2022-2023學(xué)年廣東省汕頭市田心華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

以下給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖（如圖所示），其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A．i>10

B．i<10

C．i<20

D．I>20參考答案：A2.已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，，…，，，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)?，所以，，，，……，由此可以看出：?.在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的石子可以排成一個(gè)正三角形（如圖），則第10個(gè)三角形數(shù)是（）A．35 B．36 C．45 D．55參考答案：D【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】設(shè)第n個(gè)三角形數(shù)即第n個(gè)圖中有an個(gè)點(diǎn)；觀察圖形可得，第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2，即a2﹣a1=2，第三個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多3，即a3﹣a2=3，依此類推，可得第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第n﹣1個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多n，即an﹣an﹣1=n，將得到的式子，相加可得答案．【解答】解：設(shè)第n個(gè)三角形數(shù)即第n個(gè)圖中有an個(gè)點(diǎn)；由圖可得：第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2，即a2﹣a1=2，第三個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第二個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多3，即a3﹣a2=3，…第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)比第n﹣1個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)多n，即an﹣an﹣1=n，則an=1+2+3+4+…+n=，n=10時(shí)，a10=55．故選：D．4.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.若a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交參考答案：D考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．分析：若a，b是異面直線，直線c∥a，所以c與b可能異面，可能相交．解答：解：由a、b是異面直線，直線c∥a知c與b的位置關(guān)系是異面或相交，故選D．點(diǎn)評：此題考查學(xué)生的空間想象能力，考查對異面直線的理解和掌握．6.已知不等式（）（）9對任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為A.2

B.

4

C.

6

D.8參考答案：B略7.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(－x)=f(x)，f(x)=f(2－x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos|，則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.5 B.6 C.7 D.8參考答案：B因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x3，所以當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，2－x∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝xcos(πx)；當(dāng)x∈時(shí)，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函數(shù)f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g＝g＝0，作出函數(shù)f(x)，g(x)的大致圖象，函數(shù)h(x)除了0,1這兩個(gè)零點(diǎn)之外，分別在區(qū)間，，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，共有6個(gè)零點(diǎn)，故選B.8.雙曲線的漸近線方程是2x±y=0，則其離心率為（）A． B． C． D．5參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的漸近線方程是2x±y=0，得到b=2k，a=k，c=，由此能求出雙曲線的離心率．【解答】解：∵雙曲線的漸近線方程是2x±y=0，∴b=2k，a=k，c=，∴e===．故選A．9.函數(shù)在[－1,3]上的最大值與最小值之和為（

）A．10

B．12

C．17

D．19參考答案：C10.直線x–y+2=0的傾斜角是（

）

A．300

B．600

C．1200

D．1500參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩條平行直線之間的距離是

；參考答案：12.函數(shù)的圖像在處的切線在x軸上的截距為________________。參考答案：略13.已知，若，則__________．參考答案：64或（舍）。點(diǎn)睛：二項(xiàng)式定理應(yīng)用中的注意事項(xiàng)(1)對于二項(xiàng)式定理，不僅要會正用，而且要從整體把握，靈活地應(yīng)用，如有時(shí)可逆用、變形用，對于三項(xiàng)式問題可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理問題去處理．(2)“賦值法”是求二項(xiàng)展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項(xiàng)等情況，應(yīng)引起注意．14.以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，則當(dāng)取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，求出a2+b2=4，再利用基本不等式，得出當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，取得最小值，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為（2，0），雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0，∵以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心，以雙曲線的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，∴=b，∴a2+b2=4，∴=（）（a2+b2）=（5++）≥（5+4）=，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得最小值，∴c=b，∴e===．故答案為．15.已知圓O的半徑為定長r，是圓O外一定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和直線相較于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)的軌跡是（

）A.圓

B.橢圓

C.雙曲線一支

D.拋物線參考答案：C略16.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足∠AFB=，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值是

．參考答案：1【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故答案為：1．17.過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則

。參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）已知函數(shù)，在曲線上的點(diǎn)處的切線方程是，且函數(shù)在處有極值。（1）求的解析式（2）求在上的最值參考答案：解：（1），由已知得，解得又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得所以（2）由，由所以由所以略19.(14分)已知函數(shù)．(1)數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，若不等式對所有的正整數(shù)n恒成立，求的取值范圍．參考答案：(1)，………1分

…………4分(2)由已知得，……1分∴又所以的公比為2的等比數(shù)列，∴．………………8分

(3)，

上是增函數(shù)

又不等式對所有的正整數(shù)n恒成立，故的取值范圍是……14分20.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，CC1=4，D為BC的中點(diǎn)（I）求證：AC⊥平面ABB1A1；（II）求證：A1C∥平面ADB1；（III）求平面ADB1與平面ACC1A1所成銳二面角的余弦值參考答案：（Ⅰ）見解析（II）見解析（III）【分析】（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，從而A⊥AC，再結(jié)合已知可證得線面垂直；（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DO，可證DO∥，從而證得線面平行；（III）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩平面和平面的法向量，由法向量的夾角余弦值求得二面角的余弦值．【詳解】（I）∵C⊥平面ABC，A∥C∴A⊥平面ABC，∴A⊥AC又AC⊥AB，AB∩A=A∴AC⊥平面AB·（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DO∵D是BC中點(diǎn)，O是中點(diǎn)，則DO∥，平面AD，DO平面AD∴平面AD（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz·則A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）設(shè)平面AD的法向量為=（x,y,z），則，即取y=1，得=（-2，1，2）平面AC法向量為=（2，0，0）Cos<,>==-·則平面AD與平面AC所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與線面平行的判定，考查用向量法求二面角．立體幾何中線面間的平行與垂直一般用判定定理進(jìn)行證明，而求空間角一般用空間向量法求解．21.如表提供了工廠技術(shù)改造后某種型號設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù)：x（年）3

456y（萬元）2.5344.5（1）若知道y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程=bx+a（2）已知工廠技改前該型號設(shè)備使用10年的維修費(fèi)用為9萬元．試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測該型號設(shè)備技改后使用10年的維修費(fèi)用比技改前降低多少？參考公式：==，=y﹣x．參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）計(jì)算平均數(shù)，，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；（2）利用回歸方程求出x=10時(shí)的值即可．【解答】解：（1）計(jì)算xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，，…=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5；…回歸系數(shù)；；故所求的回歸方程為；…（2）當(dāng)x=10時(shí)，利用y關(guān)于x的線性回歸方程計(jì)算=0.7×10+0.35=7.35，…預(yù)測該型號設(shè)備技改后使用10年的維修費(fèi)用比技改前降低9﹣7.35=1.65（萬元），答：求出y關(guān)于x的線性回歸方程=0.7x+0.35，預(yù)測該型號設(shè)備技改后使用10年的維修費(fèi)用比技改前降低1.65萬元．…22.如圖,在直三棱柱中,,為中點(diǎn).（１）求證:;（２）求證:∥平面

;（３）求二面角的余弦值.

參考答案：解析：解法一:(Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.由可得.所以.

………………..4分(Ⅱ)設(shè)與交于點(diǎn)則為中點(diǎn).在中,連結(jié)分別為的中點(diǎn),∥,又平面,平面,∥平面.