZ-XI=Z-x,

因而第二個方程可以化簡為：

2z-2x=2,即Z=X+1,

Vx,y,z是整數(shù)，

根據(jù)條件I!叫S’，

I∣χ-y∣<2

則140x+yf4兩式相加得到：Ta.,

?-2≤χ-y≤2

兩式相減得到：-IWyWl,

同理：[∣y+zf4,得到_]WzWL

1∣y-z∣≤2

根據(jù)X,y,Z是整數(shù)討論可得：x=y=-l,Z=O,

ΛX2+√+Z2=（-2+（-I）2+0=2.

故選：A.

【點評】本題考查了絕對值的定義和三元一次方程組的解法，確定X,y,z的范圍是解題的關(guān)

鍵.

二.填空題（共6小題）

5.（2019春?如皋市期中）已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0,則-+Xt∑=J_

χ-y+z29

【分析】將小y寫成用Z表示的代數(shù)式進行計算.

【解答】解：由題意得：1+2y-3z=嗎.

I2x+3y+5z=0②

①X2-②得y=Ilz,

代入①得X=-19z,

原式=x÷y+z=-19z+llz+z=工

χ-y+z-19z^llz÷z29

故本題答案為：?.

29

【點評】此題需將三元一次方程組中的一個未知數(shù)當做已知數(shù)來處理，轉(zhuǎn)化為二元一次方程

組來解.

6.(2013?開福區(qū)校級自主招生)三個實數(shù)按從小到大排列為內(nèi)，X2,X3,把其中每兩個數(shù)作和

得到三個數(shù)分別是14,17,33,則Q=15.

?1+X2=14①

【分析】首先根據(jù)XI，X2,X3這三個實數(shù)的大小關(guān)系列出方程組，Xi+x3=17②，再

X2+X3=33③

解該方程組即可得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意得

?1+X2=14①

，X1+X3=17②

X2+X3=33③

三式相加得XI+X2+X3=32④

④-②得，X2=∣5.

故答案為15

【點評】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組，解方程

組并不難.

7.(2011?黃州區(qū)校級自主招生)有甲、乙、丙3種商品，某人若購甲3件、乙7件、丙1件共需24

元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需33元，則此人購甲、乙、丙各一件共需6元.

【分析】設(shè)甲、乙、丙3種商品的單價分別是X元、y元、Z元.

由題意列方程組得：-x+7y+z=24,然后求得jv+>z的值.

[4x+10y+z=33

【解答】解：設(shè)甲、乙、丙3種商品的單價分別是X元、y元、Z元.

由題意列方程組得儼+7y+z=24f

14x+10y+z=33②

由①X3-②X2得x+y?=6

故答案為6.

【點評】根據(jù)系數(shù)特點，通過加減，得到一個整體，然后整體求解.

8.(2007?寧波自主招生)設(shè)：a、b、C均為非零實數(shù)，并且αb=2(α+b),bc=3(?+c),ca

=4(c+α),則至=延.

b—5一

【分析】求出工+工、-i-÷A>工求出JL+Ji+2的值，求出Hc后代入求出即可.

abbeacabc

【解答】解：Vab=2(α+?),be=3(?+c),ca=4(c+a),

???一a+b“—_^1―,

ab2

.*.A+-1-=A,①

ba2

同理工+_1=_1②，

bc3

L工=工③

ca4

相加的：工+?1+?1=23,④

abc24

④-②得：a=—,

5

④-①：c=24,

④■③：b=->

7

普X24

?.?ac_―5_.—168,

b245

7

故答案為：嵯.

5

【點評】本題主要考查對解三元一次方程組的理解和掌握，能巧妙地運用適當?shù)姆椒ㄇ蟪鯤C

的值是解此題的關(guān)鍵.

9.(2006?溫州自主招生)己知abc是一個三位數(shù)，且bca+cab=567,則abc=432.

【分析】根據(jù)題意，左右對照，得到三元一次方程組，然后解答即可.

'b+c=5

【解答】解：根據(jù)題意得：(c+a=6,

a+b=7

'a=4

解得<b=3>

c=2

則忘=432.

故本題答案為：432.

【點評】本題通過建立三元一次方程組，利用加減消元法求解，

10.(2006?寧波校級自主招生)某人想買A、B、C三件物品，若買13件A物品、5件B物品、9件

C物品，則需9.25元；若買2件A物品、4件8物品、3件C物品，則需3.2元.試問若買A物品、B

物品、C物品各2件，則需2勿元.

【分析】設(shè)A物品、8物品、C物品的單價分別為x、y、Z元.列方程組得:

ri3x+5y+9z=9.25,然后求得2x+2y+2z的值.

12x+4y+3z=3.2

【解答】解：設(shè)4物品、8物品、C物品的單價分別為小y、Z元，

列方程組得：(13x+5y+9z=9.25①，

∣2x+4y+3z=3.2②

②X3得3(2x+4y+3Z)=9.6,

Λy-X=O.05③

將③代入②消熠2x+z=l④

得2x+2y+2z=2.1

故本題答案為：2.1.

【點評】根據(jù)系數(shù)特點，通過加減，得到一個整體，然后整體求解.

三.解答題(共8小題)

11.(2017春?東陽市期末)解方程組：

(1)∕x=3+2y

13χ-8y=13

x+y+z=12

(2)<x+2y-z=6.

3χ-y÷z=10

【分析】(1)根據(jù)解二元一次方程組的方法可以解答本題；

(2)根據(jù)解三元一次方程組的方法可以解答本題.

【解答】解：產(chǎn)*2y①

l3χ-8y=13②

將①代入②，得

3(3+2y)-8y=13,

解得，y=-2,

將)，=-2代入①，得

X=-1

，原方程組的解是：

，

①

x+y+z=12

勤

(2)<x+2y-z=6③

3χ-y+z=10

①+②，得

2x+3y=18④

③-①，得

2x-Zy=-2⑤

④-⑤，得

5）=20,

解得，y=4,

將y=4代入④，得

x—3,

將X=3,y=4代入①，得

z=5

'x=3

原方程組的解是，y=4?

z=5

【點評】本題考查解二元一次方程組和三元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程組的

方法，消元，最終化為解一元一次方程.

3χ-y+z=4

12.（2008春?杭州期末）解三元一次方程組：?2x+3y-z=12.

x+y+z=6

【分析】因為三個方程中Z的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，應(yīng)用加減法來解.

【解答】解：①+②得5x+2y=16④，

③+②得3x+4y=18⑤，

得方程組（5x+2y=16,

I3x+4y=18

解得［X=2.

Iy=3

代入③得，2+3+z=6,

.β.z=l.

x=2

方程組的解為（y=3?

z=l

【點評】解三元一次方程組要注意以下幾點：

方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程，像這樣的方程

組，叫三元一次方程組.通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化

為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復雜問題轉(zhuǎn)

化為簡單問題的思想方法.解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元.解題之前先觀察方程組中的方

程的系數(shù)特點，認準易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組.

13.工廠的質(zhì)量檢驗車間積壓了部分產(chǎn)品待檢，與此同時，流水線傳送帶按一定的速度送來待檢

產(chǎn)品.如果打開一部質(zhì)量檢驗機，需要半個小時方可將待檢產(chǎn)品全部通過質(zhì)量檢驗；同時打

開兩部質(zhì)量檢驗機，只需十分鐘便可將待檢產(chǎn)品全部通過質(zhì)量檢驗.現(xiàn)因生產(chǎn)需要在五分鐘

內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過質(zhì)量檢驗，問此時至少要同時打開幾部質(zhì)量檢驗機？

【分析】首先應(yīng)搞清檢測及在檢測的同時，傳送帶還繼續(xù)傳送物體，假設(shè)出檢測車間積壓了Z

件產(chǎn)品待檢，每分鐘送來待檢產(chǎn)品X件，在五分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過質(zhì)量檢驗，至少要同

時打開y部質(zhì)量檢驗機，這樣列出有關(guān)檢測機個數(shù)的方程，進而得出答案.

【解答】解：假設(shè)車間積壓了Z件產(chǎn)品待檢，每分鐘送來待檢產(chǎn)品承，在五分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)

品全部通過質(zhì)量檢驗，至少要同時打開y部質(zhì)量檢驗機，由題意得：

=1，①，Iilθ2L=2,②，包=/③；

30105

由①②解得：x=0.5,z=15,

代入③得：

y=3.5,

結(jié)合實際問題結(jié)果不能是小數(shù)，所以應(yīng)該為4臺質(zhì)量檢測機.

答：至少要同時打開4部質(zhì)量檢驗機.

【點評】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，搞清題目中的變量與恒量是解決問題的關(guān)

鍵.

14.如下，□、△、O分別代表一個數(shù)字，且滿足以下三個等式：

□+□+Δ+O=17

□+Δ+Δ+O=14

□+Δ+O+O=13,

則口、△、O分別代表什么數(shù)字？并說明理由.

【分析】先設(shè)口=x,Δ=>?,O=z,根據(jù)題意列出方程2x+y+z=17①，x+2y+z=14②，

x+y+2z=13③，然后用加減消元法和代入法解方程即可.

【解答】解：設(shè)口=x,?=γ,O=z,

'2x+y+z=17①

由題意得：,x+2y+z=140,

x+y+2z=13③

由①-③得：X-y=3,

由②-③得：y=l+z,

；?x=4+z,

把X、y的值代入①得：Z=2,

?,克=6,y=3.

即口代表6、△代表3、。代表2.

【點評】本題的實質(zhì)是考查三元一次方程組的解法.解題的關(guān)鍵是消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為

“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化

為“已知”和把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法.

15.若3x+2y+4z=4,X-y+z=2,求1+4y+2z的值.

【分析】由工-y+z=2得，2x-2y+2z=4…①，又3x+2y+4z=4…②，所以，由②-①得，

x+4y+2z=0,即可得出；

【解答】解：由χ?y+z=2得，2x-2y+2z=4,

.[2χ-2y+2z=4…①

I3x+2y+4z=4…②

由②-①得，x+4y+2z=0,

所以，x+4y+2z的值為0.

【點評】本題主要考查了解三元一次方程組，根據(jù)題意，可將已知條件做適當變形，相加或

相減即可得出；而沒必要求出x、y、Z的值.

16.（2020?浙江自主招生）有A、B、C、D、E5位同學依次站在某圓周上，每人手上分別拿有

小旗16、8、12、4、15面，現(xiàn)要使每人手中的小旗數(shù)相等.要求相鄰的同學之間相互調(diào)整

（不相鄰的不作相互調(diào)整），設(shè)A給B有Xi面3>0時即為A給B有處面；xι<0時即為B給A有Xl

面.以下同），B給C有X2面：C給。有X3面，。給E有Λ4面，E給A有X5面，問XI、X2、X3、X4、X5

分別為多少時才能使調(diào)動的小旗總數(shù)l?l∣+∣X2∣+∣X3∣+IX4∣+∣X5∣最?。?/p>

【分析】根據(jù)題意列出方程組，把一個未知數(shù)當作已知，表示出其余的未知數(shù)，根據(jù)題意取

其絕對值，畫出數(shù)軸，找出各對應(yīng)點，求出其最小值.

【解答】解：由于共有小旗面數(shù)為16+8+12+4+15=55面，要使每人手中的小旗面數(shù)相等，每

人均為11面.

8+x1-χ2=ll

-Ξ

12+X2X311

由題意：<4+χ3-χ4=ll,

15+X4-X5=11

'xi=X2+3

x3=x2+1

變形得：，

X4=X2^6,

'5='2-2

lr∣l+tal+tel+k+l+ksi=Ix2+3∣+k2l+k2+1l+∣x2-6∣+lx2-2∣=∣x2+3∣+∣x2+1l+∣x2l+∣x2-2∣+∣x2-6|,

設(shè)實數(shù)X2在數(shù)軸上的對應(yīng)點為P，

Xi-3-1026

1IIl1I)

PPyPiP.ΛB

實數(shù)-3,-1,0,2,6在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為P∣,P2,2，P4,P5,

.?.團l+W2l+∣χ3∣+χ4∣+lχ5∣=IPPIl+∣P∕j2∣+∣P尸3∣+lP尸4∣+∣PP5∣,

當且僅當產(chǎn)位線段尸1P5上時IPPII+IPRI有最小值9,

當且僅當P在線段P2P4上時∣PP2∣+∣PP4∣有最小值3,

當且僅當P與點尸3重合時∣PP3∣有最小值0,

即當且僅當P與點尸3重合（X2=O）時，

Xl+X2+X3+X4+X5=/Pll+∣PP2l+∣PP3∣+∣P尸4∣+∣PP5∣有最小值12.

當xι=3,x2=O,X3=1,X4=-6,*5=-2時IXIH?∣x2∣+k3∣+k4∣+∣X5∣有最小值⑵

【點評】此題比較復雜，涉及到四元一次方程組及絕對值的相關(guān)知識，解答此類題目的關(guān)鍵

是畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)形結(jié)合解題.

17.（2012?天心區(qū)校級自主招生）甲，乙，丙三人各有郵票若干枚，要求互相贈送.先由甲送

給乙，丙，所給的枚數(shù)等于乙，丙原來各有的郵票數(shù)；然后依同樣的游戲規(guī)則再由乙送給

甲，丙現(xiàn)有的郵票數(shù)，最后由丙送給甲，乙現(xiàn)有的郵票數(shù).互相送完后，每人恰好各有64

枚.你能知道他們原來各有郵票多少枚嗎？說出你的思考過程.

【分析】假設(shè)甲原有郵票X枚，乙原有郵票y枚，丙原有郵票Z枚.根據(jù)題目說明列出三次贈送

的過程如下表

甲乙丙

原有Xyz

第一次送后X-y-zIy2z

第二次送后2(X-V-Z)2y-(X-y-z)-4z

2z

第三次送后4(x-y-z)2[2y-Cx-y-z)4z-2Cx-y-z)-