第12課菱形

號目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.

極劃識精講

知識點01菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

注意：

菱形的定義的兩個要素：

①是平行四邊形.

②有一組鄰邊相等.

即菱形是一個平行四邊形,然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.

知識點02菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

1.菱形的四條邊都相等;

2.菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角.

3.菱形也是軸對稱圖形,有兩條對稱軸(對角線所在的直線),對稱軸的交點就是對稱中心.

注意：

(1)菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.

(2)菱形的面積由兩種計算方法：

一種是平行四邊形的面積公式：底X高；

另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和).實際上，任何一個對角線互相垂直的四

邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.

(3)菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.

知識點03菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

3.四條邊相等的四邊形是菱形.

注意：

前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四

條邊相等.

1二￡能力拓展

考法01菱形的性質(zhì)

【典例1】如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，/B=NEAF=60°,ZBAE=18°.求/

CEF的度數(shù).

【分析】

由已知NB=60°,ZBAE=18°,則NAEC=78°.欲求NCEF的度數(shù)，只要求出NAEF的度數(shù)即可，由/

EAF=60°,結(jié)合已知條件易證4AEF為等邊三角形，從而/AEF=60°.

【答案與解析】

解：連接AC.

四邊形ABCD是菱形，

AB=BC,ZACB=ZACF.

又：NB=60°,

AABC是等邊三角形.

NBAC=/ACB=60°,AB=AC.

ZACF=ZB=60°.

又：ZEAF=ZBAC=60°

ZBAE=ZCAF.

AABE^AACF.

AE=AF.

Z\AEF為等邊三角形.

ZAEF=60°.

又：ZAEF+ZCEF=ZB+ZBAE,/BAE=18°,

：.ZCEF=18°.

【點睛】當(dāng)菱形有一個內(nèi)角為60。時，連接菱形較短的對角線得到兩個等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度

數(shù).在求角的度數(shù)時，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系.

【典例2］如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE=1,AF=2,若P為對角線BD上一動點，則EP+FP的

最小值為（）

A

E

A.1B.2C.3D.4

【分析】作F點關(guān)于BD的對稱點F,則PF=PF,由兩點之間線段最短可知當(dāng)E、P、F在一條直線上時，EP+FP

有最小值，然后求得EF的長度即可.

【答案】C.

【解析】

解：作F點關(guān)于BD的對稱點F,則PF=PF,連接EF交BD于點P.

；.EP+FP=EP+FP.

由兩點之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F在一條直線上時，EP+FP的值最小，止匕時EP+FP=EP+FP=EF.

?.?四邊形ABCD為菱形，周長為12,

；.AB=BC=CD=DA=3,AB//CD,

VAF=2,AE=1,

；.DF=AE=1,

???四邊形AEFD是平行四邊形，

；.EF=AD=3.

.-.EP+FP的最小值為3.

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對稱--路徑最短問題，明確當(dāng)E、P、F在一條直線上時EP+FP

有最小值是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,E是AB的中點，如果EO=2,求四邊

形ABCD的周長.

【答案】

解：回四邊形ABCD為菱形，

0BO=DO,即O為BD的中點，

又HE是AB的中點，

EIEO是回ABD的中位線，

0AD=2EO=2x2=4,

回菱形ABCD的周長=4AD=4x4=16.

考法02菱形的判定

【典例3］如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm,射線AGHBC,點E從點A出發(fā)沿射線AG以lcm/s的

速度運(yùn)動，同時點F從點B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s).

(1)連接EF,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點D時，求證：0ADE0EICDF；

【分析】

(1)由題意得至IJAD=CD,再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，利用AAS

即可得證；

(2)若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6,由E的速度求出E運(yùn)動的時間即可.

【答案與解析】

(1)證明：EAGEIBC,

00EAD=0DCF,EIAED=0DFC,

團(tuán)D為AC的中點，

0AD=CD,

在E1ADE和回CDF中，

rZEAD=ZDCF

<ZAED=ZDFC，

AD=CD

EHADEEBCDF(AAS)；

(2)解：①若四邊形ACFE是菱形，貝|有CF=AC=AE=6,

則此時的時間t=6+l=6(s).

故答案為：6s.

【點睛】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練】已知，在AABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交

AC于P,交AB于Q.

⑴求四邊形AQMP的周長；

(2)M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由.

【答案】

解：⑴VMQ/7AP,MP〃AQ,

四邊形AQMP是平行四邊形

.*.QM=AP

又：AB=AC,MP〃AQ,

.*.Z2=ZC,APMC是等腰三角形，PM=PC

；.QM+PM=AP+PC=AC=a

四邊形AQMP的周長為2a

(2)M位于BC的中點時，四邊形AQMP為菱形.

:M位于BC的中點時,易證4QBM與4PCM全等,

；.QM=PM,

四邊形AQMP為菱形

考法03菱形的綜合應(yīng)用

【典例4］如圖所示，菱形ABCD中，AB=4,ZABC=60°,ZEAF=60°,/EAF的兩邊分別交BC、CD于E、

F.

(1)當(dāng)點E、F分別在邊BC、CD上時，求CE+CF的值.

(2)當(dāng)點E、F分別在CB、DC的延長線時，CE、CF又存在怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】

⑴由菱形的性質(zhì)可知AB=BC,而/ABC=60°,即聯(lián)想到4ABC為等邊三角形，ZBAC=60°,又/EAF

=60°,所以/BAE=NCAF,可證△BAEg/XCAF,得至ljBE=CF,所以CE+CF=BC.

(2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化.

【答案與解析】

解:(1)連接AC.

在菱形ABCD中，BC=AB=4,AB〃CD.

ZABC=60°,AB=AC=BC,ZBAC=ZACB=60°.

ZACF=60°,即/ACF=NB.

ZEAF=60°，ZBAC=60°，

ZBAE=ZCAF.

△ABE^AACF(ASA),

BE=CF.

CE+CF=CE+BE=BC=4.

(2)CE—CF=4.連接AC如圖所示.

NBAC=NEAF=60°,

???ZEAB=ZFAC.

*.?NABC=NACD=60°,

???ZABE=ZACF=120°.

*.?AB=AC,

AABE^AACF(ASA),

???BE=CF.

???CE—CF=CE—BE=BC=4.

【點睛】

⑴菱形的性質(zhì)的主要應(yīng)用是證明角相等、線段相等、兩直線平行、兩線段互相垂直、互相平分等.

⑵注意菱形中的60。角的特殊性，它讓菱形這個特殊的平行四邊形變得更加特殊，常與等邊三角形發(fā)生聯(lián)

系.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.下列結(jié)論中，矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()

A.內(nèi)角和為360。B.對角線互相平分C.對角線相等D.對角線互相垂直

【答案】C

【解析】

【分析】

矩形與菱形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等，由此結(jié)合選項

即可得出答案.

【詳解】

A、菱形、矩形的內(nèi)角和都為360。，故本選項錯誤；

B、對角互相平分，菱形、矩形都具有，故本選項錯誤；

C、對角線相等菱形不具有，而矩形具有，故本選項正確

D、對角線互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本選項錯誤，

故選C.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.下列條件中，能判定。ABC。是菱形的是（）

A.AC=BDB.AB0BCC.AD=BDD.ACS\BD

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的判定條件即可得到結(jié)果；

【詳解】

解：國四邊形4BC。是平行四邊形，

團(tuán)當(dāng)時，四邊形A8CD是菱形；

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了菱形的判定，準(zhǔn)確理解條件是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DHIBAB于H,則DH等于（）

A.—B.—C.5D.4

55

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形性質(zhì)求出A0=4,0B=3,團(tuán)AOB=90。，根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)菱形的面積公式求出即可.

【詳解】

回四邊形ABCD是菱形，

0AO=OC,BO=OD,AC0BD,

EIAC=8,DB=6,

0AO=4,0B=3,0AOB=9O°,

由勾股定理得：AB=J32+42=5,

團(tuán)S菱形ABCD=_xACxBD=ABxDE,

故選：A.

本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD=gxACxBD=ABxDH是解

2

此題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6c機(jī)和8cm則這個菱形的高。￡為（）

A.2AcmB.4.8c:wC.5cmD.9.6cm

【答案】B

【解析】

【詳解】

解：如圖所示：

回四邊形ABCD是菱形,

0OA=^AC=4,0B=；BD=3,AC0BD,

0AB=7(9A2+OB2=A/42+32=5，

團(tuán)菱形ABCD的面積=AB?DE=gAJBD=gx8x6=24,

24

團(tuán)DE=——=4.8；

5

故選B.

5.菱形的兩條對角線長分別為6,8,則它的周長是（）

A.5B.10C.20D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分這一性質(zhì)解題即可.

【詳解】

解：國菱形的對角線互相垂直且平分，

回勾股定理求出菱形的邊長=5,

團(tuán)菱形的周長=20,

故選C.

【點睛】

本題考查了菱形對角線的性質(zhì)，屬于簡單題，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在菱形ABCD中,AB=5,EIBCD=120°,則EIABC的周長等于【

A.20B.15C.10D.5

【答案】B

【解析】

【詳解】

0ABCD是菱形，0BCD=12O°,EBB=60°,BA=BC.

H3ABC是等邊三角形.EBABC的周長=3AB=15.故選B

7.如圖，四邊形48。是菱形，對角線AC,8。相交于點。，于點H,連接OH,0CAD=20°,則

aDH。的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OD=OB,AB回CD,BD團(tuán)AC,則利用DH回AB得至UDH回CD,回DHB=90°,所以O(shè)H為RtADHB

的斜邊DB上的中線，得至!JOH=OD=OB,利用等腰三角形的性質(zhì)得回1=MHO,然后利用等角的余角相等

即可求出團(tuán)DHO的度數(shù).

【詳解】

解：團(tuán)四邊形ABCD是菱形，

團(tuán)OD=OB,AB團(tuán)CD,BD團(tuán)AC,

團(tuán)DH回AB,

團(tuán)DH團(tuán)CD,團(tuán)DHB=90°,

0OH為RtADHB的斜邊DB上的中線，

團(tuán)OH=OD=OB,

團(tuán)R11=R]DHO,

團(tuán)DHR1CD,

團(tuán)團(tuán)1+回2=90°,

團(tuán)BD團(tuán)AC,

回團(tuán)2+回DCO=90°,

團(tuán)團(tuán)1=R]DCO,

團(tuán)R]DHO=R]DCA,

回四邊形ABCD是菱形，

回DA=DC,

釀CAD=mDCA=20°,

回團(tuán)DHO=20°,

故選A.

D

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于

中考常考題型.

8.如圖，任意四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點，對于四邊形EFGH的形狀,

某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的是（）

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點，且AC=BD時，四邊形EFGH為菱形

B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點，且ACI3BD時，四邊形EFGH為矩形

C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形

【答案】D

【解析】

【詳解】

試題分析:

根據(jù)題意，可知，連接四邊形各邊中點所得的四邊形必為平行四邊形，根據(jù)中點四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷：

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點，且AC=BD時，EF=FG=GH=HE,故四邊形EFGH為菱形，故A正確；

B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點，且ACI3BD時，EIEFG=I3FGH=EIGHE=9O。，故四邊形EFGH為矩形，故B正確;

C.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時，EF0HG,EF=HG,故四邊形EFGH為平行四邊形，故C正確；

D.當(dāng)E,F,G,H不是各邊中點時，四邊形EFGH可能為菱形，故D錯誤；

故選D.

考點：中點四邊形

9.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,CEEBD,DE0AC,若AC=2,則四邊形CODE的周長是（）

A.2.5B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由CEE1BD,DE0AC,可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得

0C=0D=3,即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案.

【詳解】

解：ECE0BD,DE0AC,

回四邊形CODE是平行四邊形，

回四邊形ABCD是矩形，

0AC=BD=2,OA=OC,OB=OD,

0OD=OC=-AC=1

2

回四邊形CODE是菱形，

回四邊形CODE的周長為：40c=4x1=4.

故選C.

【點睛】

本題考查了矩形性質(zhì)和菱形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

10.如圖，在周長為12的菱形488中，AE=1,AF=2,若尸為對角線加?上一動點，則EP+FP的最小

值為（）

C

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【詳解】

試題分析：作F點關(guān)于BD的對稱點F,則PF=PF,連接EF交BD于點P.

0EP+FP=EP+F,P.

由兩點之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F在一條直線上時，EP+FP的值最小，此時EP+FP=EP+FP=EF.

回四邊形ABCD為菱形，周長為12,

0AB=BC=CD=DA=3,AB0CD,

0AF=2,AE=1,

0DF=AE=1,

團(tuán)四邊形AERD是平行四邊形，

0EF,=AD=3.

0EP+FP的最小值為3.

故選C.

考點：菱形的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題

題組5能力提升練

11.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,試添加一個條件：—，使得平行四邊形

ABCD為菱形.

【答案】AD=DC（答案不唯一）

【解析】

【詳解】

試題分析：由四邊形ABCD是平行四邊形,

添加AD=DC,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定，可使得平行四邊形ABCD為菱形；

添加ACBBD,根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形的判定，可使得平行四邊形ABCD為菱形.

答案不唯一.

12.已知菱形ABCO的面積是12cm2,對角線AC=4cm,則菱形的邊長是cm.

【答案】岳

【解析】

【詳解】

分析：根據(jù)菱形的面積公式求出另一對角線的長.然后因為菱形的對角線互相垂直平分，利用勾股定理求

出菱形的邊長.

詳解：由菱形的面積公式，可得另一對角線長12x2+4=6,

回菱形的對角線互相垂直平分，

根據(jù)勾股定理可得菱形的邊長=在方=屈cm.

故答案為相.

點睛：此題主要考查菱形的性質(zhì)和菱形的面積公式，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直.

13.如圖，四邊形ABC。是菱形，。是兩條對角線的交點，過。點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分.當(dāng)

菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為.

【答案】12

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的

一半求出面積解答.

【詳解】

回菱形的兩條對角線的長分別為6和8,

團(tuán)菱形的面積=gx6x8=24,

00是菱形兩條對角線的交點,

團(tuán)陰影部分的面積=gx24=12.

故答案是：12.

【點睛】

本題考查了中心對稱，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,過點A作AH0BC于點H,連接0H.若0B=4,S?ABCD=24,

則0H的長為.

【答案】3

【解析】

【分析】

由四邊形ABCD是菱形，0B=4,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD=8,在根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半

求得AC=6,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求得0H的長.

【詳解】

回四邊形ABCD是菱形，0B=4,

EIOA=OC,BD=2OB=8；

團(tuán)S菱形ABCD=24,

團(tuán)AO6；

回AH團(tuán)BC,OA=OC,

0OH=yAC=3.

故答案為3.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，根據(jù)菱形的面積公式（菱形的面

積等于兩條對角線乘積的一半）求得AC=6是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在邊長為10的菱形ABC。中，對角線16,點。是線段8。上的動點，。國48于E,OF^AD

于F.則OE+OF=.

A

E

c

g、48

【答案】y

【解析】

【分析】

連接AC交8。于尸點，延長EO交CQ于G點，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AC的長度，并證明OF=OG,從而

OE+OF=EG,利用菱形的面積公式求解EG即可.

【詳解】

如圖所示，連接AC交3。于P點，延長E。交C。于G點，

根據(jù)菱形的性質(zhì)得：AB=10,BP=8,0Ap8=90°,

回在中，根據(jù)勾股定理得：AP=6,

E1AC=2AP=：L2,

又根據(jù)菱形的對稱性得：OF=OG,

團(tuán)OE+OF=EG,

根據(jù)菱形的面積公式：^AC.BD=AB.EG,

0-xl2xl6=lOEG,

2

解得：EG盜48

48

即：OE+OF=——，

5

48

故答案為：—.

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)以及面積公式，理解菱形的面積可由對角線乘積的一半進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形,

【答案】AD=BC.

【解析】

【詳解】

菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線

互相垂直平分.據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是AD=BC.等.答案不唯一.

解：條件是AD=BC.

I3EH、GF分另I］是EIABC、I3BCD的中位線，

fflEH0=-BC,GFffl=-BC,

22

BEHH=GF,

國四邊形EFGH是平行四邊形.

要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC,這樣，GH=^AD,

0GH=GF,

回四邊形EFGH是菱形.

17.如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,E,H分別為A8,BC的中點，G,尸分別為線段H。，CE的中點.若

線段尸G的長為26，則A2的長為.

HC

【答案】8

【解析】

【分析】

連接CD并延長，交AD于點M,連接EM,作ANEIEM于N,先證明EIDh/IGEBHCG,得到。M=C”=^BC=^AD,

進(jìn)而證明AE=AM,再根據(jù)FG為EICEM中位線求出EM,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到EN=?EM=2若，EIAEN=30°,

即可求出AE,進(jìn)而求出AB即可.

【詳解】

解：連接CG并延長，交AD于點M,連接EM,作AN回EM于N,

回四邊形ABCD為菱形，0B=6O°,

SAD0BC,AD=BC=AB

00EAM=12O°,0DMG=0HCG,

0G為DH中點，

0DG=HG,

[fflMGD=R]CGH,

00DMG00HCG,

0DM=HC,CG=MG,

0H為BC中點，

^DM^CH^-BC^-AD,

22

0AM=-AD,

2

既為AB中點，

0AE=-AB,

2

0AE=AM,

即為CE中點，G為CM中點，

0FG為團(tuán)CEM中位線，

SME=2FG=4y/3,

EIAE=AM,EEAM=120°,ANEEM,

EIEN=；EM=2石，回AEN=30°,

0AE=2AN=4,

回AB=2AE=8.

故答案為：8

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強(qiáng),

根據(jù)已知條件添加輔助線構(gòu)造全等三角形，等腰三角形是解題關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

18.如圖，在四邊形ABCD中，ABDC,AB^AD,對角線AC,BD交于點、O,AC平分N&4O,過點C

作CELAB交A3的延長線于點E,連接0E.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB=5BD=2,求OE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

【詳解】

分析：（1）根據(jù)一組對邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定即可.

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出=J.2_o牙=2.根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即

可求解.

詳解：（1）證明：EAB0CD,

SZCAB=ZACD

回4。平分/區(qū)4￡)

0ZC4B=ZC4￡>,

SZCAD=ZACD

0AD=C￡)

5^AD=AB

0AB=CD

X0AB0CD,

回四邊形ABCD是平行四邊形

又E1AB=AD

0ABC。是菱形

(2)解：團(tuán)四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD交于點、0.

0AC1BD.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

SOB=-BD=l.

2

在Rt_AO3中，ZAOB=90°.

0OA=V>1B2-OB2=2-

0CE1AB,

EINAEC=9O°.

在RtAEC中，ZAEC=90°.。為AC中點.

^\OE=-AC=OA=2.

2

點睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練

掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，矩形A8C。中，AB=6,BC=4,過對角線8。中點。的直線分別交AB,CO邊于點E,F.

(1)求證：四邊形BED尸是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BED尸是菱形時，求所的長.

E

【答案】(1)證明見解析；(2)”片.

3

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，判定EIB0EH3D0F(ASA),進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)在RtEIADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,再由勾股定理

求出E0,即可得出EF的長.

【詳解】

(1)證明：回四邊形ABCD是矩形，。是BD的中點，

00A=9O°,AD=BC=4,AB0DC,OB=OD,

00OBE=0ODF,

在自BOE和EIDOF中，

ZOBE=ZODF

OB=0D

ZBOE=ZDOF

00BOEEI0DOF(ASA),

0EO=FO,

回四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD0EF,

設(shè)BE=x,貝ljDE=x,AE=6-x,

在RtEIADE中，DE2=AD2+AE2,

0x2=42+(6-x)2,

13

解得：x=

0BD=7AD2+AB2=2岳,

0OB=yQD=y/l3，

0BD0EF,

0EO=-OB2=,

EIEF=2EO=MI.

3

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和

勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵

20.在RtlSABC中，ElBAC=9(r,D是BC的中點，E是AD的中點.過點A作AFEIBC交BE的延長線于點F

(1)求證：0AEFB0DEB；

(2)證明四邊形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.

【答案】([)證明詳見解析；(2)證明詳見解析；(3)10.

【解析】

【分析】

(1)利用平行線的性質(zhì)及中點的定義，可利用AAS證得結(jié)論；

(2)由(1)可得AF=BD,結(jié)合條件可求得AF=DC,則可證明四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角

形的性質(zhì)可證得AD=CD,可證得四邊形ADCF為菱形；

(3)連接DF,可證得四邊形ABDF為平行四邊形，則可求得DF的長，利用菱形的面積公式可求得答案.

【詳解】

(1)證明：BAF^\BC,

SEAFE=^DBE,

BE是AD的中點，

^\AE=DEf

在媯尸E1和團(tuán)D3E1中，

ZAFE=ZDBE

</FEA=/BED

AE=DE

^\AFE^\DBE(AA5)；

(2)證明：由(工)知，^AFE^DBE,則A尸二

她。為3C邊上的中線

國DB=DC,

⑦AF=CD.

團(tuán)四邊形ADCF是平行四邊形，

00BAC=9O°,。是BC的中點，E是AD的中點,

E1A￡)=OC=；BC,

團(tuán)四邊形ADCF是菱形；

團(tuán)四邊形A3。尸是平行四邊形，

^\DF=AB=5,

團(tuán)四邊形4OCF是菱形，

as菱形ADCF二；AC-DF^yx4x5=10.

【點睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)及判定，利用全等三角形的性質(zhì)證得AF=CD是解題的關(guān)鍵，注意菱形面積公式的

應(yīng)用.

21.如圖，在I3ABCD中，AEEIBC,AF0CD,垂足分別為E,F,且BE=DF

(1)求證：E1ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求EIABCD的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)s平行四邊形ABCD=24

【解析】

【分析】

(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題；

(2)連接BD交AC于0,利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題;

【詳解】

(1)團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形,

00B=0D,

0AE0BC,AF0CD,

00AEB=0AFD=9O0,

0BE=DF,

EHAEBEBAFD,

0AB=AD,

回四邊形ABCD是菱形；

(2)連接BD交AC于。，

團(tuán)四邊形ABCD是菱形，AC=6,

0AC0BD,

AO=OC=；AC=《x6=3,

EIAB=5,A0=3,

0BO=y/AB2-AO2=為2-32=4，

0BD=2BO=8,

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、

正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,E是AD的中點，點F,G在AB上，EF0AB,OG0EF.

(1)求證：四邊形0EFG是矩形；

(2)若AD=10,EF=4,求0E和BG的長.

D

【答案】⑴見解析；(2)OE=5,BG=2.

【解析】

【分析】

⑴先證明E0是回DAB的中位線，再結(jié)合已知條件0GI3EF,得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF0AB,

得到四邊形OEFG是矩形；

(2)先求出AE=5,由勾股定理進(jìn)而得到AF=3,再由中位線定理得到0E=gAB=gAD=5,得到FG=5,最后

BG=AB-AF-FG=2.

【詳解】

解：⑴證明:國四邊形ABCD為菱形，

回點。為BD的中點，

回點E為AD中點，

EIOE為I3ABD的中位線，

0OE0FG,

EIOGEIEF,國四邊形OEFG為平行四邊形

0EF0AB,團(tuán)平行四邊形OEFG為矩形.

(2)回點E為AD的中點,AD=10,

(3AE=-AD=5

2

B3EFA=90°,EF=4,

El在RtHAEF中，AR=<AE。-EF。=752-42=3.

團(tuán)四邊形ABCD為菱形，

0AB=AD=1O,

0OE=yAB=5,

回四邊形OEFG為矩形，

0FG=OE=5,

0BG=AB-AF-FG=lO-3-5=2.

故答案為：0E=5,BG=2.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？?/p>

題型，需要重點掌握.

23.如圖，在一ABC中，點。、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作A/〃交。E的延長線于尸點，連

接AD、CF,過點。作。于點G.

⑴求證：四邊形是平行四邊形：

(2)若43=3,BC=5.

①當(dāng)AC=時，四邊形ADC尸是矩形；

②若四邊形AD