2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專題9.2乘法公式【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1乘法公式的基本運(yùn)算】 1【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】 2【題型3乘法公式的運(yùn)算】 2【題型4利用乘法公式求值】 3【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】 3【題型6乘法公式的應(yīng)用】 4【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】 5【題型8整式乘法中的新定義問(wèn)題】 8【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】 9【知識(shí)點(diǎn)1乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式?！绢}型1乘法公式的基本運(yùn)算】【例1】（2022春?青川縣期末）下列各式中計(jì)算正確的是（）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2 D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【變式1-1】（2022春?六盤水期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y） C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）【變式1-2】（2022春?巴中期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2【變式1-3】（2022秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C．(?12p+q)(q+12p) D．（2x﹣3【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】【例2】（2022秋?望城區(qū)期末）若二項(xiàng)式x2+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后成為一個(gè)完全平方式，則這樣的單項(xiàng)式共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．5個(gè)【變式2-1】（2022?南通模擬）如果多項(xiàng)式x2+2x+k是完全平方式，則常數(shù)k的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【變式2-2】（2022秋?青縣期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K的值為（）A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9【變式2-3】（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫成（）A．a(chǎn)＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0 C．c＜a＜b D．a(chǎn)＝b≠c【題型3乘法公式的運(yùn)算】【例3】（2022春?龍勝縣期中）計(jì)算：（1?152）×（1?162）×（1A．101200 B．101125 C．101100【變式3-1】（2022秋?碾子山區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2．【變式3-2】（2022春?乳山市期末）用乘法公式進(jìn)行計(jì)算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【變式3-3】（2022春?順德區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【題型4利用乘法公式求值】【例4】（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，則ab的值為（）A．?32 B．32 【變式4-1】（2022春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．【變式4-2】（2022春?雙峰縣期中）若x、y滿足x2+y2=54，xy（1）（x+y）2（2）x4+y4．【變式4-3】（2022春?包河區(qū)期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣m）2的值為（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】【例5】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【變式5-1】（2022春?樂(lè)平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖的面積，可驗(yàn)證整式乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【變式5-2】（2022春?錦州期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為（）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9 C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【變式5-3】（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【題型6乘法公式的應(yīng)用】【例6】（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長(zhǎng)為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)縫隙不重合）則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2【變式6-1】（2022秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，分別延長(zhǎng)AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【變式6-2】（2022春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長(zhǎng)方形木板被分割成2個(gè)大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形③后，如圖擺放，且每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積為16，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積是（）A．16 B．14 C．12 D．10【變式6-3】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，我校一塊邊長(zhǎng)為2x米的正方形空地是八年級(jí)1﹣4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個(gè)班級(jí)所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】【例7】（2008秋?上海校級(jí)期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）請(qǐng)你在圖二中，標(biāo)上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）圖三是邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關(guān)系，能驗(yàn)證公式；（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗(yàn)證公式成立，請(qǐng)?jiān)嚠嫵鲆粋€(gè)這樣的圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母．【變式7-1】（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來(lái)得到．如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2；如圖2，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)矩形，它的長(zhǎng)是a+b，寬是a﹣b，比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）觀察圖3，請(qǐng)你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式．（2）觀察圖4，請(qǐng)寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式：．（3）現(xiàn)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖5所示，請(qǐng)你用拼圖的方法推出一個(gè)恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照?qǐng)D4畫出你的拼圖并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)．【變式7-2】（2022春?武侯區(qū)校級(jí)期中）[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問(wèn)題：若x+y＝6，xy=112，求（x﹣y）（3）根據(jù)圖③，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：；（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3【變式7-3】（2022春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，利用圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受到這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景．這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．請(qǐng)你利用上述方法解決下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展應(yīng)用】提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面．（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．請(qǐng)你參照上述幾何建模步驟，計(jì)算57×53．要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標(biāo)注有關(guān)線段）歸納提煉：兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）：_______________________________________________________________________,證明上述速算方法的正確性．【題型8整式乘法中的新定義問(wèn)題】【例8】（2022春?嘉興期中）定義：對(duì)于三個(gè)不是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式A，B，C，若A+B+C可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項(xiàng)為“完全搭配項(xiàng)”，若單項(xiàng)式x2，4和m是完全搭配項(xiàng)，則m可能是．（寫出所有情況）【變式8-1】（2022春?成華區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘?cái)?shù)”．（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說(shuō)明理由；（2）試說(shuō)明神秘?cái)?shù)能被4整除；（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說(shuō)明理由．【變式8-2】（2022春?博山區(qū)期末）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為：“奇異數(shù)”．如8，16，24都是“奇異數(shù)”．（1）寫出兩個(gè)奇異數(shù)（8，16，24除外）；（2）試問(wèn)偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？【變式8-3】（2022?永川區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，…，都是“非智慧數(shù)”．對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：①設(shè)k為正整數(shù)（k≥2），則k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；②設(shè)k為正整數(shù)（k≥3），則k2﹣（k﹣2）2＝．∴都是“智慧數(shù)”．（1）補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；（2）求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】【例9】（2022春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（）A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C．22019?13【變式9-1】（2022?豐順縣校級(jí)開學(xué)）解答下列問(wèn)題．（1）觀察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×；②92﹣2＝8×4；③﹣92＝8×5；④132﹣2＝8×6；…（2）通過(guò)觀察、歸納，請(qǐng)你用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；（3）你能運(yùn)用平方差公式來(lái)說(shuō)明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？【變式9-2】（2022秋?肥城市期中）我們知道，1+2+3+…+n=n(n+1)首先，我們知道：（n+1）2＝n2+2n+1，變形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次給n一些特殊的值：1，2，3，…，我們就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；觀察這列式子，如果把它們所有的等式兩端左右相加，抵消掉對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，我們可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，觀察這個(gè)式子，等式右邊小括號(hào)內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，把S表示出來(lái)，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n+1)用這個(gè)思路，可以求很多你以前不知道的和，請(qǐng)你仿照這個(gè)推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下S＝12+22+32+…+n2的值．【變式9-3】（2022春?漳浦縣期中）你能化簡(jiǎn)（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）嗎？我們不妨先從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用這個(gè)結(jié)論，你能解決下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，則a6等于多少？專題9.2乘法公式【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1乘法公式的基本運(yùn)算】 1【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】 3【題型3乘法公式的運(yùn)算】 4【題型4利用乘法公式求值】 6【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】 7【題型6乘法公式的應(yīng)用】 9【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】 12【題型8整式乘法中的新定義問(wèn)題】 17【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】 20【知識(shí)點(diǎn)1乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式?！绢}型1乘法公式的基本運(yùn)算】【例1】（2022春?青川縣期末）下列各式中計(jì)算正確的是（）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2 D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【分析】根據(jù)平方差公式對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、應(yīng)為（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣（2b）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、應(yīng)為（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4ab﹣4b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2，正確；D、應(yīng)為（﹣a﹣2b）（a+2b）＝﹣a2﹣4ab﹣4b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【變式1-1】（2022春?六盤水期中）下列各式中能用平方差公式計(jì)算的是（）A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y） C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）【分析】根據(jù)平方差公式的特征：（1）兩個(gè)兩項(xiàng)式相乘，（2）有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；B、﹣5y是相同的項(xiàng)，互為相反項(xiàng)是3x與﹣3x，符合平方差公式的要求；C、不存在相同的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；D、不存在互為相反數(shù)的項(xiàng)，不能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；故選：B．【變式1-2】（2022春?巴中期末）下列運(yùn)算正確的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A、結(jié)果是y2﹣x2，故本選項(xiàng)不符合題意；B、結(jié)果是x2﹣2xy+y2，故本選項(xiàng)不符合題意；C、結(jié)果是x2+2xy+y2，故本選項(xiàng)不符合題意；D、結(jié)果是x2﹣y2，故本選項(xiàng)符合題意.【變式1-3】（2022秋?天心區(qū)校級(jí)期中）下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C．(?12p+q)(q+12p) D．（2x﹣3【分析】A、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；B、原式第一個(gè)因式提取﹣1變形后利用完全平方公式計(jì)算得到結(jié)果，符合題意；C、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意；D、原式利用平方差公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，不合題意．【解答】解：A、原式＝b2﹣a2，本選項(xiàng)不合題意；B、原式＝﹣（m2+n2）2，本選項(xiàng)符合題意；C、原式＝q2?14pD、原式＝4x2﹣9y2，本選項(xiàng)不合題意，故選：B．【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】【例2】（2022秋?望城區(qū)期末）若二項(xiàng)式x2+4加上一個(gè)單項(xiàng)式后成為一個(gè)完全平方式，則這樣的單項(xiàng)式共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．5個(gè)【分析】本題考查運(yùn)用完全平方式進(jìn)行因式分解的能力，式子x2和4分別是x和2的平方，可當(dāng)作首尾兩項(xiàng)，根據(jù)完全平方公式可得中間一項(xiàng)為加上或減去x和2的乘積的2倍，即±4x，同時(shí)還應(yīng)看到x2+4加上﹣4或﹣x2或x4【解答】解：可添加±4x，﹣4，﹣x2或x4故選：D．【變式2-1】（2022?南通模擬）如果多項(xiàng)式x2+2x+k是完全平方式，則常數(shù)k的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【分析】根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)和已知平方項(xiàng)先確定出另一個(gè)數(shù)是1，平方即可．【解答】解：∵2x＝2×1?x，∴k＝12＝1，故選A．【變式2-2】（2022秋?青縣期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)K的值為（）A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9【分析】根據(jù)完全平方式的定義解決此題．【解答】解：9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2﹣（K﹣1）x+12．∵9x2﹣（K﹣1）x+1是關(guān)于x的完全平方式，∴9x2﹣（K﹣1）x+1＝（3x）2±2?3x?1+12＝（3x）2±6x+12．∴﹣（K﹣1）＝±6．當(dāng)﹣（K﹣1）＝6時(shí)，K＝﹣5．當(dāng)﹣（K﹣1）＝﹣6時(shí)，K＝7．綜上：K＝﹣5或7．故選：B．【變式2-3】（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a，b，c的關(guān)系可以寫成（）A．a(chǎn)＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0 C．c＜a＜b D．a(chǎn)＝b≠c【分析】先把原式展開，合并，由于它是完全平方式，故有3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[3x+33（a+b+c）]2，化簡(jiǎn)有ab+bc+ac＝a2+b2+c2，那么就有（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，三個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)等于0，故可求a＝b＝c．故選答案【解答】解：原式＝3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）＝[3x+33（a+b+c）]∴ab+bc+ac=13（a+b+c）2=13（a2+b2+c2+2ab+2∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2，∴2（ab+bc+ac）＝2（a2+b2+c2），即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c．故選：B．【題型3乘法公式的運(yùn)算】【例3】（2022春?龍勝縣期中）計(jì)算：（1?152）×（1?162）×（1A．101200 B．101125 C．101100【分析】根據(jù)a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）展開，中間的數(shù)全部約分，只剩下第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)相乘，從而得出答案．【解答】解：原式＝（1?15）×（1+15）×（1?16）×（1+16）×（1?17）×（1=4=4=101故選：B．【變式3-1】（2022秋?碾子山區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2．【分析】利用平方差公式展開并合并同類項(xiàng)，然后把x、y的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2），＝4x2﹣y2﹣4y2+x2，＝5x2﹣5y2，當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15．【變式3-2】（2022春?乳山市期末）用乘法公式進(jìn)行計(jì)算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【分析】平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【解答】解：（1）20192﹣2018×2020＝20192﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20192﹣（20222﹣1）＝1；（2）112+13×66+392＝112+13×2×3×11+392＝112+2×11×39+392＝（11+39）2＝502＝2500．【變式3-3】（2022春?順德區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）【分析】原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（264+1）＝（24﹣1）（24+1）…（264+1）＝…＝（264﹣1）（264+1）＝2128﹣1．【題型4利用乘法公式求值】【例4】（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，則ab的值為（）A．?32 B．32 【分析】根據(jù)a2﹣b2＝16得到（a+b）2（a﹣b）2＝256，再由（a+b）2＝8，求出（a﹣b）2＝32，最后根據(jù)ab=(a+b【解答】解：∵a2﹣b2＝16，∴（a+b）（a﹣b）＝16，∴（a+b）2（a﹣b）2＝256，∵（a+b）2＝8，∴（a﹣b）2＝32，∴ab=(a+b故選：C．【變式4-1】（2022春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．【分析】原式利用平方差公式分解，變形后將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣900．【變式4-2】（2022春?雙峰縣期中）若x、y滿足x2+y2=54，xy（1）（x+y）2（2）x4+y4．【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵x2+y2=54，xy∴原式＝x2+y2+2xy=54?（2）∵x2+y2=54，xy∴原式＝（x2+y2）2﹣2x2y2=25【變式4-3】（2022春?包河區(qū)期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣m）2的值為（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【分析】利用完全平方公式變形即可．【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．∴（2022﹣m）2+（2022﹣m）2＝[（2022﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2022﹣m）＝4+2×2021＝4046．故選：A．【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】【例5】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長(zhǎng)方形變換到圖乙位置，你能根據(jù)兩個(gè)圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【分析】利用兩個(gè)圖形面積之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖，圖甲中①、②的總面積為（a+b）（a﹣b），圖乙中①、②的總面積可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2，因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故選：A．【變式5-1】（2022春?樂(lè)平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計(jì)算這個(gè)圖的面積，可驗(yàn)證整式乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代數(shù)式表示各個(gè)部分以及總面積即可得出答案．【解答】解：大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，因此面積為（a+b）2，四個(gè)部分的面積分別為a2、ab、ab、b2，由面積之間的關(guān)系得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選：C．【變式5-2】（2022春?錦州期末）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為（）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9 C．a(chǎn)（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】用代數(shù)式分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可．【解答】解：圖1中，陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣32＝a2﹣9，圖2是長(zhǎng)為a+3，寬為a﹣3的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+3）（a﹣3），所以有（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故選：D．【變式5-3】（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為（x+a）的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為a的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)平行四邊形，由左右兩個(gè)陰影部分面積，可以得到一個(gè)恒等式是（）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【分析】根據(jù)陰影部分面積相等得到恒等式即可．【解答】解：第一幅圖陰影部分面積＝（x+a）2﹣a2，第二幅圖陰影部分面積＝（x+a+a）x＝x（x+2a），∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），故選：A．【題型6乘法公式的應(yīng)用】【例6】（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長(zhǎng)為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形（無(wú)縫隙不重合）則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2【分析】由圖形可知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為兩正方形的和，寬為兩長(zhǎng)方形的差，據(jù)此可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，長(zhǎng)方形的面積為[（a+5）+（a+2）][（a+5）﹣（a+2）]＝3（2a+7）＝（6a+21）cm，故選：D．【變式6-1】（2022秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個(gè)長(zhǎng)方形，分別延長(zhǎng)AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點(diǎn)，構(gòu)成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【分析】設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面積為（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：）設(shè)DE＝a，DG＝b，則a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面積為：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．【變式6-2】（2022春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長(zhǎng)方形木板被分割成2個(gè)大小一樣的大正方形①，1個(gè)小正方形②和2個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形③后，如圖擺放，且每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積為16，則標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積是（）A．16 B．14 C．12 D．10【分析】設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為x，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為y，根據(jù)圖形及已知條件可將③長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬表示出來(lái)，再根據(jù)每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積均為16及大長(zhǎng)方形的面積為100，得出x2與y2的數(shù)量關(guān)系，然后解得y2即可．【解答】解：設(shè)標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)為x，標(biāo)號(hào)為②的正方形的邊長(zhǎng)為y，則標(biāo)號(hào)為③的長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（x+y），寬為（x﹣y），∵每個(gè)小長(zhǎng)方形③的面積均為16，∴（x+y）（x﹣y）＝16，∴x2﹣y2＝16，∴x2＝16+y2∵大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于標(biāo)號(hào)為③的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)的和，寬等于標(biāo)號(hào)為③的小長(zhǎng)方形的寬與標(biāo)號(hào)為①的正方形的邊長(zhǎng)的和，∴大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：[（x+y）+x]＝2x+y，寬為：[（x﹣y）+x]＝2x﹣y，∵大長(zhǎng)方形的面積為100，∴（2x+y）（2x﹣y）＝100，∴4x2﹣y2＝100，∴4（16+y2）﹣y2＝100，∴y2＝12，即標(biāo)號(hào)為②的正方形的面積為y2＝12．故選：C．【變式6-3】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）如圖，我校一塊邊長(zhǎng)為2x米的正方形空地是八年級(jí)1﹣4班的衛(wèi)生區(qū)，學(xué)校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個(gè)班級(jí)所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？【分析】（1）結(jié)合圖形、根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)圖形分別表示出2班的衛(wèi)生區(qū)的面積和1班的衛(wèi)生區(qū)，根據(jù)平方差公式和完全平方公式化簡(jiǎn)、求差即可．【解答】解：（1）八年3班的衛(wèi)生區(qū)的面積＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積＝（x﹣2y）[2x﹣（x﹣2y）]＝x2﹣4y2；（2）[2x﹣（x﹣2y）]2﹣（x﹣2y）2＝8xy．答：2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多8xy平方米．【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】【例7】（2008秋?上海校級(jí)期中）我們已經(jīng)知道利用圖形中面積的等量關(guān)系可以得到某些數(shù)學(xué)公式，如圖一，我們可以得到兩數(shù)差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）請(qǐng)你在圖二中，標(biāo)上相應(yīng)的字母，使其能夠得到兩數(shù)和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）圖三是邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關(guān)系，能驗(yàn)證公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗(yàn)證公式成立，請(qǐng)?jiān)嚠嫵鲆粋€(gè)這樣的圖形，并標(biāo)上相應(yīng)的字母．【分析】（1）此題只需將大正方形的邊長(zhǎng)表示為a，小正方形的邊長(zhǎng)表示為b即可，（2）此題只需將兩個(gè)圖形的面積表示出來(lái)寫成等式即可；（3）此題還可以拼成一個(gè)矩形來(lái)驗(yàn)證公式的成立．【解答】解：（1）．（2）根據(jù)兩圖形求得兩圖形的面積分別為：S1＝a2﹣b2；S2=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣（3）拼成的圖形如下圖所示：【變式7-1】（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)中有很多恒等式可以用圖形的面積來(lái)得到．如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2；如圖2，若將陰影部分裁剪下來(lái)，重新拼成一個(gè)矩形，它的長(zhǎng)是a+b，寬是a﹣b，比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）觀察圖3，請(qǐng)你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）觀察圖4，請(qǐng)寫出圖4所表示的代數(shù)恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）現(xiàn)有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖5所示，請(qǐng)你用拼圖的方法推出一個(gè)恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照?qǐng)D4畫出你的拼圖并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)．【分析】（1）利用完全平方公式找出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系即可；（2）根據(jù)面積的兩種表達(dá)方式得到圖4所表示的代數(shù)恒等式；（3）由已知的恒等式，畫出相應(yīng)的圖形即可．【解答】解：（1）（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個(gè)恒等式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（2）圖4所表示的代數(shù)恒等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（3）如圖所示：故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．【變式7-2】（2022春?武侯區(qū)校級(jí)期中）[知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．例如：如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）觀察圖②，請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問(wèn)題：若x+y＝6，xy=112，求（x﹣y）（3）根據(jù)圖③，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3【分析】（1）觀察圖②大正方形面積減中間小正方形面積等于4個(gè)長(zhǎng)方形面積；（2）靈活利用上題得出的結(jié)論，靈活計(jì)算求解．（3）利用兩種方式求解長(zhǎng)方體的體積，得出關(guān)系式．（4）利用上題得出得關(guān)系式，進(jìn)行變換，最終求出答案．【解答】解：（1）用兩種方法表示出4個(gè)長(zhǎng)方形的面積：即大正方形面積減中間小正方形面積等于4個(gè)長(zhǎng)方形面積，可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（2）由題（1）可知：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，∴﹣（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣4×11（3）利用兩種方式求解長(zhǎng)方體得體積，即可得出關(guān)系式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．（4）由（3）可知a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝（a+b）3﹣3ab（a+b），把a(bǔ)+b＝3，ab＝1代入得：a3+b3＝33﹣3×1×3＝18．∴a3【變式7-3】（2022春?賀蘭縣期中）在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較，利用圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結(jié)構(gòu)，同時(shí)感受到這樣的抽象代數(shù)運(yùn)算也有直觀的背景．這種利用面積關(guān)系解決問(wèn)題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．請(qǐng)你利用上述方法解決下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數(shù)恒等式（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展應(yīng)用】提出問(wèn)題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個(gè)正數(shù)的乘積，以47×43為例：（1）畫長(zhǎng)為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個(gè)47×43的矩形從右邊切下長(zhǎng)40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面．（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果．請(qǐng)你參照上述幾何建模步驟，計(jì)算57×53．要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標(biāo)注有關(guān)線段）歸納提煉：兩個(gè)十位數(shù)字相同，并且個(gè)位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）：十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果證明上述速算方法的正確性．【分析】（1）利用面積法即可解決問(wèn)題；（2）模仿例題，構(gòu)建幾何模型，利用面積法計(jì)算即可；拓展應(yīng)用：模仿例題計(jì)算57×53即可；探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可；【解答】解：（1）圖（1）所表示的代數(shù)恒等式：（x+y）?2x＝2x2+2xy，圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）幾何圖形如圖所示：拓展應(yīng)用：（1）①幾何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位數(shù)字5加1的和與5相乘，再乘以100，加上個(gè)位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；故答案為十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個(gè)個(gè)位數(shù)字的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果；【題型8整式乘法中的新定義問(wèn)題】【例8】（2022春?嘉興期中）定義：對(duì)于三個(gè)不是同類項(xiàng)的單項(xiàng)式A，B，C，若A+B+C可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項(xiàng)為“完全搭配項(xiàng)”，若單項(xiàng)式x2，4和m是完全搭配項(xiàng)，則m可能是4x或﹣4x或116x4【分析】分為三種情況：①m為第二項(xiàng)時(shí)，②當(dāng)m為第一項(xiàng)時(shí)，根據(jù)完全平方式求出m即可．【解答】解：①x2±4x+4，此時(shí)m＝±4x，②（14x2）2+x2+4，此時(shí)m＝（14x2）2=1故答案為：4x或﹣4x或116x4【變式8-1】（2022春?成華區(qū)月考）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘?cái)?shù)”．（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說(shuō)明理由；（2）試說(shuō)明神秘?cái)?shù)能被4整除；（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看能否把28和2012這兩個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可判斷；（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可；（3）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：（1）是，理由如下：∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022，∴28是“神秘?cái)?shù)”；2012是“神秘?cái)?shù)”；（2）“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），∴“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)；（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為：2k+1，2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，而由（2）知“神秘?cái)?shù)”是4的奇數(shù)倍，不是偶數(shù)倍，但8不是4的偶數(shù)倍，所以兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．【變式8-2】（2022春?博山區(qū)期末）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為：“奇異數(shù)”．如8，16，24都是“奇異數(shù)”．（1）寫出兩個(gè)奇異數(shù)（8，16，24除外）；（2）試問(wèn)偶數(shù)6050是不是奇異數(shù)？為什么？【分析】（1）根據(jù)奇異數(shù)的定義判斷即可；（2）偶數(shù)6050不是奇異數(shù)，根據(jù)兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，即（n+2）2﹣n2＝6050，求出n的值，判斷即可．【解答】解：（1）奇異數(shù)可以為32，40；（2）不是奇異數(shù)，理由為：假設(shè)偶數(shù)6050為奇異數(shù)，即為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，可設(shè)（n+2）2﹣n2＝6050，分解因式得：2（2n+2）＝6050，解得：n＝1511.5，可得n不是奇數(shù)，不符合題意，則偶數(shù)6050不是奇異數(shù)．【變式8-3】（2022?永川區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，否則稱這個(gè)正整數(shù)為“非智慧數(shù)”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧數(shù)”；而1，2，4，…，都是“非智慧數(shù)”．對(duì)于“智慧數(shù)”，有如下結(jié)論：①設(shè)k為正整數(shù)（k≥2），則k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；②設(shè)k為正整數(shù)（k≥3），則k2﹣（k﹣2）2＝4（k﹣1）．∴都是“智慧數(shù)”．（1）補(bǔ)全結(jié)論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；（2）求出從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”．【分析】（1）由平方差公式即可得出答案，根據(jù)①②的結(jié)論除去奇數(shù)及4的正整數(shù)倍數(shù)，即可得所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”；（2）根據(jù)①②可判斷出在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3；k為正整數(shù)時(shí)，則4k+1，4k+3是奇數(shù)，4k+2，4k+4是偶數(shù)，而4k+2是“非智慧數(shù)”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧數(shù)“．從而根據(jù)循環(huán)規(guī)律判斷出結(jié)果．【解答】解：（1）k2﹣（k﹣2）2＝（k+k﹣2）（k﹣k+2）＝2（2k﹣2）＝4（k﹣1）；智慧數(shù)是除4以外，所有4的正整數(shù)倍數(shù)．根據(jù)①，除去奇數(shù)：7，9，11，13，15，17，19；根據(jù)②，除去4的正整數(shù)倍數(shù)：8，12，16．則所有大于5而小于20的“非智慧數(shù)”有：6，10，14，18．（2）在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中，只有1個(gè)“智慧數(shù)”3．當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則4k+1，4k+3是奇數(shù)，4k+2，4k+4是偶數(shù)，而4k+2是“非智慧數(shù)”，4k+1，4k+3，4k+4是“智慧數(shù)”．∴在從1開始的正整數(shù)中前4個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后每連續(xù)4個(gè)數(shù)中有3個(gè)“智慧數(shù)”．∵100＝1+3×33，∴4×（33+1）＝136．又∵136后面的3個(gè)“智慧數(shù)”為137，139，140，∴從1開始的正整數(shù)中從小到大排列的第103個(gè)“智慧數(shù)”是140．【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】【例9】（2022春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據(jù)規(guī)律計(jì)算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（）A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C．22019?13【分析】先計(jì)算（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2019﹣1，然后再計(jì)算所給式子．【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1=2故選：D．【變式9-1】（2022?豐順縣校級(jí)開學(xué)）解答下列問(wèn)題．（1）觀察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…（2）通過(guò)觀察、歸納，請(qǐng)你用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；（3）你能運(yùn)用平方差公式來(lái)說(shuō)明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？【分析】（1）觀察算式，補(bǔ)全空白即可；（2）觀察算式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（3）利用平方差公式證明即可．【解答】解：（1）觀察下列算式：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×3；②92﹣72＝8×4；③112﹣92＝8×5；④132﹣112＝8×6；…故答案為：3，7，112，11，6；（1）通過(guò)觀察歸納，猜想第n個(gè)式子為（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）證明：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝4n?2＝8n，所以（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n得證．【變式9-2】（2022秋?肥城市期中）我們知道，1+2+3+…+n=n(n+1)首先，我們知道：（n+1）2＝n2+2n+1，變形一下，就是（n+1）2﹣n2＝2n+1，依次給n一些特殊的值：1，2，3，…，我們就能得到下面一列式子：22﹣12＝2×1+1；32﹣22＝2×2+1；42﹣32＝2×3+1；…（n+1）2﹣n2＝2×n+1；觀察這列式子，如果把它們所有的等式兩端左右相加，抵消掉對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，我們可以得到（n+1）2﹣12＝2×（1+2+3+…+n）+n，觀察這個(gè)式子，等式右邊小括號(hào)內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就是：（n+1）2﹣12＝2×S+n，把S表示出來(lái)，得到：S＝1+2+3+…+n=n(n+1)用這個(gè)思路，可以求很多你以前不知道的和，請(qǐng)你仿照這個(gè)推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下S＝12+22+32+…+n2的值．【分析】根據(jù)已知等式得到n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推導(dǎo)出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，∴當(dāng)式中的n從1、2、3、依次取到n時(shí)，就可得下列n個(gè)等式：13﹣03＝3﹣3+1，23﹣13＝3×22﹣3×2+1，33﹣23＝3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3＝3n2﹣3n+1，將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：n3＝3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+42+…+n2=n3+3(1+2+3+?+n)?n3=1【變式9-3】（2022春?漳浦縣期中）你能化簡(jiǎn)（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）嗎？我們不妨先從簡(jiǎn)單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1（2）利用這個(gè)結(jié)論，你能解決下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，則a6等于多少？【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可確定出結(jié)果；（2）利用得出的結(jié)果將原式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；故答案為：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，則2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，∴a6＝1．第9章整式乘法與因式分解章末題型過(guò)關(guān)卷【蘇科版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若4x2+k?1x+25A．11 B．21 C．21或?19 D．11或?19【答案】C【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得出答案.【詳解】解：4x∴k?1=±2×2×5解得：k=21或k=?19，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)兵團(tuán)二中?？计谥校┮箈2+ax+5??6x3的展開式中不含A．?1 B．0 C．16 【答案】B【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算化簡(jiǎn)，再令x4【詳解】解：x==?6x∵x2+ax+5?∴?6a=0，∴a=0；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．3．（3分）（2022秋·上海奉賢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果計(jì)算(x+a)(x?2)的結(jié)果是一個(gè)二項(xiàng)式，那么a的值是（

）A．1 B．2或0 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)，根據(jù)結(jié)果是一個(gè)二項(xiàng)式，即可求出a的值．【詳解】解：∵(x+a)(x?2)=x∴a?2=0或?2a=0，∴a=2或0，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、二項(xiàng)式的定義，理解二項(xiàng)式的含義是解題的關(guān)鍵．4．（3分）（2022春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┈F(xiàn)定義運(yùn)算“△”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b，都有a△b=ab+b，例如：3△5=3×5+5=20，由此可知x?1△x等于（

A．x2 B．x2?2x C．x【答案】A【分析】原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：x?1△x=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，讀懂題目中定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如8=32?12A．614 B．624 C．634 D．642【答案】B【分析】根據(jù)2n+12【詳解】解：依題意設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)為2n?1,2n+1，∴2n+1解得：n≤12∵25∴在不超過(guò)100的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為：3=?==625?1=624故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，理解“和諧數(shù)”的意義是解決問(wèn)題的前提，得出計(jì)算結(jié)果的規(guī)律性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（3分）（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)河南省淮濱縣第一中學(xué)校考期末）若x2+x?2=0，則x3A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020【答案】C【分析】將x2+x?2=0變形為x2=?x+2，【詳解】解：∵x2∴x2=?x+2，∴x=x·=x·(?x+2)+2==2+2016=2018．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)已知代數(shù)式的值求新代數(shù)式的值，將已知條件適當(dāng)變形，代入所求代數(shù)式求解是解題關(guān)鍵．7．（3分）（2022秋·四川巴中·八年級(jí)校考期中）如圖：正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類若干張，要拼一個(gè)長(zhǎng)為a+2b，寬為2a+b的大長(zhǎng)方形，則需C類卡片張數(shù)為（

）A．5 B．4 C．3 D．6【答案】A【分析】先分別求出卡片A、B、C的面積，然后再求得大長(zhǎng)方形的面積，即可確定C類卡片張數(shù)．【詳解】解：∵卡片A、B、C的面積分別為a2、∴大長(zhǎng)方形是由2個(gè)A類正方形、5個(gè)C類長(zhǎng)方形、2個(gè)B類正方形組成．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．（3分）（2022秋·吉林·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)正方形拼接在一起，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12b2 B．12a2【答案】A【分析】先將原圖形補(bǔ)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，再用大長(zhǎng)方形的面積減去陰影周圍三個(gè)直角三角形的面積即可求解．【詳解】解：如圖，圖中陰影部分的面積為a+b=ab+=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的幾何應(yīng)用，會(huì)利用割補(bǔ)法求解不規(guī)則圖形的面積是解答的關(guān)鍵．9．（3分）（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？计谥校┮阎猘＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】把已知的式子化成12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2【詳解】原式=12（2a2+2b2+2c2=12[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2=12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=12=3，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，代數(shù)式的求值，正確利用因式分解的方法把所求的式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵．10．（3分）（2022秋·重慶·八年級(jí)重慶市兼善中學(xué)校聯(lián)考期中）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“因式分解法”產(chǎn)生的密碼方便記憶，如：對(duì)于多項(xiàng)式x4?y4，因式分解的結(jié)果是x?yx+yx2+y2，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值為x?y=0，x+y=18，A．201030 B．201010 C．301020 D．203010【答案】B【詳解】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），當(dāng)x=20，y=10時(shí)，x=20，x+y=30，x-y=10，組成密碼的數(shù)字應(yīng)包括20，30，10，所以組成的密碼不可能是201010．故選B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)校考期中）若5am+1b2與3an+2bn的積是15a8b4，則nm＝_____．【答案】8【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算，然后根據(jù)相同字母的指數(shù)相等列方程組即可求出m、n．【詳解】解：∵5a∴m+n+3=82+n=4解方程組得：m=3n=2∴n故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟記法則是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2022秋·上?！て吣昙?jí)期中）計(jì)算：?2a【答案】?6【分析】先計(jì)算整式的乘法，再計(jì)算整式的加減法即可得．【詳解】原式=?a=?6a故答案為：?6a【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法與加減法，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．（3分）（2022春·四川成都·八年級(jí)校考期中）已知二次三項(xiàng)式x2?4x+m有一個(gè)因式是(x?3)，則【答案】3【分析】根據(jù)二次三項(xiàng)式x2?4x+m有一個(gè)因式是(x?3)，且x2【詳解】解：∵二次三項(xiàng)式x2?4x+m有一個(gè)因式是x2∴x?m=x?3，m=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是湊因式(x?3)．14．（3分）（2022春·廣東河源·八年級(jí)校考期中）若a＋b=2，ab=1，則【答案】2【分析】利用完全平方公式變形，將a+b與ab代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵a＋b=2，∴a2故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15．（3分）（2022春·山東青島·七年級(jí)校考期中）觀察下列各式的規(guī)律：(a?b)(a+b)=(a?b)(a?b)…可得到(a?b)a【答案】a【分析】發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可得到計(jì)算結(jié)果．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得：(a?b)a故答案為：a2021【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2022春·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一個(gè)大長(zhǎng)方形ABCD分割成5小塊，其中長(zhǎng)方形①號(hào)和②號(hào)，③號(hào)和④號(hào)的形狀和大小分別相同，⑤號(hào)是正方形，則⑤中的面積與大長(zhǎng)方形ABCD的面積之比為_______．【答案】8∶21．【分析】設(shè)長(zhǎng)方形①號(hào)和②號(hào)的長(zhǎng)為a，寬為b，根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等及正方形的四邊相等分別表示出相關(guān)線段長(zhǎng)，最后根據(jù)AB＝CD得到a＝3b，由此可得⑤號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為4b，大長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為7b，寬為6b，由此即可求得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)長(zhǎng)方形①號(hào)和②號(hào)的長(zhǎng)為a，寬為b，則CE＝FG＝FM＝a，CG＝EF＝FH＝b，∴⑤號(hào)正方形的邊長(zhǎng)DK＝DE＝ME＝FM＋EF＝a＋b，長(zhǎng)方形③號(hào)和④號(hào)的寬AK＝LM＝BL＝HG＝FG－FH＝a－b，∴大長(zhǎng)方形ABCD的寬BC＝AD＝AK＋DK＝a－b＋a＋b＝2a，∴長(zhǎng)方形③號(hào)和④號(hào)的長(zhǎng)AL＝BG＝BC－CG＝2a－b，∴AB＝AL＋BL＝2a－b＋a－b＝3a－2b，CD＝DE＋CE＝a＋b＋a＝2a＋b∵大長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AB＝CD，∴3a－2b＝2a＋b，解得：a＝3b，∴⑤號(hào)正方形的邊長(zhǎng)DK＝a＋b＝4b，大長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)CD＝2a＋b＝7b，大長(zhǎng)方形ABCD的寬AD＝2a＝6b，∴⑤中的面積與大長(zhǎng)方形ABCD的面積之比＝（4b）2∶（6b·7b）＝16b2∶42b2＝8∶21，故答案為：8∶21．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等與正方形的四邊相等的性質(zhì)以及它們的面積計(jì)算，能夠正確設(shè)出長(zhǎng)方形①號(hào)和②號(hào)的長(zhǎng)為a，寬為b，利用相關(guān)圖形的性質(zhì)求得a＝3b是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)x(2)x?1【答案】(1)xy(2)x+1【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；（1）先利用整式的乘法計(jì)算x?1x+3【詳解】（1）解：x=xy=xy（2）解：x?1===【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2022秋·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：已知單項(xiàng)式?2xm+4y2與x3【答案】4m【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式?2xm+4y2與x3y的積，根據(jù)同類項(xiàng)定義可得【詳解】解：?2x∵單項(xiàng)式?2xm+4y2與∴m+7=6，解得m=?1，原式=6=4當(dāng)m=?1時(shí)，原式=4×?1【點(diǎn)睛】此題主要考查了同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式以及整式乘法的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫同類項(xiàng)．19．（8分）（2022秋·上?！て吣昙?jí)校考期中）對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)abcd(1)按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你計(jì)算?24(2)按規(guī)定請(qǐng)寫出a3(3)當(dāng)a取?2的相反數(shù)時(shí)，請(qǐng)計(jì)算a3【答案】(1)?2(2)2(3)264【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義的運(yùn)算法則及整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）將a=2代入（2）中結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：?2431.2（2）解：a=4=4=2a（3）解：?2的相反數(shù)是2，當(dāng)a=2時(shí)，a3+6a2a【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握新定義的運(yùn)算法則并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．（8分）（2022秋·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：(2x+a)(3x+b)．甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”看成了“?a”，得到的結(jié)果為6x2+11x?10；乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x(1)求正確的a、b的值．(2)計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果．【答案】(1)a=?5(2)6【分析】（1）按乙錯(cuò)誤的說(shuō)法得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；（2）把a(bǔ)，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．【詳解】（1）(2x?a)(3x+b)=6=6=6x(2x+a)(x+b)=2=2=2x∴2b?3a=112b+a=?9∴a=?5b=?2（2）(2x?5)(3x?2)=6=6x【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則分別進(jìn)行計(jì)算，解題時(shí)要細(xì)心．21．（8分）（2022秋·重慶萬(wàn)州·八年級(jí)重慶市萬(wàn)州新田中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：若m2?2mn+2n2?8n+16=0解：∵m2∴m∴m?n2+n?42=0∴m?n2=0且∴n=4，m=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)a2+b2?4a+4=0(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c，其中a2+b2?10a?26b+194=0【答案】(1)2；0；(2)△ABC的周長(zhǎng)為30．【分析】（1）模仿材料將方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非負(fù)性即可得到字母的值，從而得到答案．（2）模仿材料將方程配成完全平方和等于0的形式，再由平方的非負(fù)性即可得到字母的值，最后根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵a2∴(a∴(a?2)2∵(a?2)2≥0，∴(a?2)2=0，∴a=2，（2）∵a2∴a2∴(a?5)2∵(a?5)2≥0，∴(a?5)2=0，∴a=5，∵c=12，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+12+13=30．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，因式分解的應(yīng)用．掌握平方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．22．（8分）（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校考期中）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖1可以得到a+2ba+b(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)小明同學(xué)又用x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為5a+7b8a+5b長(zhǎng)方形，那么x+y+z=【答案】(1)(a+b+c)(2)45(3)156【分析】（1）直接求得正方形的面積，然后再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可；（2）將a+b+c=11，ab+bc+ac=38，代入（1）中得到的關(guān)系式，然后進(jìn)行計(jì)算即可；（3）將x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形的面積的和等于(5a+7b)(8a+5b)即可得到答案．【詳解】（1）解：(a+b+c)2（2）a==121?76=45（3）由題意可知：xaxa∴x=40，y=35，z=81，∴x+y+z=156．故答案為：156．【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式的應(yīng)用，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．23．（8分）（2022秋·上海嘉定·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形ABCD和長(zhǎng)方形CEFG，其中AB=a，BC=b，且b>a>0．(1)圖1中陰影部分的面積為．（用代數(shù)式表示）(2)如圖2，分別連接BD、DF、BF，試比較△BCD的面積與△DFG的面積的大小，并說(shuō)明理由．(3)求圖2中陰影部分的面積，寫出解題過(guò)程．（用代數(shù)式表示）【答案】(1)a(2)S△BCD(3)1【分析】（1）兩個(gè)形狀大小相同的長(zhǎng)方形ABCD和長(zhǎng)方形CEFG，可知AB=DC=DH=a，由此可求出陰影部分的面積；（2）△BCD的面積是12ab，△DFG的面積是（3）陰影部分的面積是梯形BCGH的面積減去S△DFG，再減去S【詳解】（1）解：根據(jù)圖示可知，AB=DC=DH=a，∴陰影部分的面積為：a2故答案為：a2（2）解：根據(jù)圖示可知，DC=AB=a，DG=b?a，F(xiàn)G=a，S△BCD=1∵b>a>0，∴S△BCD（3）解：S梯形BCGF=12∴陰影部分的面積為S梯形BCGF?∴陰影部分的面積為12【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的乘除法與圖形面積的計(jì)算，掌握?qǐng)D形面積的計(jì)算公式，整式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．專題9.3因式分解【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1因式分解的意義】 1【題型2利用因式分解求系數(shù)的值】 3【題型3利用公式法進(jìn)行因式分解求代數(shù)式的值】 4【題型4利用平方差公式進(jìn)行因式分解確定整除問(wèn)題】 6【題型5因式分解】 7【題型6利用添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 9【題型7利用拆項(xiàng)進(jìn)行因式分解】 10【題型8利用因式分解確定三角形的形狀】 12【題型9因式分解在閱讀理解中的運(yùn)用】 13