第1章解直角三角形1.2銳角三角函數(shù)的計(jì)算（11大題型）分層練習(xí)考查題型一求特殊角的三角函數(shù)值1．（22·23·杭州·中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運(yùn)用余切函數(shù)即可解答．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識(shí)點(diǎn)，求出是解答本題的關(guān)鍵．2．（22·23下·婁底·一模）定義一種運(yùn)算：，例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計(jì)算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式的值，其中；．【答案】；【分析】分別化簡(jiǎn)代數(shù)式和字母的值，再代入計(jì)算．【詳解】原式，∵；，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，特殊角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)，然后把給定的值代入求解．考查題型二特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算1．（22·23上·洛陽(yáng)·期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①；；③；A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，即可一一判定．【詳解】解：，，，故①錯(cuò)誤；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；，，，故④正確；綜上分析可知，錯(cuò)誤的有2個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的相關(guān)運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2020上·萬(wàn)州·期中）計(jì)算：=．【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算即可．【詳解】解：===．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．3．（上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．考查題型三由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀1．（22·23上·盤(pán)錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出與的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，并充分利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．2．（2017下·蕪湖·一模）在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得，，從而得，，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．3．（22·23上·嘉峪關(guān)·期末）在中，，則的形狀是．【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)三角函數(shù)作答．【詳解】∵，∴，，即，，∴，，∴，則一定是等邊三角形，故答案為:等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．考查題型四由計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值1．（2022·山東東營(yíng)·模擬預(yù)測(cè)）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：2yx3－16＝，按鍵的結(jié)果為m；2ndF64－2x2＝，按鍵的結(jié)果為n；9ab/c

2

－

cos

60＝，按鍵的結(jié)果為k．下列判斷正確的是（

）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【答案】C【分析】分別計(jì)算出m，n，k的值即可得出答案．【詳解】解：m＝23?＝8?4＝4；n＝?22＝4?4＝0；k＝?cos60°＝?＝4；∴m＝k，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了計(jì)算器的使用，注意二次根式的副功能是立方根．2．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按第一題計(jì)分．A．若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于140°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．B．用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：13××sin14°≈（結(jié)果精確到0.1）【答案】911.3【分析】A、首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)；B、利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算可得．【詳解】解：A．∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°，∴它的外角是：180°-140°=40°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°=9．故答案為：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案為：11.3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角和計(jì)算器的使用，做此類(lèi)題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．考查題型五根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)1．（22·23上·西安·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，B、C分別在x、y軸上，連接AB與y軸相交于點(diǎn)D，已知，且的面積為2，則k的值為（

）

A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】先根據(jù)，得，根據(jù)同底等高可以得到，即可求得k的值．【詳解】解：連結(jié)

，軸，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線(xiàn)，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和軸正半軸上的點(diǎn)，．

(1)求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)聯(lián)結(jié)，求的度數(shù)；(3)聯(lián)結(jié)、、，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將，的坐標(biāo)代入，即可求得、，從而求得拋物線(xiàn)的表達(dá)式.（2）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，進(jìn)而求得的大小.（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得出，進(jìn)而分類(lèi)討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∵∴，則將，代入得：，解得，∴這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵∴，∴，則∵

∵∴，即，∴，∴.∴.（3）解：∵,∴∵∴，∴，∵∴軸或如圖所示，

當(dāng)軸時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則是等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型六已知角度比較三角函數(shù)值的大小1．（2019上·淮北·階段練習(xí)）已知，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)當(dāng)α=45°時(shí)sinα=cosα和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增減性即可得出答案．【詳解】解：∵α=45°時(shí)sinα=cosα，當(dāng)α是銳角時(shí)sinα隨α的增大而增大，cosα隨α的增大而減小，∴45°＜α＜90°．故選D．【點(diǎn)睛】考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而增大，余弦值隨著角度的增大而減?。?．（2022上·邵陽(yáng)·期末）下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．若為銳角，則C．對(duì)于銳角，必有 D．若為銳角，則【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角三角函數(shù)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，故說(shuō)法不正確；B、對(duì)于任一銳角，這個(gè)角的正弦等于它的余角的余弦，即若為銳角，則，故說(shuō)法正確；C、當(dāng)β=60°時(shí)，，則，故說(shuō)法不正確；D、當(dāng)α=45°時(shí)，，故說(shuō)法不正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，掌握它們是關(guān)鍵．考查題型七根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，若，則AB的最大值為．【答案】4【分析】設(shè)，則，根據(jù)，，根據(jù)正弦的增減性可得，當(dāng)最大值，取得最大值，進(jìn)而即可求解．【詳解】設(shè)，則，則過(guò)點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，則最大，即取得最大值，此時(shí)，的最大值為故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正弦的增減性，掌握三角函數(shù)的關(guān)系，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型八利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1．（22·23·婁底·中考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，熟悉是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南湘潭·校考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，；，．例：．(1)試仿照例題，求出的值；(2)若已知銳角α滿(mǎn)足條件，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可；（2）把化為直接代入三角函數(shù)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，α為銳角，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解．考查題型九求證同角三角函數(shù)關(guān)系式1．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA＝.則下列關(guān)系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1【答案】D【分析】可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進(jìn)行解答．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得A.tanA?cotA==1，關(guān)系式成立；B.sinA=，tanA?cosA==，關(guān)系式成立；C.cosA=，cotA?sinA==，關(guān)系式成立；D.tan2A+cot2A=≠1，關(guān)系式不成立．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系解題關(guān)鍵是明確三角函數(shù)的意義，準(zhǔn)確進(jìn)行推理證明．2．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中（其中，均為銳角），正確的是．（填序號(hào)）①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．【答案】①③④【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①如圖，在中，∵，，∴，故①正確；②若，則，，∴∴，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，∴越大，對(duì)邊越大，且越接近斜邊，∴越大，∴當(dāng)時(shí)，，故③正確；④∵，，，∴，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．考查題型十互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2022秋·廣西百色·九年級(jí)校考期末）下列式子中，不成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值的運(yùn)算以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，A中式子成立，故不符合題意；如圖，∵，∴∴B中式子成立，故不符合題意；∵，∴∴C中式子成立，故不符合題意；∵，∴，D中式子不成立，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與正確的計(jì)算．2．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿(mǎn)足條件，則．【答案】【分析】先根據(jù)求出，把變?yōu)椋缓蟾鶕?jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．考查題型十一三角函數(shù)綜合1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形紙片中，E為的中點(diǎn)，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接，交于點(diǎn)G，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可得垂直平分，，，根據(jù)E為中點(diǎn)，可證，通過(guò)等邊對(duì)等角可證明，利用勾股定理求出，再利用三角函數(shù)求出，則根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)G，如圖所示，

由翻折性質(zhì)可得：垂直平分，∴，，∵E為的中點(diǎn)，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、解直角三角形，熟練運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)證明相關(guān)線(xiàn)段相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，的平分線(xiàn)交邊于點(diǎn)，連接，如果正方形的面積為12，且，那么的值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，證明，根據(jù)正方形的面積求出，然后求出結(jié)果即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面積為12，∴，∵，∴．答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，求出．1．（2023上·四川廣元·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設(shè)，根據(jù)正切的定義，即可得答案．【詳解】解：由題意，得，故設(shè)則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及勾股定理，設(shè)是解題關(guān)鍵．2．（2023上·山東聊城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，解得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2023上·黑龍江大慶·九年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值及余弦函數(shù)的性質(zhì)比較角度大小，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）定義一種運(yùn)算：，例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可以計(jì)算出的值．【詳解】解：由題意可得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、二次根式的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．5．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P為矩形的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)平分時(shí)，的度數(shù)為（）

A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】連接，推出是的直徑，利用三角函數(shù)的定義求得，再分類(lèi)討論，當(dāng)點(diǎn)P在上方和點(diǎn)P在下方時(shí)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)P為矩形的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，∴，∴是的直徑，∴，∵，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)P在上方時(shí)，∵平分，

∴，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，

同理可得，∴；綜上，的度數(shù)為或故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明是的直徑是解題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北黃石·校考模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：．【答案】0【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案；【詳解】原式故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2023上·山東威?！ぞ拍昙?jí)山東省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，則邊的長(zhǎng)為．【答案】或/或【分析】作于，根據(jù)“”，得出，計(jì)算出、，根據(jù)勾股定理計(jì)算出，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)在的外部時(shí)，．分類(lèi)討論計(jì)算即可．【詳解】如下圖，作于，

∵，，∴，在中，，，∴在中，，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)在的外部時(shí)，．綜上所述，邊的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)討論、計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（2022上·山東青島·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1）中，是一張正方形紙片，，分別為，的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)的折痕將翻折，使得點(diǎn)落在（）中上，折痕交于點(diǎn)，那么．

【答案】/度【分析】利用正方形的性質(zhì)和正弦的概念得出，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

，，∵折疊，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題利用了正方形的性質(zhì)，中點(diǎn)的性質(zhì)，正弦的概念求解，得出是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）矩形紙片中，，，點(diǎn)M在邊所在的直線(xiàn)上，且，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，折痕與，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為．【答案】或【分析】證明，得出，分兩種情況討論，當(dāng)M點(diǎn)在D點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：設(shè)，交于點(diǎn)O，∵將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，折痕與，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，，又，∴，∴，①當(dāng)M點(diǎn)在D點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖所示，

∵，，∴，中，根據(jù)勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)M點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，并注意分類(lèi)討論．10．（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，矩形紙片中，，，P為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，得到．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E落在上；（2）點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，若，則=．【答案】或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正切值求出，再利用正切求出；（2）根據(jù)，得到是等邊三角形，求出，再分當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，分別求出答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，．（2）若，則，∴是等邊三角形，∴，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，則；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，分類(lèi)討論，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·山東濰坊·九年級(jí)?？茧A段練