山東省煙臺(tái)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知數(shù)列的前幾項(xiàng)為：﹣1，4，﹣7，10，…，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可能為（）A. B.C. D.2.已知等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.﹣2 C. D.43.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.2 B.4 C. D.64.已知橢圓C：（）經(jīng)過和兩點(diǎn)，則C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為（）A. B.1 C.2 D.35.拋物線具有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)，則經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射后的反射光線所在直線方程為（）A. B. C. D.6.三角形數(shù)由古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點(diǎn)等距排列表示的數(shù)，其前五個(gè)數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為（）A.5 B.6 C.7 D.87.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，，若，則的所有可能取值組成的集合為（）8.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作直線l與C交于兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在第一象限），線段的垂直平分線過點(diǎn)，點(diǎn)到直線l的距離為，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.最小（多選）10.已知曲線Γ：（），則（）A.?？赡苁堑容S雙曲線 B.若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則C.?？赡苁前霃綖榈膱AD.若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則（多選）11.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上），的內(nèi)切圓與切于點(diǎn)M，過點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.的最大值為5 B.的內(nèi)切圓面積最大值為πC.為定值1 D.若Q為中點(diǎn)，則l的方程為（多選）12.若正整數(shù)數(shù)列：，，…，（）滿足：若對(duì)任意的正整數(shù)k（），都有，則稱該數(shù)列為“數(shù)列”.下列關(guān)于“數(shù)列”的說法中正確的有（）A.若數(shù)列8，x，4，y，8為“數(shù)列”，則有序數(shù)組有3個(gè)B.若數(shù)列1，m，n，8為“數(shù)列”，則的最大值為6C.若數(shù)列，，…，（）為“數(shù)列”，則使的n的最大值為16 D.若數(shù)列，，…，（）為“數(shù)列”，且，則滿足的n的最大值為10三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則的值為_________.14.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)關(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，且，則C的漸近線方程為__________.15.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為____________.16.已知數(shù)列滿足：；；，，其中，.數(shù)列的通項(xiàng)公式____________，令，則數(shù)列的前n項(xiàng)和____________.（本小題第一空2分，第二空3分.）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.（12分）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值.19.（12分）已知點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）證明：Q，O，M三點(diǎn)共線；（2）若，求直線l的方程.20.（12分）網(wǎng)上創(chuàng)業(yè)成為越來越多大學(xué)生的就業(yè)選擇.李紅大學(xué)畢業(yè)后在網(wǎng)上經(jīng)營了一家化妝品店，計(jì)劃銷售A，B兩種品牌化妝品.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，銷售A品牌化妝品第一年的利潤為3.8萬元，預(yù)計(jì)以后每年利潤比上一年增加0.5萬元；銷售B品牌化妝品第一年的利潤為4萬元，預(yù)計(jì)以后每年利潤的增長率為8%.設(shè)，分別為銷售A，B兩種品牌的化妝品第n年的利潤（單位：萬元）.（1）試比較銷售A，B兩種品牌化妝品前10年總利潤的大??；（2）問：第幾年銷售A品牌化妝品較銷售B品牌化妝品在同一年的利潤差最大？參考數(shù)據(jù)：，，，，.21.（12分）設(shè)數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，，且，（）.（1）求的通項(xiàng)公式，并證明：是等差數(shù)列；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（12分）已知點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作x軸的垂線段，D為垂足，Q為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為Γ.（1）求Γ的方程；（2）設(shè)，，過點(diǎn)作直線與Γ交于不同的兩點(diǎn)M，N（異于A，B），直線，的交點(diǎn)為G.（?。┳C明：點(diǎn)G在一條平行于x軸的直線上；（ⅱ）設(shè)直線，交點(diǎn)為H，試問：與的面積之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.山東省煙臺(tái)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷【參考答案】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列前4項(xiàng)的規(guī)律，用n表示即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：﹣1，4，﹣7，10，…，即，，，，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.2.【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解答】解：∵等比數(shù)列中，，，所以，解得.又，可得與同號(hào)，故.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.【分析】利用雙曲線方程求出a，b，然后求出c即可得到結(jié)果.【解答】解：雙曲線的方程為：，可得，，所以，所以雙曲線的焦距長為：.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，屬基礎(chǔ)題.4.【分析】根據(jù)已知條件求得a，b，c以及橢圓方程，進(jìn)而求解結(jié)論.【解答】解：∵橢圓C：（）經(jīng)過和兩點(diǎn)，∴，，∴，橢圓方程為：.∴C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為：.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.【分析】求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)的直線方程，然后求解直線與拋物線的交點(diǎn)，即可得到反射光線所在直線方程.【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)，從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的入射光線過點(diǎn)的直線方程：，聯(lián)立，可得，可得或，結(jié)合已知條件可知反射光線所在直線方程為：.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.6.【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可.【解答】解：由題意可得，則，則，又，則，則，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為7.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了裂項(xiàng)求和法，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題.7.【分析】采用“倒推”的方式，推導(dǎo)過程中注意分類討論思想的應(yīng)用.【解答】解：∵，∴若為奇數(shù)，則，則舍；若為偶數(shù)，則，.當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，則；若為偶數(shù)，則，.當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，無解；若為偶數(shù)，則，則.若為奇數(shù)，則，無解；若為偶數(shù)，則，則.若為奇數(shù)，則，則；若為偶數(shù)，則，則.當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，無解；若為偶數(shù)，則，則.若為奇數(shù)，則，則；若為偶數(shù)，則，則.當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，無解；若為偶數(shù)，則，則.當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，則，無解；若為偶數(shù)，則，則.綜上，所有可能的取值的集合.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的歸納推理、數(shù)列的遞推公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.8.【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論.【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得到，又，故，設(shè)的中點(diǎn)為C，在中，，，故，則，，根據(jù)，可知，故，可得.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9.【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得，由此分析選項(xiàng)可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，若，即，則有，變形可得，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，但不確定的符號(hào)，不能確定是還是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，不確定的符號(hào)，故不能確定最小還是最大，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.（多選）10.【分析】根據(jù)圓，橢圓，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，逐一判斷選項(xiàng)即可.【解答】解：對(duì)于A，若Γ是等軸雙曲線，則，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，故B正確；對(duì)于C，Γ是圓，則3+m＝1﹣m＞0，解得m＝﹣1，故C正確；對(duì)于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的方程，屬基礎(chǔ)題.（多選）11.【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，的等面積算法，點(diǎn)差法，即可分別求解.【解答】解：根據(jù)題意可得，，，，，，對(duì)A選項(xiàng)，∵，當(dāng)且僅當(dāng)P，，Q三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為5，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為r，則根據(jù)的等面積算法可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，∴的內(nèi)切圓面積最大值為，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)易得：，∴，∴，∴C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，若為中點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減可得：，∴，∴，∴，∴l(xiāng)的方程為，即，∴D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，點(diǎn)差法的應(yīng)用，屬中檔題.（多選）12.【分析】根據(jù)“數(shù)列”的定義，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列8，x，4，y，8為“數(shù)列”，所以，所以.或，或，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閿?shù)列1，m，n，8為“數(shù)列”，所以，，解得，，當(dāng)時(shí)，，3，4，當(dāng)時(shí)，，4，所以的最大值為6，故B正確；對(duì)于C，數(shù)列，，…，（）為“數(shù)列”，因?yàn)?，所以，所以是遞增數(shù)列，所以最小是1，的最小值為，該數(shù)列可以是：，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，46，56，67，79，82，100，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)列，，…，（）為“數(shù)列”，且，所以該數(shù)列每一項(xiàng)的最小取值為：6，1，1，2，4，7，11，16，22，29，37，，此時(shí)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.120.【分析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由，求出q的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，則有，即，解可得或0（舍），則，故答案為：120.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14..【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，，由條件得，根據(jù)三角形中位線，可得，即可求出漸近線方程.【解答】解：設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為A，因?yàn)殛P(guān)于C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為M，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以C的漸近線方程為.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬中檔題.15..【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及余弦定理即可求解結(jié)論.【解答】解：橢圓C：，可得，，故，∵，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，∴，∴，可得..故.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查余弦定理以及向量知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題.16.；.【分析】由，，，解方程可得，由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，求得；再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和.【解答】解：設(shè)，，（），又，由，，可得，解得，，，則，即有，可得，即有；，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.故答案為：；.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【分析】（1）利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合累乘法求解；（2）分，兩種情況，利用等差數(shù)列的求和公式求解.【解答】解：（1）由，得（），兩式相減得.即（），所以當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)也適合上式，故（）.（2）由題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題.18.【分析】（1）由雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為，得，，由此能求出雙曲線方程.（2）聯(lián)立方程組，得，利用韋達(dá)定理、弦長公式、根的判別式能求出結(jié)果.【解答】解：（1）雙曲線C與橢圓有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為，設(shè)雙曲線的方程（，），由已知得，，所以，.所以雙曲線方程為.（2）直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，聯(lián)立方程組，得，，.所以令，解得.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線、橢圓、焦點(diǎn)、漸近線、弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19.【分析】（1）設(shè)直線l的方程為，利用已知條件證明即可；（2）利用（1）及，求出m的值即可.【解答】（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立，消去得，則所以，，因?yàn)?，所以，又，，，所以，即，所以O(shè)，Q，M三點(diǎn)共線；（2）解：因?yàn)?，所以，于是，即，所以，所以直線l的方程為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)和直線與拋物線的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.20.【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解；（2）先求出，再結(jié)合作差法，即可求解.【解答】解：（1）A品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為3.8、公差為0.5的等差數(shù)列.B品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項(xiàng)為4、公比為1.08的等比數(shù)列.設(shè)銷售A、B品牌化妝品前n年總利潤分別為，，則（萬元），（萬元），故，所以A品牌化妝品的前10年總利潤更大.（2），，所