專題59用空間向量研究距離、夾角問題題型一異面直線夾角的向量求法1．已知在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中點，則直線A′C與DE所成角的余弦值為________．【答案】【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，則A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，所以.所以直線A′C與DE所成角的余弦值為.故答案為：2．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F(xiàn)為SB的中點

（1）求異面直線SA與FC所成角的大?。唬?）在棱SB上是否存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為？若存在，求出的大??；若不存在，請說明理由．【答案】（1）90°；（2）存在，1．【解析】解：（1）∵在四棱錐S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F(xiàn)為SB的中點，∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），S（0，1，），C（1，2，0），B（2，0，0），F(xiàn)（1，），（0，﹣1，），（0，，），設異面直線SA與FC所成角為θ（0°＜θ≤90°），則cosθ0，∴θ＝90°．∴異面直線SA與FC所成角的大小為90°；（2）假設在棱SB上存在點Q（a，b，c），λ，(0≤λ≤1)，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，則，即（a，b﹣1，c）＝λ（2，﹣1，），解得a＝2λ，b＝1﹣λ，c，∴Q（2λ，1﹣λ，），（2λ，1﹣λ，），（1，2，0），（0，1，），設平面ACQ的法向量(x，y，z），則，取x＝2，得，設平面ASC的法向量(p，q，r），則，取p＝2，得=(2，﹣1，），∵平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，∴，整理得5λ2﹣10λ+4＝0，解得λ或（舍去）．故在棱SB上存在點Q，使平面SAC與平面QAC所成的銳二面角為，此時．3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點．（1）求BN的長；（2）求A1B與B1C所成角的余弦值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標系C-xyz.依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴||＝＝，∴線段BN的長為.（2）依題意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.∴cos〈〉＝＝.故A1B與B1C所成角的余弦值為.4．如圖，在三棱錐V-ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x，y，z軸上，D是線段AB的中點，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求異面直線AC與VD所成角的余弦值．【答案】.【解析】∵AC＝BC＝2，D是AB的中點，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．在Rt△VCD中，，故．∴，．∴.∴異面直線AC與VD所成角的余弦值為.題型二線面角的向量求法5．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，點E為PB的中點，且CD＝2AD＝2AB＝4，點F在CD上，且．（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直線PA與平面PBF所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】解：（Ⅰ）證明：取PA的中點，連接DM，EM，在△PAB中，ME為一條中位線，則，，又由題意有，，，故，，∴四邊形DFEM為平行四邊形，∴EF∥DM，又EF?平面PAD，DM?平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中點N，BC中點H，連接PN，NH，由平面PAD⊥平面ABCD，且PN⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可知PN⊥平面ABCD，又AD⊥NH，故以N為原點，NA，NH，NP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面PBF的一個法向量為，則，可取，又，故，∴直線PA與平面PBF所成角的正弦值為．6．如圖，在正三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．【答案】.【解析】如圖，在正三棱柱ABC--A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以O為原點，為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O--xyz.∵AB＝AA1＝2，∴A(0,－1,0)，B(,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,－1,2)，B1(,0,2)，C1(0,1,2)．∵Q為BC的中點，則，∴．設為平面AQC1的一個法向量，則，即，不妨取．設直線CC1與平面AQC1所成的角為θ，則，∴直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.7．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝1，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F．（1）證明：PA∥平面EDB；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為，求PA與面ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】解：（1）證明：連接AC交BD于G，則G是AC的中點，連接EG，則EG是△PAC的中位線，所以PA∥EG，又因為PA?面EDB，EG?面EDB，所以PA∥平面EDB；（2）如圖以D為原點，方向分別為x軸，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標系，設DA＝a，則A（a，0，0），B（a，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），，，設，則F（at，t，1﹣t），，又EF⊥PB，即，解得……①設是平面DEF的一個法向量，則，即，方程的一組解為，顯然是面ABCD的一個法向量，依題意有，得，結(jié)合①式得，因為PD⊥底面ABCD，所以∠PAD是PA與面ABCD所成的角，．8．已知四邊形，，，將沿翻折至.（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為，求與面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）取的中點E，連接，不妨設，則，即因為，所以，則，又因為，所以，且，∴面，面，則.（Ⅱ）取的中點O，連接，，，不妨設，則，即因為，則，又因為O為中點，E為的中點，則，所以，所以為二面角的平面角.因此以點O為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸建空間直角坐標系如圖：，，，設面的法向量為，，，則，所以，令，則，所以面的一個法向量為，設與面所成的角為，則.題型三面面角的向量求法9．在直角坐標系中，已知，，沿軸把直角坐標系折成平面角為的二面角，使，則為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】過分別作軸的垂線，垂足分別為，則，，，，，；，，即，解得：故選：C.10．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E為棱AA1的中點，AB＝1，AA1＝2．（1）求點B到平面B1C1E的距離；（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】解：（1）如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，則B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），設平面B1C1E的法向量(u，v，w），則，取u＝1，得(1，0，﹣1），∴點B到平面B1C1E的距離為：d．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），設平面CC1E的法向量(x，y，z），則，取x＝1，得(1，﹣1，0），設二面角B1﹣EC1﹣C的平面角為θ，則cosθ，∴sinθ，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值為．11．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，點O為AB中點，點D為AA1中點．（1）求平面ABC與平面B1CD所成銳二面角的大??；（2）已知點E滿足，當異面直線DE與CB1所成角最小時，求實數(shù)λ的值．【答案】（1）；（2）．【解析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，取A1B1的中點O1，連接OO1，則OO1AA1，AB⊥OC，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，而AB，OC?平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，以{}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，則，，，所以，（1）∵AA1⊥平面ABC，∴平面ABC的一個法向量為，設平面B1CD的一個法向量為，則，故可取，∴，∴平面ABC與平面B1CD所成銳二面角為．（2）∵，∴，則，設異面直線DE與CB1所成角為θ，則，令t＝λ+1∈[1，2]，則，當時，cosθ取得最大值，∵y＝cosθ在上遞減，∴θ取得最小值，此時．12．如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大小；（2）直線AD與平面BCD所成角的大?。唬?）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．【答案】（1）90°（2）（3）【解析】解：設，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，得下列坐標：，，，，（1），，所以AD與BC所成角等于90°．（2），顯然為平面BCD的一個法向量∴，直線AD與平面BCD所成角的大?。?）設平面ABD的法向量為則所以，即，令，則，則設平面ABD和平面BDC的夾角為，則因此平面ABD和平面BDC的夾角的余弦為．13．如圖，已知正方體的棱長為1，Q為的中點，點P在棱上，．求平面ABCD與平面BQP的夾角．【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，所以平面的法向量為，所以.所以面ABCD與平面BQP的夾角為題型四共面直線夾角的向量求法14．把正方形沿對角線折起成直二面角，點，分別是，的中點，是正方形中心，則折起后，的大小為（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是正方形中心，所以，為二面角的平面角，又正方形沿對角線折起成直二面角，即二面角是直二面角，所以，因為點，分別是，的中點，所以，，所以.又，所以.因為所以，故選：C.15．已知在正方體中，P為線段上的動點，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A16．如圖，在長方體中，，點為線段上的動點(包含線段端點)，則下列結(jié)論正確的__________．①當時，∥平面；②當時，平面；③的最大值為；④的最小值為.【答案】①②【解析】解：以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，設，.對于①，當，即，解得，，設平面的法向量為，則由，解得，由于，所以∥平面成立.對于②，當時，即，解得，由，可知平面成立.對于③，設，即，解得，由，其分子化簡得，當時，，故的最大值可以為鈍角，