2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高三(上)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)［/={X設(shè)是不大于6的正整數(shù)},A={1,2,3),B={3,5},求Q(AUB)=()

A.0B.{4,6}C.{1,2,3,5}D.{1,234,5,6}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(l-i)=l+i,則z的虛部為()

A.—1B.1C.iD.—i

3.若(X+2>=ad。++a2/+tliX+%,則CI4-—=()

A.1B.-1C.15D.-15

4.設(shè)aeR,則“a>1”是“a2>1”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

5.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān),如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用

數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段4B,作一個(gè)等邊三角形

ABC,然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)。(第一段圓弧)，

再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段4C的延長線于點(diǎn)E,再以點(diǎn)4為圓心，AE為

半徑逆時(shí)針畫圓弧......以此類推,當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為

()

蚊件

A.147rB.18TTC.30兀D.44兀

6.甲乙兩位游客慕名來到惠州旅游，準(zhǔn)備分別從惠州西湖、博羅羅浮山、龍門南昆山、惠東

鹽洲島和大亞灣紅樹林5個(gè)景點(diǎn)中各隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件4：甲和乙選擇的景

點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇羅浮山，則P(8|4)=()

7.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，&,尸2是雙曲線C：冒一，=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，已知雙曲線

C的離心率為，耳，過尸2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,則隘（=（）

A.<6B.2C.「D.?

8.已知定義在R上的奇函數(shù)/（%）滿足/（2+久）=/（-%）,且當(dāng)工€[0,1]時(shí)，/'（%）>幾，則不

等式"%）<simx在[-3,3]上的解集為（）

A.[-2,0]U[2,3]B.[-1,3]C.[-1,2]D.[-3,-2]U[0,2]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知a=log2e,b=ln2,c=log^,則下列關(guān)系式中，正確的是（）

A..a>bB.a>cC.c>aD.a+b=2

10.下列說法正確的是（）

A.殘差圖中若樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高

B.在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于各組的頻數(shù)

C.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位數(shù)為9

D.某校共有男女學(xué)生1500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為100人的樣本，若樣

本中男生有55人，則該校女生人數(shù)是675人

11.若過點(diǎn)P（1,Q可作3條直線與函數(shù)/。）=。一1）1的圖象相切，則實(shí)數(shù)4可能是（）

4?1

A.--B.--C.--D.0

eee

12.已知棱長為1的正方體4BCO-&當(dāng)6。1，以正方體中心。為球心的球與正方體的各條棱

都相切，點(diǎn)P為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.球。的半徑R=；

B.球。在正方體外部分的體積大于行兀-1

C.若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則萬-PB€[-另]

D.若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則以?而€[-焉]

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

Orr

13.Iosina=ae（-,7r）,則Cana的值為_____.

5乙

14.已知函數(shù)f(x)滿足/(x+l)=/(x)+2,則/(x)的解析式可以是.(寫出滿足條件

的一個(gè)解析式即可)

15.已知菱形的邊長為2,4ABe=60。，點(diǎn)P在BC邊上(包括端點(diǎn))，則而的取值

范圍是.

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4(1,1)在拋物線C：x2=2py(p>0)±,過點(diǎn)8(0,-1)的直線交拋

物線C于P,Q兩點(diǎn)，則鬻;黑的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在A/IBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b+bcosA=V~5asinB.

⑴求4;

(2)若￡1=，71，b=4,求△ABC的面積.

18.(本小題12.0分)

設(shè)等差數(shù)列｛%?｝的公差為d,且d=2a「a5=9.

(1)求數(shù)列｛a.｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛九｝滿足a/i+a2b2+…+c1nbn—3—求｛%｝的前n項(xiàng)和Sn.

19.(本小題12.0分)

如圖，在五面體力BCDE中，4DJL平面ABC,AD//BE,AD=2BE,AB=BC.

(1)問：在線段CO上是否存在點(diǎn)P,使得PE1平面4c0?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并證明；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2)若ZB=q，AC=2,AD=2,求平面ECD與平面力BC夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為

代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得-5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目

比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4,0.5,0.75,

各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立,甲、乙獲得冠軍的概率分別記為pi，p2.

(1)判斷甲、乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別(如果ip】2J2|P?P；I+U，那么認(rèn)為

甲、乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別)；

(2)用X表示教師乙的總得分，求X的分布列與期望.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：各《=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為8,右焦點(diǎn)為F(l,0),。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，線段04的中點(diǎn)為。,且|BD|=\DF\.

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)M,N均在直線x=2上，以MN為直徑的圓經(jīng)過。點(diǎn)，圓心為點(diǎn)7,直線AM,4N分

別交橢圓C于另一點(diǎn)P,Q,證明：直線PQ與直線07垂直.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=bur-a(x—a>0.

(1)討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若/(X)恰有三個(gè)零點(diǎn)％,t2,t3(t1<t2<t3)和兩個(gè)極值點(diǎn)處，x2(Xi<x2).

(i)證明：/(%1)+/(x2)=o；

(1—7n)e-m

(ii)若7n<n,h.mlnm=nlnn,證明：>n(lrm+1).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???(/={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,5},

AUB={1,2,3,5},Cu(AUB)={4,6}.

故選:B.

可求出集合U,然后進(jìn)行并集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

本題考查了集合的描述法和列舉法的定義，全集的定義，并集和補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閦(l-i)=1+i,

(l+t)2_2t

所以Z=^

(1-0(1+0=7

故Z的虛部為1.

故選：B.

先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z,然后利用復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及了復(fù)數(shù)的定義的理解，解題的關(guān)鍵是先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z.屬

于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由題意：令X=-1,得一-%+=L

故選：A.

令X=1即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

解不等式>1得a>1或a<-1,結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：由a2>1得a>1或a<-1,

???由“a>1”能推出“a>1或a<一1"，但"a>1或a<—1”推不出“a>1”，

即“a>1”是“。2>1，，的充分不必要條件.

故選A.

5.【答案】D

【解析】解：由題意每段圓弧的中心角都是冷，第九段圓弧的半徑為n,弧長記為自，

則Q九=y-71,

27r

所以Sil=y(l+2+-+ll)=44w.

故選：D.

確定每段圓弧的中心角是與，第n段圓弧的半徑為M，由弧長公式求得弧長，然后由等差數(shù)列前兀項(xiàng)

和公式計(jì)算.

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：事件4甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇羅浮山，

.OOf也AD\=_—￡_=O￡

則「缶)=憊屋，P(4B)=涔|=言所以P(B⑷=]

⑷一廠5?

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)雙曲線的一條漸近線為y=

過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,則|PFz|=b,

則|OP|=a,COSZPF20=p

在AP6F2中，8S/PF20=￡A^=2,

得|PFi『=4c2—3b2=4(a24-h)2—3b2=4a2+b2,

???e=『C得%=嗜=l+”3，

喏=2，

則制=軍=乒=二=E=

\Z-6,

故選：A.

作出圖象，求出相應(yīng)的長度，根據(jù)離心率的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)條件建立方程求出相應(yīng)長度，利用離心率的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解

決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

8.【答案】a

【解析】解：??"(2+x)=f{-x)，：.f(4+x)=-/(%+2)=f(x),

???函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，且函數(shù)圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，

令g(x)=/W-rex,g'(x)=f'(x)-n,

??,當(dāng)xe［0,1］時(shí),f(x)>7,

，當(dāng)％6［0,1］時(shí)，g'(x)>0,

，函數(shù)g(x)=f(x)-71%在［0,1］上為增函數(shù)，

???當(dāng)x6［0,1］時(shí)，g(x)>g(0)=f(0)-7Tx0=0,即/(%)-TTX>0,

設(shè)h(x)=sinnx-TIX,xe［0,1］,=ncosnx-n=n(cosnx-1)<0,

即函數(shù)九(%)在［0,1］上單調(diào)遞減，則simr%—TTX<0,sinnx<TTX,

故/(x)>simrx在［0,1］上恒成立，

由對(duì)稱性及周期性作函數(shù)/Xx)的示意圖及函數(shù)y=s譏m的圖象如下，

由圖象可知，不等式/(%)<simrx在［一3,-3］上的解集為［一2,0］U［2,3］.

故選：A.

根據(jù)題意得到函數(shù)/(%)是周期為4的函數(shù)，且圖像關(guān)于％=1對(duì)稱，令g(%)=/(%)-〃%,得到g(%)

在［0,1］上為增函數(shù),求得/(%)—7T%Wsimrx-B|J/(x)<sinnx,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)

的草圖，由圖象觀察即可得解.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)及不等式的求解，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)

學(xué)抽象思維及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.【答案】AC

,

仇3

e11%

c=1==zn-

--=菽---

【解析】解：a=loge23l2

2in2-/n

n2

因?yàn)?<仇2VI,所以±>1,所以仇2,即Q>b.

In2ln2

因?yàn)閙3>"e=l,所以普>工，即c>a.

In2ln2

所以c>Q>/?,故AC正確，B錯(cuò)誤.

a+b=±+ln2>21xln2=2，故。錯(cuò)誤?

ln2，ln2

故選：AC.

由換底公式可得a=白，c=f1,根據(jù)0〈伍2<1可比較a,b,c的大小，根據(jù)基本不等式可得

ln2ln2

Q+b>2.

本題考查了對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于4由殘差定義，如果樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越狹窄，

說明該模型的似合精度越高，故A正確；

對(duì)于B,在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,???8x0.75=6,

該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為10,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，設(shè)該校女生人數(shù)為n,由已知可得編=畸芳，

解得n=675,故O正確.

故選：AD.

根據(jù)殘差的定義即可判斷4根據(jù)頻率分布直方圖的特征即可判斷B；根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判

斷C;根據(jù)分層抽樣的抽樣比即可求解D.

本題考查殘差的定義、頻率分布直方圖的特征、百分位數(shù)的定義、分層抽樣的抽樣比等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解:設(shè)切點(diǎn)為(x(),yo),

由/(x)=(x—l)e",得/'(x)=ex+(X—l)ex=xex.

則/'(無())=X0靖。，

xx

，過點(diǎn)P的切線方程為y=xQe°(x-x0)+(x0-l)e°,

代入點(diǎn)P(l,幻坐標(biāo)并化簡(jiǎn)，可得;1=峭。(-瑤+2/-1),即這個(gè)方程有三個(gè)不等根,

令f(%)=(-/+2%—l)ex,求導(dǎo)得到/'(%)=—(%—l)(x+l)ex,

函數(shù)在(一8,-1)上單調(diào)遞減，在(—1,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

又/(-1)=一￡,/(I)=0,當(dāng)XT-8時(shí)，/(%)-?0,當(dāng)XT+8時(shí)，/(%)T-8,

???要使方程;I=(一以+2x0-1)有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則一3<4<0，

結(jié)合選項(xiàng)可得：實(shí)數(shù)；I可能是-2或-L

ee

故選：BC.

設(shè)切點(diǎn)為Qofo),利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程,代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可得；I=〃。(-詔+2X。一

1)，問題轉(zhuǎn)化為該方程有三個(gè)不等根，令/(吟=(-％2+2工-1)靖，再由導(dǎo)數(shù)求極值得答案.

本題考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，將函數(shù)的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，最終轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)

個(gè)數(shù)問題是解決此題的關(guān)鍵，是中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4,如

圖所示，正方體的棱切

球。的半徑/?=年，

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若球體、正方

體的體積分別為匕，匕，

球。在正方體外部的體

積卜>匕一%=g"?（殍）3—1=??！?，

故3正確;

對(duì)于C、D,取48中點(diǎn)E,可知IE在球面上,

可得前=-EA=函，

所以兩?而=(而+而)?(方+麗)=(而產(chǎn)-(EA)2=|方

點(diǎn)P在球。的正方體外部(含正方體表面)運(yùn)動(dòng)，

所以0S|兩(當(dāng)PE為直徑時(shí)，|而|=/2),

所以歹??PBG[-J.T]'

44

故C錯(cuò)誤，。正確.

故選：BD.

對(duì)于4,畫出圖形易知正方體的棱切球的半徑；對(duì)于B,結(jié)合球的體積和正方體體積公式即可判斷;

對(duì)于CD,取4B中點(diǎn)E,可知E在球面上，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可判斷.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了空間幾何體體積的運(yùn)算，屬中檔題.

13.【答案】一

4

【解析】【分析】

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosa,進(jìn)而可求tana的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：sina=I，aG(果兀),

5乙

???cosa=—V1—sin2a=—

3

sinar3

：---二夫=一二

?tana=cosa_z4

5

故答案為：

14.【答案】/(x)=2x

【解析】解:設(shè)/'(x)=ax,則由/(*+1)=/(%)+2,

得a(x+1)=ax+2,解得a=2,

所以/'(%)=2x,

故答案為：/(x)=2x(答案不唯一).

利用待定系數(shù)法求解即可，若設(shè)f(x)=ax,然后代入化簡(jiǎn)求出a即可.

本題主要考查了待定系數(shù)法在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】[一2,2]

【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，貝必(0,0),

0(2,0),C(l,「)，。(-1,73)

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P(x,C),xe[-1,1],AD=(2,0)，

AP=(x,>/-3)>

則而?[?=2xe[-2,2].

故答案為：[—2,2].

建立坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及共線向量的表示，屬于中檔題.

16.【答案】（0,|）

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)4（1,1）在拋物線C：/=2py（p>0）上，所以2P

1,p=;,

所以，拋物線方程為/=y,

設(shè)點(diǎn)PQ1，*）,Q（X2,球），

不妨取Xi>0,x2>0,由點(diǎn)B,P,Q三點(diǎn)共線，得kpp=kBQ,得上里

X1

功2+1

==3=14，

故原式=IOPHOQI=JX什x】xj毋次4=J2+/+”

\BP\-\BQ\%1&+（猶+1）（超+1）3+W+W

令t=y]24-xX2+%2E（2,+8）,

故原式=品=2e（0（）.

故答案為：（0,|）.

根據(jù)題意，求出拋物線方程，設(shè)P（XI，*）,Q（X2，%22），不妨取巧>0,尢2>0,再根據(jù)點(diǎn)B,P,Q三

點(diǎn)共線，得kBP=kBQ，進(jìn)而得到X62=l,再進(jìn)而化簡(jiǎn)繇需，可求解.

本題考查了拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的交點(diǎn)相關(guān)問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）因?yàn)閎+bcos/=

由正弦定理得siziB4-sinBcosA=\T~3sinAsinB?

因?yàn)閟inB>0,

所以1+cosA=yT^sinA,

所以，-cosA=1?

即2s譏（4-J）=1,

由4為三角形內(nèi)角得4=?

(2)由余弦定理得小=b2+c2-2bccosA,

所以21=164-c2-4c,

解得c=5（舍負(fù)），

所以△ABC的面積S=^bcsinA=^x4x5x^=51^.

［解析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求4

（2）結(jié)合余弦定理先求出c,然后結(jié)合三角形面積公式可求.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，輔助角公式，三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬

于中檔題.

18.【答案】解：(1)依題意，由d=2%,

可得的=%+4d=%+4,2al=9al=9,解得%=1,

則d=2al=2x1=2,

/.an=1+2?(n-1)=2n—1,nEN*.

(2)由題意，當(dāng)九=1時(shí)，的瓦=2，

當(dāng)九>2時(shí)，由的瓦+a2b2+…+anbn=3-與°，

可得由瓦+a2b2+?-?+an_1fen_1=3-宏卦，

兩式相減，

2n+32n+l

3o一丁_o3+尹

可得a71bn=

,?,當(dāng)九=1時(shí)，的瓦=g也滿足上式,

???anbn=neN*,

由⑴知d"=2n—1,

則%==

??.數(shù)列｛4｝是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

??.S一耳步=1-（加

12

【解析】（1）先根據(jù)題干已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)的的方程，解出％的值，進(jìn)一步推導(dǎo)出公差d的值，

即可計(jì)算出等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

（2）先將n=1代入題干表達(dá)式計(jì)算出由瓦的值，當(dāng)n>2時(shí),由斯瓦+a2b2H----Fanhn=3—寫當(dāng)

可得的瓦+a2b2+-+an_16n_1=3-第，兩式相減進(jìn)一步推導(dǎo)即可計(jì)算出an%的表達(dá)式，再

根據(jù)第（1）題中得到等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式即可推導(dǎo)出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，并判別出數(shù)列｛與｝

是以:為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出前n項(xiàng)和S”.

本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化

與化歸思想，等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)當(dāng)P為線段CC的中點(diǎn)時(shí)，PE，平面ACD,證明過程如下：

分別取AC,的中點(diǎn)0,P,連接OB,PE,0P,則0P〃AC,0P=

因?yàn)锳D〃BE,AD=2BE,

所以0P〃BE,OP=BE,即四邊形OBEP為平行四邊形，

所以O(shè)B〃PE,

因?yàn)榱1平面力8C,OBu平面48C,所以ADJLOB,

由4B=BC,。為AC中點(diǎn)，知。8J.4C,

又4CnAD=A,AC,4Du平面4CD,

所以。B，平面AC。，

所以PE1平面4CD,

綜上，存在，且當(dāng)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，PE1平面ACD.

(2)在平面4BED中，延長4B,DE交于一點(diǎn)F,連接CF,則CF為平面ECD與平面力BC的交線，

由于4O〃BE,AD=2BE,所以B為4F的中點(diǎn)，

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)B〃CF,

由(1)知，OB_L平面ACD,

所以CF1平面ACD,

又AC,CDu平面4CO,

所以CF14C,CF1CD,

因?yàn)榱u平面4BC,CDu平面ECD,且AD_L平面力BC,ACu平面ABC,

所以AD1AC,則N4CD為銳角，

故乙4CD即為平面ECD與平面4BC夾角，

在RtaACD中，AC=2,AD=2,所以CD=2「，

所以cos乙4co=冬=￥'

故平面ECD與平面ABC夾角的余弦值為?.

【解析】⑴分別取力C,CD的中點(diǎn)0,P,連接。B,PE,0P,易證四邊形。BEP為平行四邊形，

從而知OB〃PE,再證OB_L平面4CD,進(jìn)而得證；

(2)延長4B,0E交于一點(diǎn)F,連接CF,利用定義證明乙4CD即為平面ECD與平面4BC的夾角，再解

直角三角形，得解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，平面與平面夾角的定

義與找法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為4,B,C,

則教師甲獲得冠軍的概率Pi=P(4BC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.4x0.5x0.75+0.6x0.5x0.75+0.4x0.5x0.75+0.4x0.5x0.25=0.15+0.2254-

0.15+0.05=0.575,

則教室以獲得冠軍的概率P2=1—Pi=0.425,

因?yàn)镴誓遞+0；=V-0J6=0.4，

解得|Pi-p2\=0.15,

又I…|＜了卑=

所以甲、乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別；

(2)已知X的所有取值為-15,0,15,30,

此時(shí)尸(X=-15)=0.4X0.5x0.75=0.15,P(X=0)=0.6x0.5X0.75+0.4X0.5x0.75+

0.4x0,5x0.25=0.425,

P(X=15)=0.4x0,5x0.25+0.6x0,5x0.25+0.6x0.5x0.75=0.35,P(X=30)=0.6x

0.5x0.25=0.075,

則X的分布列為：

X-1501530

p0.150.4250.350.075

所以E(X)=-15x0.154-0x0.425+15x0.35+30x0.075=5.25.

【解析】(1)由題意，設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為4B,C,利用互斥事件和獨(dú)立事

件的概率共求得Pi=0.575和pz=0425,結(jié)合回_「2|<J2脛『^+0,1，即可得到結(jié)論；

(2)先得到X的所有取值，求出相對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和期望，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

21.【答案】(1)解：由題意，4(一見0),。(一,0),B(0,b),

2

由|8D|=|DF|,得|BD|2=|DF|2,即3+廬=6+1)2,可得力2=Q+I,

又M=624-c2=h24-1,解得Q=2,b=

???橢圓C的方程為1+4=1；

43

(2)證明：設(shè)N(2,n),可得7(2,喈)，

?.?以MN為直徑的圓經(jīng)過。點(diǎn)，OM1ON,即加.加=0,

???4+mn=0,

,?,"”=式當(dāng)*??&：y=j(x+2),

y=善+2)

聯(lián)立得(m2+12)/+4m2%4-4m2-48=0.

5+獎(jiǎng)】

4m2-482(12.哈

o得Xp

XAXP=-24=而在運(yùn),m2+12'

V--(rI一12-n1||pz2(12-7n2)12m,

外_4(孫+2)一.+12'則P(布+適-，族鈕);

同理可得Q(安魯，號(hào)).

"+12nz+12y

?pn_2(12-n2)_2(12-*12九_(tái)12m.

Q'f*+12m2+12'*+12m2+12^'

又討=(2,喈),

?p7}Tyf—4(12—n2)_4(12-/)6mn6n26m26mn

"Q足+127n2+1212+n212+n212+m212+TH2'

又rnn+4=0,.-.PQOT=誓雪■-駕駕=2-2=0.

'12+nz12+mz

LOT,即PQ1OT.

【解析】(1)由題意得4D,B的坐標(biāo)，再由|BD|=|DF|,整理可得爐=。+1,結(jié)合隱含條件即

可求得a與b的值，則橢圓方程可求;

(2)設(shè)M(2,m),N(2,n),可得7(2,哈)，由已知可得而?麗=0，推出4+mn=0,寫出AM所

在直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得尸點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由可.討=0即可證明PQ10T.

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

22.【答案】解：(i)r(x)=；_a_袤=—^^(x>0)，

設(shè)函數(shù)g(%)=ax2-x+Q,

當(dāng)xN；時(shí)，g(x)開口向上，21=1-4a2<0,

所以/'(%)W0，f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，

當(dāng)0<a<凱寸，g(x)=。在(0,+8)上有兩個(gè)解巧=4a2,g=

因?yàn)?1