2020年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷答案解析版一、選擇題：1.已知，，那么ab的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：∵，，∴；故選擇：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.2.已知點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且AP∶PB=2∶3，那么AB∶PB為（）A.3∶2 B.3∶5 C.5∶2 D.5∶3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)比例的合比性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：由題意AP∶PB=2∶3，AB∶PB=（AP+PB）∶PB=（2+3）∶3=5∶3；故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查比例線(xiàn)段問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)比例的合比性質(zhì)解答．3.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列結(jié)論中正確的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，相似三角形性質(zhì)，以及合比性質(zhì)，分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案.【詳解】解：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，則∴△ADE∽△ABC，∴，故A錯(cuò)誤；則，故B正確；則，故C錯(cuò)誤；則，故D錯(cuò)誤.故選擇：B.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，合比性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì).4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，、、所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果a=3b，那么∠A的余切值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接得出cotA=，即可得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=3b，∴；故選擇：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練地應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，，下列式子中正確的是（）A. B.；C. D.．【答案】C【解析】【分析】由平行四邊形性質(zhì)，得，由三角形法則，得到，代入計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∵，，在△OAB中，有，∴，∴；故選擇：C.【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．6.如果將拋物線(xiàn)平移，使平移后的拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)重合，那么它平移的過(guò)程可以是（）A.向右平移4個(gè)單位，向上平移11個(gè)單位B.向左平移4個(gè)單位，向上平移11個(gè)單位C.向左平移4個(gè)單位，向上平移5個(gè)單位D.向右平移4個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平移前后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定平移方法即可得解．【詳解】解：拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），∵，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，），∴頂點(diǎn)由（0，）平移到（4，），需要向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，此類(lèi)題目，利用頂點(diǎn)的變化確定拋物線(xiàn)解析式更簡(jiǎn)便．二、填空題：7.因式分解：______．【答案】x（x-5）【解析】【分析】直接提公因式，即可得到答案.【詳解】解：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法.8.已知，那么=______．【答案】【解析】【分析】直接把代入解析式，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的解析式.9.方程的根為_(kāi)____．【答案】x=3【解析】【分析】方程兩邊同時(shí)乘以，變?yōu)檎椒匠蹋缓蠼夥匠?，最后檢驗(yàn)，即可得到答案.【詳解】解：，∴方程兩邊同時(shí)乘以，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的根，∴方程的根為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，注意要檢驗(yàn).10.已知：，且y≠4，那么=______．【答案】【解析】【分析】由分式的性質(zhì)和等比性質(zhì)，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴，由等比性質(zhì)，得：；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，以及分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等比性質(zhì).11.在△ABC中，邊BC、AC上的中線(xiàn)AD、BE相交于點(diǎn)G，AD=6，那么AG=____．【答案】4【解析】【分析】由三角形的重心的概念和性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖，∵AD，BE是△ABC的中線(xiàn)，且交點(diǎn)為點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，∴；故答案為：4.【點(diǎn)睛】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．12.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比是4:5，那么這兩個(gè)三角形的面積比是_____．【答案】16:25【解析】分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為：，∴這兩個(gè)三角形的面積比；故答案為：∶.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的性質(zhì).（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．13.如圖，在大樓AB的樓頂B處測(cè)得另一棟樓CD底部C的俯角為60度，已知A、C兩點(diǎn)間的距離為15米，那么大樓AB的高度為_(kāi)____米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】由解直角三角形，得，即可求出AB的值.【詳解】解：根據(jù)題意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，∴，∴；∴大樓AB的高度為米.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．14.某商場(chǎng)四月份的營(yíng)業(yè)額是200萬(wàn)元，如果該商場(chǎng)第二季度每個(gè)月?tīng)I(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同，都為，六月份的營(yíng)業(yè)額為萬(wàn)元，那么關(guān)于的函數(shù)解式是______．【答案】或【解析】【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出五月份的營(yíng)業(yè)額，再根據(jù)題意表示出六月份的營(yíng)業(yè)額，即可列出方程求解．【詳解】解：設(shè)增長(zhǎng)率為x，則五月份的營(yíng)業(yè)額為：，六月份的營(yíng)業(yè)額為：；故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用中增長(zhǎng)率問(wèn)題，若原來(lái)的數(shù)量為a，平均每次增長(zhǎng)或降低的百分率為x，經(jīng)過(guò)第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過(guò)第二次調(diào)整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長(zhǎng)用“+”，下降用“”．15.矩形的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為26，這條對(duì)角線(xiàn)與矩形一邊夾角的正弦值為，那么該矩形的面積為_(kāi)__.【答案】240【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面積．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AC=BD=26，∵，∴，∴，∴該矩形的面積為：；故答案為：240.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理求出AB和AD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.已知二次函數(shù)（a是常數(shù)，a≠0），當(dāng)自變量x分別取-6、-4時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2，那么y1、y2的大小關(guān)系是：y1__y2（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】【分析】先求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，由，則當(dāng)，y隨x的增大而減小，即可判斷兩個(gè)函數(shù)值的大小.【詳解】解：∵二次函數(shù)（a是常數(shù)，a≠0），∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為：，∵，∴當(dāng)，y隨x的增大而減小，∵，∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.17.平行于梯形兩底的直線(xiàn)截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度是兩底的比例中項(xiàng)時(shí)，我們稱(chēng)這條線(xiàn)段是梯形的“比例中線(xiàn)”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中線(xiàn)”，那么=_____．【答案】【解析】【分析】先利用比例中線(xiàn)的定義，求出EF的長(zhǎng)度，然后由梯形ADFE相似與梯形EFCB，得到，即可得到答案.【詳解】解：如圖，∵EF是梯形的比例中線(xiàn)，∴，∴，∵AD//BC，∴梯形ADFE相似與梯形EFCB，∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了相似四邊形的性質(zhì)，以及比例中項(xiàng)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似四邊形的性質(zhì)和比例中線(xiàn)的性質(zhì).18.如圖，有一菱形紙片ABCD，∠A＝60°，將該菱形紙片折疊，使點(diǎn)A恰好與CD的中點(diǎn)E重合，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上，聯(lián)結(jié)EF，那么cos∠EFB的值為_(kāi)___．【答案】【解析】【分析】連接BE，由菱形和折疊的性質(zhì)，得到AF=EF，∠C=∠A=60°，由cos∠C=，，得到△BCE是直角三角形，則，則△BEF也是直角三角形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則EF=，，由勾股定理，求出FB=，則，即可得到cos∠EFB的值.【詳解】解：如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AB∥DC，由折疊的性質(zhì)，得AF=EF，則EF=ABFB，∵cos∠C=，∵點(diǎn)E是CD的中線(xiàn)，∴，∴，∴△BCE是直角三角形，即BE⊥CD，∴BE⊥AB，即△BEF是直角三角形.設(shè)BC=m，則BE=，在Rt△BEF中，EF=，由勾股定理，得：,∴，解得：，則，∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，從而利用解直角三角形進(jìn)行解題.三、解答題：19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=sin45°，y=cos60°．【答案】【解析】【分析】利用分式乘法和除法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x、y的值代入計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：原式＝＝．當(dāng)x=sin45°=，y=cos60°=時(shí)，原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，分式的化簡(jiǎn)求值，以及分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)，掌握特殊角的三角函數(shù)值.20.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=20，，CD⊥AB，垂足為D．（1）求BD的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，用、表示．【答案】（1）9；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)解直角三角形，先求出CD的長(zhǎng)度，然后求出AD，由等角的三角函數(shù)值相等，有tan∠DCB=tan∠A，即可求出BD的長(zhǎng)度；（2）由（1）可求AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形法則，求出，然后求出.【詳解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，，∴．∴，∴．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠B=∠A+∠B=90°，∴∠DCB=∠A．∴；（2）∵，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，向量的運(yùn)算，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形求三角形的各邊長(zhǎng)度.21.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)（b為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)A（8，m）在該拋物線(xiàn)上，它關(guān)于該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A'，求點(diǎn)A'的坐標(biāo)；（3）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，畫(huà)出該拋物線(xiàn)．【答案】（1）；（2）（-6，49）；（3）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由對(duì)稱(chēng)軸為，即可求出b的值，然后代入即可；（2）把代入解析式，求出m，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；（3）選取對(duì)稱(chēng)軸左右兩邊的幾個(gè)整數(shù)，計(jì)算出函數(shù)值，然后畫(huà)出拋物線(xiàn)即可.【詳解】解：（1）∵對(duì)稱(chēng)軸為，∴．∴；∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．（2）∵點(diǎn)A（8，m）在該拋物線(xiàn)的圖像上，∴當(dāng)x=8時(shí)，．∴點(diǎn)A（8，49）．∴點(diǎn)A（8，49）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-6，49）．（3）列表，如下：拋物線(xiàn)圖像如下圖：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像的畫(huà)法.22.如圖，在東西方向的海岸線(xiàn)l上有長(zhǎng)為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測(cè)得輪船M在它的北偏東45°方向上；同一時(shí)刻，在A點(diǎn)正東方向距離100米的C處測(cè)得輪船M在北偏東22°方向上．（1）求輪船M到海岸線(xiàn)l的距離；（結(jié)果精確到0.01米）（2）如果輪船M沿著南偏東30°的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）【答案】（1）167.79；（2）能.理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，設(shè)DM=x．由三角函數(shù)表示出CD和AD的長(zhǎng)，然后列出方程，解方程即可；（2）作∠DMF=30°，交l于點(diǎn)F．利用解直角三角形求出DF的長(zhǎng)度，然后得到AF的長(zhǎng)度，與AB進(jìn)行比較，即可得到答案.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，設(shè)DM=x．∵在Rt△CDM中，CD=DM·tan∠CMD=x·tan22°，又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，∴AD=DM=x，∵AD=AC+CD=100+x·tan22°，∴100+x·tan22°=x．∴（米）．答：輪船M到海岸線(xiàn)l的距離約為167.79米．（2）作∠DMF=30°，交l于點(diǎn)F．在Rt△DMF中，有：DF=DM·tan∠FMD=DM·tan30°=DM≈≈96.87米．∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈16779+96.87=264.66<300．∴該輪船能行至碼頭靠岸．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角問(wèn)題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．23.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線(xiàn)段OB上，AE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC相交于點(diǎn)F，OD2=OB·OE．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求證：△ABE∽△ACD．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意，得到，然后由AD∥BC，得到，則，即可得到AF//CD，即可得到結(jié)論；（2）先證明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后證明得到，即可得到△ABE∽△ADC.【詳解】證明：（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四邊形AFCD是平行四邊形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四邊形AFCD是平行四邊形，∴AF=CD．∴．∴△ABE∽△ADC．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，正確找到證明三角形相似的條件.24.在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0），聯(lián)結(jié)AB、AC．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)D是線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，如果，求tan∠DBC的值；（3）如果點(diǎn)E在該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）E（2，）【解析】【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式，即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，利用面積的比得到，然后求出DH和BH，即可得到答案；（3）延長(zhǎng)AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，先證明△OAB∽△OFA，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后求出直線(xiàn)AF的方程，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).【詳解】解：（1）將A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入得，解得，∴此拋物線(xiàn)的表達(dá)式是：．（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，在△ABC中，設(shè)AC邊上的高為h，則，又∵DH//y軸，∴．∵OA=OC=3，則∠ACO=45°，∴△CDH為等腰直角三角形，∴．∴．∴tan∠DBC=.（3）延長(zhǎng)AE至x軸，與x軸交于點(diǎn)F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC∠BAC=45°∠BAC，∠OFA=∠OCA∠FAC=45°∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴．∴OF=9，即F（9，0）；設(shè)直線(xiàn)AF的解析式為y=kx+b（k≠0），可得，解得，∴直線(xiàn)AF的解析式為：，將x=2代入直線(xiàn)AF的解析式得：，∴E（2，）.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，求