《高等數(shù)學(xué)》專業(yè)年級(jí)學(xué)號(hào)姓名一、推斷題.將√或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).（每題2分，共20分）（）1.收斂的數(shù)列必有界.（）2.無(wú)窮大量與有界量之積是無(wú)窮大量.（）3.閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必?zé)o界.（）4.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).（）5.若在點(diǎn)可導(dǎo)，則也在點(diǎn)可導(dǎo).（）6.若連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)不行導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)沒(méi)有切線.（）7.若在[]上可積，則在[]上連續(xù).（）8.若在（）處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在（）處可微.（）9.微分方程的含有隨意常數(shù)的解是該微分方程的通解.（）10.設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且,則為的一個(gè)微小值.二、填空題.（每題2分，共20分）1.設(shè)，則.2.若，則.3.設(shè)單調(diào)可微函數(shù)的反函數(shù)為,則.4.設(shè),則.5.曲線在點(diǎn)切線的斜率為.6.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),,則.7.若則.8.在[0,4]上的最大值為.9.廣義積分.10.設(shè)D為圓形區(qū)域.三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1.計(jì)算.2.求在（0，+）內(nèi)的導(dǎo)數(shù).3.求不定積分.4.計(jì)算定積分.5.求函數(shù)的極值.6.設(shè)平面區(qū)域D是由圍成，計(jì)算.7.計(jì)算由曲線圍成的平面圖形在第一象限的面積.8.求微分方程的通解.四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：.2.設(shè)在閉區(qū)間[上連續(xù)，且證明：方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.《高等數(shù)學(xué)》參考答案一、推斷題.將√或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)（每題2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空題.（每題2分，共20分）1.；2.1；3.1/2；4.；5.2/3；6.1；7.；8.8；9.1/2；10.0.三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1.解：因?yàn)榍遥?0由迫斂性定理知：=02.解：先求對(duì)數(shù)3.解：原式==24.解：原式==4/55.解：故或當(dāng)時(shí)，，且 （0，0）為極大值點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，，無(wú)法推斷6.解：7.解：令，；則，8.解：令，知由微分公式知：四.證明題（每題10分，共20分）1.解：設(shè)=0令即：原式成立。2.解：上連續(xù)且<0,>0故方程在上至少有一個(gè)實(shí)根.又即在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)根.《高等數(shù)學(xué)》專業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、推斷題（對(duì)的打√，錯(cuò)的打×；每題分，共分）1.在點(diǎn)處有定義是在點(diǎn)處連續(xù)的必要條件.2.若在點(diǎn)不行導(dǎo)，則曲線在處肯定沒(méi)有切線.3.若在上可積，在上不行積，則在上必不行積.4.方程和在空間直角坐標(biāo)系中分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸和一個(gè)點(diǎn).5.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，是其所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則為一階線性微分方程的通解.二、填空題（每題分，共分）1.設(shè)則.2.設(shè)，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)連續(xù).3.設(shè)，則.4.已知在處可導(dǎo)，且，則.5.若，并且，則.6.若在點(diǎn)左連續(xù)，且，則與大小比較為7.若，則；.8.設(shè)，則.9.設(shè)，則.10.累次積分化為極坐標(biāo)下的累次積分為.三、計(jì)算題（前題每題分，后兩題每題分，共分）1.;2.設(shè)，求;3.;4.;5.設(shè),求.6.求由方程所確定的函數(shù)的微分.7.設(shè)平面區(qū)域是由圍成，計(jì)算.8.求方程在初始條件下的特解.四、（分）已知在處有極值，試確定系數(shù)、，并求出全部的極大值與微小值.五、應(yīng)用題（每題分，共分）1.一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)元，而其它與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)元.問(wèn)輪船的速度為多少時(shí),每航行所消耗的費(fèi)用最小？2.過(guò)點(diǎn)向曲線作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.六、證明題（分）設(shè)函數(shù)在上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且,.證明在上單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)參考答案一、推斷題1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.二、填空題1.36；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10..三、計(jì)算題1.原式2.3．原式=4．設(shè)則原式=5．6．兩邊同時(shí)微分得：即故（本題求出導(dǎo)數(shù)后，用解出結(jié)果也可）7．8．原方程可化為通解為代入通解得故所求特解為：四、解：因?yàn)樵谔幱袠O值，所以必為駐點(diǎn)故又解得：于是由得，從而，在處有微小值，在處有極大值五、1.解：設(shè)船速為，依題意每航行的耗費(fèi)為又時(shí)，故得，所以有令，得駐點(diǎn)由極值第一充分條件檢驗(yàn)得是微小值點(diǎn).由于在上該函數(shù)到處可導(dǎo)，且只有唯一的極值點(diǎn)，當(dāng)它為微小值點(diǎn)時(shí)必為最小值點(diǎn)，所以求得船速為時(shí)，每航行的耗費(fèi)最少，其值為（元）2.解：（1）設(shè)切線與拋物線交點(diǎn)為，則切線的斜率為，又因?yàn)樯系那芯€斜率滿意，在上即有所以，即又因?yàn)闈M意，解方程組得所以切線方程為則所圍成圖形的面積為：（2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：六、證：在上，對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在一點(diǎn)，使得代入上式得由假設(shè)知為增函數(shù)，又，則,于是,從而，故在內(nèi)單調(diào)增加.《高等數(shù)學(xué)》試卷專業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、填空題（每小題1分，共10分）1．函數(shù)的定義域?yàn)椤?．函數(shù)上點(diǎn)（０，１）處的切線方程是。3．設(shè)在可導(dǎo)且，則＝。4．設(shè)曲線過(guò)，且其上隨意點(diǎn)的切線斜率為，則該曲線的方程是。5．＝。６．＝。7．設(shè)，則＝。8．累次積分化為極坐標(biāo)下的累次積分為。9．微分方程的階數(shù)為。10．設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)。二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的（）內(nèi)，（1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．設(shè)函數(shù)，則＝（）①②③④ｘ2．時(shí)，是（）①無(wú)窮大量②無(wú)窮小量③有界變量④無(wú)界變量3．下列說(shuō)法正確的是（）①若在連續(xù)，則在可導(dǎo)②若在不行導(dǎo)，則在不連續(xù)③若在不行微，則在極限不存在④若在不連續(xù)，則在不行導(dǎo)4．若在內(nèi)恒有，則在內(nèi)曲線弧為（）.①上升的凸?、谙陆档耐够、凵仙陌蓟、芟陆档陌蓟?．設(shè)，則（）①為常數(shù)②為常數(shù)③④ｘ6．＝（）①０②１③２④３7．方程在空間表示的圖形是（）①平行于面的平面②平行于軸的平面③過(guò)軸的平面④直線8．設(shè)，則（）①②③④9．設(shè)，且＝ｐ，則級(jí)數(shù)（）①在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散②在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散③在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散④在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散10．方程是（）①一階線性非齊次微分方程②齊次微分方程③可分別變量的微分方程④二階微分方程11．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）12．設(shè)在可導(dǎo)，，則至少有一點(diǎn)使（）13．設(shè)在的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是在可導(dǎo)的（）①充分必要的條件②必要非充分的條件③必要且充分的條件④既非必要又非充分的條件14．設(shè)，則，則（）15．過(guò)點(diǎn)（１，２）且切線斜率為的曲線方程為ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④16．設(shè)冪級(jí)數(shù)在（）收斂，則在（）①肯定收斂②條件收斂③發(fā)散④收斂性與有關(guān)17．設(shè)Ｄ域由所圍成，則（）三、計(jì)算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）１．設(shè)求.２．求.３．計(jì)算.４．設(shè)，求.５．求過(guò)點(diǎn)Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直線方程.６．設(shè)，求ｄｕ.７．計(jì)算.８．求微分方程的通解.９．將展成的冪級(jí)數(shù).四、應(yīng)用和證明題（共15分）１．（８分）設(shè)一質(zhì)量為ｍ的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（比例常數(shù)為）求速度與時(shí)間的關(guān)系。２．（７分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)時(shí)，。高等數(shù)學(xué)參考答案一、填空題（每小題1分，共10分）１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１５．６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）８．９．三階１０．發(fā)散二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的（）內(nèi)，1～10每小題1分，11～17每小題2分，共24分）1．③2．③3．④4．④5．②6．②7．②8．⑤9．④10．③11．④12．④13．⑤14．③15．③16．①17．②三、計(jì)算題（1～3每小題5分，4～9每小題6分，共51分）解：２．解：原式＝＝＝８３．解：原式＝４．解：因?yàn)椋担猓核笾本€的方向數(shù)為｛１，０，－３｝所求直線方程為６．解：７．解：原積分＝８．解：兩邊同除以得兩邊積分得亦即所求通解為９．解：分解，得＝＝（且）四、應(yīng)用和證明題（共１５分）１．解：設(shè)速度為ｕ，則ｕ滿意解方程得由ｕ│0＝０定出ｃ，得２．證：令則在區(qū)間［１，＋∞］連續(xù)而且當(dāng)時(shí)，因此在［１，＋∞］單調(diào)增加從而當(dāng)時(shí)，＝０即當(dāng)時(shí)，《高等數(shù)學(xué)》專業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、推斷正誤（每題2分，共20分）1.兩個(gè)無(wú)窮大量之和必定是無(wú)窮大量.2.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定為連續(xù)函數(shù).3.在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)必定可導(dǎo).4.若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有.5.初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù).6.方程表示一個(gè)圓.7.若在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)連續(xù).8.是二階微分方程.9..10.若為連續(xù)函數(shù)，則必定可導(dǎo).二、填空題（每題4分，共20分）.設(shè)，且，則..，則.三、計(jì)算題與證明題（共計(jì)60分）.，（5分）；，（5分）。.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（10分）.若在上.證明：在區(qū)間和上單調(diào)增加.（10分）.對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行了次測(cè)量，得到個(gè)數(shù)。現(xiàn)在要確定一個(gè)量，使之與測(cè)得的數(shù)值之差的平方和最小.應(yīng)當(dāng)是多少？（10分） .計(jì)算.（5分）6.由曲線與兩直線所圍成的平面圖形的面積是多少.（5分）.求微分方程滿意條件的特解。（5分）.計(jì)算二重積分是由圓與圍成的區(qū)域.（5分）高等數(shù)學(xué)參考答案一、推斷正誤（每題2分，共20分）1-5．╳，╳，╳，╳，√.6-10.╳，√，╳，╳，√.二、填空題（每題4分，共20分）三、計(jì)算題與證明題。（共計(jì)60分）2.令則同理3.令則則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故命題成立。4.令則令5.6.7.方程變形為而=初始條件：8、《高等數(shù)學(xué)》專業(yè)學(xué)號(hào)姓名一、推斷（每小題2分，共20分）1.f(x)在點(diǎn)x處有定義是f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)的必要條件.()2.無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小量.()3.(x)在x處可導(dǎo),則(x)|在x處也可導(dǎo).()4.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù).()5.可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)肯定是f(x)的駐點(diǎn).()6.對(duì)隨意常數(shù)k,有.()7.若f(x)在[]上可積,則f(x)在[]上有界.()8.若f()在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,則當(dāng)f()為關(guān)于x的奇函數(shù)時(shí)0.()9.2的通解中含有兩個(gè)獨(dú)立隨意常數(shù).()10.若()在P的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,則()在P連續(xù).()二、填空（每空2分，共20分）1.[()]=.2.函數(shù)f(x)在[0,3]上滿意羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值=.3.設(shè)f(x)=當(dāng)時(shí)(x)在0處連續(xù).4.設(shè),則(0,0)=.5.函數(shù)f(x)1在內(nèi)單調(diào)增加;在內(nèi)單調(diào)削