分類討論思想專練

一、選擇題

1.已知二次函數(shù)/）=加+2以+1在區(qū)間［-3,2］上的最大值為4,則a

等于（）

3

A.—3B.—石

O

C.3D.裴一3

答案D

解析當(dāng)。>0時，7（x）在［-3,-1］上單調(diào)遞減，在［-1,2］上單調(diào)遞增，

3

可知當(dāng)x=2時，於）取得最大值，即8。+1=4,解得〃=和當(dāng)。<0時，易知/U）

在尤=-1處取得最大值，即-。+1=4,所以。=-3.綜上可知，或-3.故

選D.

x3-x2+1,x<0,

2.（2022.石家莊市高中畢業(yè)班綜合訓(xùn)練）已知函數(shù)7U）=

［2-,x20,

貝lJA?+2）次3光）的解集為（）

A.（2,+8）B.（-00,1）U（2,+8）

C.（-8,-1）D.（1,2）

答案B

解析當(dāng)x<0時，/'。）=3%2一2心>0恒成立，所以凡r）在（一8,0）上單調(diào)遞

增，且/U）<1；又當(dāng)尤20時次x）=2',所以/U）在［0,+8）上單調(diào)遞增，且加）宓0）

=1.所以函數(shù)段）在口上單調(diào)遞增，因為凡^+2）43x）,所以爐+2>3x,解得x<l

或x>2,故選B.

3.若關(guān)于x的方程I優(yōu)-l|=2a（a>0且aWl）有兩個不等實根，則。的取值范

圍是（）

A.(O,1)U(1,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)

答案D

解析方程舊-1|=2〃伍＞0且“W1）有兩個不同實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|a-

1|與y=2a的圖象有兩個交點.

①當(dāng)0＜&＜1時，如圖1,.?.0＜2a＜l,即0＜。＜；.②當(dāng)。＞1時，如圖2,而＞=

2a＞1不符合要求.綜上，0＜。＜；.故選D.

4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別是a,b,c,且。=3,c=l,△

ABC的面積為也，則。的值為（）

A.2啦B.2s

C.2啦或2小D.小

答案C

解析由三角形面積公式，得Bx3XlXsiM=啦，故sinA=^.因為sin2A

_______Ig]j

+cos2A=1,所以cosA=±^Jl^-sin2A=1-^=±§.①當(dāng)cosA=§時，由余弦定

理，得tz2=+c2-2bccosA=32+I2-2X3X1X-=8,所以〃=2吸.②當(dāng)cosA

=—g時，由余弦定理，得。2=62+c2—2bccosA=32+12—2X3X1x（—，=12,

所以a=2小.綜上所述，a=2也或2小.故選C.

5.（多選X2021.河北省石家莊高三檢測）已知中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的

雙曲線C與橢圓5+^=1有相同的焦距，且一條漸近線方程為x-2），=0,則雙

曲線C的方程可能為（）

/2

A.^-y2=1B.W-上v1

答案AD

解析在橢圓方+￡=1中，0=正7=小.因為雙曲線C與橢圓5+5=1

有相同的焦距，且一條漸近線方程為X-2》=0,所以可設(shè)雙曲線方程為尸=

MW0）,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為泰-5=1.當(dāng)丸>0時，c=W+42=小,解得2=1,所

以雙曲線。的方程為，-丁=1；當(dāng)％<0時，」=""羽=小,解得4=-1,

所以雙曲線。的方程為V一，=1.綜上，雙曲線。的方程為，一丁=1或爐一，=

1,故選AD.

6.（多選）（2021.江蘇省徐州市高三階段考試）設(shè)等比數(shù)列｛z｝的公比為q,其

42020-1

前〃項和為S,前〃項積為7”,并滿足條件內(nèi)>1,儂203>1,嬴h°?下列

結(jié)論正確的是（）

A.S2020<S2021

B.42020^2022-1<0

C.不。21是數(shù)列｛〃｝中的最大值

D.數(shù)列｛4｝無最大值

答案AB

解析當(dāng)q<0時，〃202042021=O^020（J<0,不成立；當(dāng)—21時，。2020>1,02021>1,

42020-1?.八~_八

r<0不成乂；故0<q<1,且。2020>1,0<?2（）21<1,故S202I>52020,A正確；0202042（）22

42021-1

-1”如「1<0,故B正確；乃020是數(shù)列｛，｝中的最大值，C,D錯誤.故選AB.

二、填空題

7.已知曲線y=上一點P（2,1）,則過點P的切線方程為

答案⑵一3>-16=0或版一3），+2=0

解析①當(dāng)P為切點時，由y

得y'X=2=4,即過點P的切線方程的斜率為4.

Q

則所求的切線方程是y-W=4(x-2),

BP12x-3y-16=0.

②當(dāng)P點不是切點時，設(shè)切點為d*。，58),

則切線方程為y-最=x8(x-xo),

因為切線過點?2,9,把P點的坐標(biāo)代入以上切線方程，求得刈=-1或

無0=2(即點P,舍去)，所以切點為。［一1，即所求切線方程為3尤-3y+2

=0.

綜上所述，過點P的切線方程為12x-3y-16=0或3尤-3)，+2=0.

X2-QX+4,X<\,

8.(2022.重慶高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測)若函數(shù)次光)=vi、?

有兩個不同的零點，則實數(shù)。的取值范圍為.

答案(-8,白

解析當(dāng)X<1時，由/=。。-1),y=a(x—l)恒過定點(1,0),作出y=f與y

的圖象，如圖，

)=?(.v-I)

由圖象知?<0時，7U)有兩個零點；。=0時，/U)有一個零點；。>0時，fix)

了一1x—12—x

無零點.當(dāng)時，由a=令g(x)=-^r,貝Ijg'W=貝"=2時,

g(x)取得最大值g(2)=2,貝Ia=o或。=點時，/)有一個零點；0＜4＜白時，段)

有兩個零點；"0或。＞點時，/)無零點.綜上所述，當(dāng)44-8,時，於)

有兩個零點.

9.(2021.山東濟(jì)寧嘉祥縣第一中學(xué)高三四模)將函數(shù)段)=2皿(2%+目的圖象

7T

向右平移五個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到g(x)的圖象，若g(Xl)g(X2)

=9,且xi,%2€[-2TI,2兀],則sin(xi+X2)的值為.

答案1或-1

解析由題意，得g(x)=2sin2x+1,g(x)的最大值為3,最小值為-1,因為

兀

g(xi)g(X2)=9,貝g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+1=3,得2x=2kn+1,kWZ,

CI,兀，LL、，17兀3兀兀5兀]

貝lJx=E+z，kez,又XI,X2E[-2n,2K],所以尤I,垃氣一彳，一彳，4Tj-

兀兀7C

設(shè)Xl=Z17t+1,X2=k27t+^,k\,6Z,則XI+X2=(Z1+女2)兀+5,則當(dāng)Zl+%2為

偶數(shù)(例如依=一1,XI=-竽，k2=l,X2=,1時，Sin(xi+X2)=1,當(dāng)心+依為奇

數(shù)(例如依=0,%1=第依=1,%2=引時，sin(xi+X2)=-1.綜上可得，sin(xi+X2)

的值為1或-L

三、解答題

10.設(shè)各項不為0的數(shù)列｛“〃｝中，前〃項和為的，且s=-29,2S,,=anan+

(1)求數(shù)列｛&”｝的通項公式；

⑵求S的最小值.

解(1)...3二一29,2S/=〃〃〃〃+1,①

??2S〃+1=Cln+\Qn+2,(2)

②-①得2al+I=Cln+\｛Cln+2—Cln),

■「Q〃+1WO,「?+2—=2,

數(shù)列｛Z｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列，

又ai=-29,

n-1

二當(dāng)〃為奇數(shù)時，?！?0+”一義2=〃-30；

在①中，令〃=1,得2s1=2ai=

.*.672=2,

又?jǐn)?shù)列｛“”｝的偶數(shù)項成等差數(shù)列，

n-2

.?.當(dāng)〃為偶數(shù)時，a?=4Z2+_y-X2=/2；

〃-30,〃為奇數(shù)，

'''a，，=[n,〃為偶數(shù).

(2)由(1)可知,當(dāng)〃為偶數(shù)時，a?=n>0,

要使S最小，〃必然是奇數(shù).

.??當(dāng)〃為奇數(shù)時，

n+1n-1

-29+n-30)-^-(2+n-1)

Sn=2+2

/-29〃-30

=2，

且y=/-29x-30的圖象的對稱軸為直線x=多=14.5,

■?1n€N\且〃是奇數(shù)，

152-29X15-30

?二當(dāng)〃二15時，(S〃)min=S15==一120.

11.如圖，A,B,C,。為空間四點.在△ABC中，AB=2,AC=BC=?

等邊三角形以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動.

(1)當(dāng)平面平面ABC時，求CD；

(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有ABIC。？證明你的結(jié)論.

解(1)如圖，取的中點已連接。E,CE,

?.?△4。3是等邊三角形，」.?！?45.

當(dāng)平面4581平面ABC時，

平面ADBn平面ABC=AB,

平面ABC,可得OE1EC.

由已知可得。E=小，EC=\,

在RtADEC中，

CD=ylDE2+EC2=2.

(2)當(dāng)aADB以AB所在直線為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB1CD.

證明：①當(dāng)。在平面ABC內(nèi)時，

：AC=BC,AD=BD,

.■.C,。都在線段A3的垂直平分線上，則AB1CD

②當(dāng)。不在平面A3C內(nèi)時，由(1)知ABIDE.

XAC=BC,：.ABLEC.

又DE,EC為相交直線，

DE,ECu平面DEC,

.■.AB_L平面DEC,

由CDu平面DEC,得A81CD

綜上所述，當(dāng)△ADB以A8所在直線為軸轉(zhuǎn)動時，總有ABICD

12.(2022.福建晉江磁灶中學(xué)高三上階段測試(一))如圖，已知點尸為拋物線

C：的焦點，過點尸的動直線/與拋物線C交于M,N兩點，且當(dāng)

直線/的傾斜角為45。時，|MM=16.

(1)求拋物線。的方程；

(2)試確定在x軸上是否存在點尸，使得直線PM,PN關(guān)于x軸對稱？若存

在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解(1)當(dāng)直線/的傾斜角為45。時，直線/的斜率為1,

?.?庵，0),??」的方程為y=x—§

P

y=x-。，n2

由，,得f-3px+j=0.

y=2px,

設(shè)M(x\,yi),Ng,yi),貝llxi+X2=3p,

\MN\=xi+X2+p=4p=16,p=4,

???拋物線。的方程為丁=8工

(2)假設(shè)滿足條件的點P存在，設(shè)P(a,o),由⑴知網(wǎng)2,0),

①當(dāng)直線/不與x軸垂直時，設(shè)/的方程為y=k(x-2)(AW0),

iy=k(x-2),

由J,得Mx2-(4公+8)x+4A2=0,

Lr=8x,

/=(4乒+8)2-4貶43=64k2+64>0,

4/+8

XI+X2=_R,X\X2=4.

???直線尸M,PN關(guān)于x軸對稱，

k(xi-2),k(x2-2)

*PM+kpN=0,而kpM=,kpN=.

x\-aX2-a

k{x\一2)(x2-a)+k(X2-2)(xi-a)=k[2x\X2-(a+2)(xi+尤2)+4。]=-

8(Q+2)

——二0,「.〃=—2,此時P(—2,0).

②當(dāng)直線/與X軸垂直時，由拋物線的對稱性，易知PM,PN關(guān)于x軸對稱,

此時只需P與焦點/不重合即可.

綜上，存在唯一的點P(-2,0),使直線PM,PN關(guān)于x軸對稱.

13.(2022.江蘇鹽城伍佑中學(xué)高三上第一次階段考試)設(shè)/x)=xsinr+cosx,

g(x)=/+4.

⑴討論於)在［-兀，兀］上的單調(diào)性；

⑵令〃(x)=g(x)-與㈤，試證明："(幻在R上有且僅有三個零點.

解(1?(x)=sinr+xcosx-sinjv=xcosx,

令/(x)=0,又［-兀，兀］,

兀

則x=0或x=±].

故當(dāng)-兀，-&時，/(尤)>0,於)單調(diào)遞增；

當(dāng)x€(苦，0)時，>(力<0,/)單調(diào)遞減;

當(dāng)x€(0,當(dāng)時，/'(x)〉0,7U)單調(diào)遞增；

當(dāng)xwg,兀)時，/(x)<0,用:)單調(diào)遞減.

所以於)在(-兀,-守，(0,，上單調(diào)遞增,在(4,0),住兀)上單調(diào)遞減.

(2)證明：h(x)=x2+4-4xsinx-4cosx,

因為/z(0)=0,所以x=0是以幻的一個零點.

〃(一x)=(-+4-4(一x)sin(-x)-4cos(-x)=x2+4-4xsinx-4cosx=h(x),

所以以幻是偶函數(shù)，

即要確定g)在R上的零點個數(shù)，只需確定Q0時，2)的零點個數(shù)即可.

當(dāng)x>0時，hf(x)=2x-4xcosx=2x(1-2cosx),

1ji、5兀

令T(x)=0,BPcosx=2,x=］+2A?；蚓哦?2%兀(％€N).

當(dāng)x€(0,"時，h'(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

口，gn2c2小兀

且/6=5+2-謫一(0，

當(dāng)停,苧)時，〃'(x)〉0,3)單調(diào)遞增，

口25兀2兀,八

且/zlT)=~~9~+―3-+2>。，

所以〃(x)在(0,用上有唯一零點.

當(dāng)時，由于sinxWl,cos元<1,

所以A(x)=x2+4-4xsiav-dcos%。％2+4-4x-4=x2-4x=t(x),

而心)在修，+8)上單調(diào)遞增，心)2詹］〉0,

所以〃(x)>0恒成立，故3)在胃，+8)上無零點，

所以〃(X)在(0,+8)上有一個零點，

由于〃(幻是偶函數(shù)，所以力⑴在(-8,0)上有一個零點，而〃(0)=0,

綜上，/?(x)在R上有且僅有三個零點.

★***

之第三部分?jǐn)?shù)學(xué)思想專練

函數(shù)與方程思想專練

一、選擇題

1.橢圓3+尸=1的兩個焦點為回，放，過B作垂直于x軸的直線與橢圓

相交，其一交點為P,則|P@|=()

B.小

C.|D.4

答案C

解析如圖，令|PB|=ri,m=n,那么

n+rz==4,[r\+r2=4,7

=<=及=].故選C.

d-rr=(2c)2=12[r2-n=3

2.（2022?青海省西寧市高三復(fù)習(xí)檢測（一））關(guān)于x的方程cos2x-siiu+?=0,

7T

若OaW]時方程有解，則。的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.（-1,1]

C.[-1,0]D.1―8,一己

答案B

解析cos2x-sinx+a=0,a=situ-cos2x=siar-（1-sin2x）=^sinx+

5八J八.1.—1（.—,（.n

一不?OaW/，..0<smxWl,..5<sinx+產(chǎn)菱,..^<1sinx+^l-1<]吟+予

即一IvaWL.X的取值范圍為（―1,1].故選B.

3.若2，+5）￡2-，+5、則有（）

A.犬+y20B.x+yWO

C.x-yWOD.x-y^O

答案B

解析原不等式可變形為2，-5弋2-，-5）：即■-針，.故設(shè)函

數(shù)/）=2、即，/）為增函數(shù)，所以啟-》即x+yWO.故選B.

4.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求NAC8=60°,BC的

長度大于1米，且AC比A8長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則

AC最短為（）

A.（l+坐）米B.2米

C.（1+?。┟譊.（2+?。┟?/p>

答案D

解析由題意，設(shè)BC=x（x>l）米，AC=Q>0）米，貝ljAB=AC—0.5=。一0.5）

米，在△ABC中，由余弦定理得A4=40+802—2ACBCCOS60。，即（-0.5）2=

C、x2-0.25075

P+x1-tx,化簡并整理得r=-----（%>1）,即/=x-1+「+2,因為x>l,故

X—LX—I

，=%一1+晉+2,2+小（當(dāng)且僅當(dāng)x=1+坐時取等號］此時t取最小值2+小.

故選D.

5.（多選）（2021?河北邢臺高三質(zhì)檢）對于數(shù)列（叫，若存在數(shù)列｛加｝滿足加=

a〃-5（〃€N*）,則稱數(shù)列｛%｝是｛z｝的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”敘

述正確的是（）

A.若數(shù)列｛0〃｝是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列

B.若a”=3〃-1,則其“倒差數(shù)列”有最大值

C.若z=3〃-1,則其“倒差數(shù)列”有最小值

D.若如=1-則其“倒差數(shù)列”有最大值

答案ACD

解析若數(shù)列｛&，｝是單增數(shù)列，則%-5」=m---?！薄?」一=伍"-。"一

an_1

1）（1+」—），雖然有斯>的」，但當(dāng)1+」一<0時，bn<bn.\,因此｛d｝不一定

ClnUn_1ClnCln_1

是單增數(shù)列，A正確；若小=3〃-1,則兒=3〃-1-易知｛仇｝是遞增數(shù)

-1

列，無最大值，有最小值，最小值為B錯誤，C正確；若““=1-1-，"，則

€(0,1),.,./??=-^<0;

當(dāng)〃為偶數(shù)時，an=\

當(dāng)〃為奇數(shù)時，。"=1+映〉1,顯然㈤是遞減的，因此仇=?！?2也是遞減的,

3255

即從泌3泌5>…，，｛兒｝的奇數(shù)項中有最大值為6=2-3=石>0,.??歷=%是數(shù)列

｛瓦｝（〃€N*）中的最大值,D正確.故選ACD.

二、填空題

6.已知向量a=（LO）,b=（X,2）,\2a-b\=\a+b\,則實數(shù)2=________,

答案2

解析由。=（1,0）,b=a,2）,得21=（2,0）_（九2）=（2-2,-2）,?+

6=（1+2,2）,所以12a—目2=（2—?2+（-2）2=8—4/l+/,|a+b|2=5+2/l+N,

X|2a-b\=\a+b\,所以8—42+/=5+22+乃，解得力=；.

7.（2021.河北衡水中學(xué)全國高三第一次聯(lián)考）已知實數(shù)凡bWg,+8）,

且滿足點一拉In則a,b,板的大小關(guān)系是________.

答案a>y[ab>b

解析由點一拉In得點+lna>*+lnb.設(shè)於）=5+lnx,則/（處=一

21X2-2LJ-

段+[=-^.當(dāng)（也，+8）時，/（幻>0恒成立，故外）在區(qū)間（也，+8）上

人■人人

單調(diào)遞增，又人。）次與，所以"所以a〉旅〉b.

8.（2022.江蘇鹽城、淮安、宿遷、如東等地高三第一次大聯(lián)考）現(xiàn)有一塊正

四面體形狀的實心木塊，其棱長為9cm.車工師傅欲從木塊的某一個面向內(nèi)部挖

掉一個體積最大的圓柱，則當(dāng)圓柱底面半徑r=cm時，圓柱的體積最

大，且最大值為cm3.

答案小3班兀

解析設(shè)圓柱上底面圓心為。1,下底面圓心為。2,。2為正四面體底面中心,

圓柱的上底面與正四面體側(cè)面ACD的交點N在側(cè)面中線4M上，

C

?.?正四面體棱長為9,.,.8加=9*半=竽.二。2朋=乎，B02=373,A02

r—f—hr-

=3加，設(shè)圓柱底面半徑為r,高為〃，由。N//02M得法=§水，」》=3冊

2

一2也r,...V圓柱=兀,(3#—26r)=3&兀，一2/兀/，令/(「)=3加無,一2啦兀r3,

/'⑺=6加無「一&7^兀巴令/'(r)=0得r=小，.」=小時，/(r)max=7rX3><(3加

-2巾X胸=3強(qiáng).

三、解答題

9.在△A3C中，。是BC邊的中點，AB=3,AC=\fV3,AD=巾.

(1)求BC邊的長；

⑵求aABC的面積.

解⑴設(shè)=貝"C=2JC,

AB^BE^-AD2

在△A3。中，有cos/A8D=-2AB而一

9+/一7

-2X3x'

AB2+BC2-AC29+41-13

在△ABC中’有cos/ABC=2ABBC—=2X3X2x'

且/ABO=AABC,

9+/一79+4--13

即2X3x=2X3X2x'

解得x=2,所以BC=4.

11

(2)由⑴可知，cos8=],B€(0,7i),得sin8=、、所以SaABc=]?AB8Csin8

=^X3X4X-^=3^3.

10.(2021.貴州省凱里一中月考)在等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知。3+。4=84-。5,

。8=36.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

Sn+20

(2)記Sn為數(shù)列｛斯｝的前n項和，求七一的最小值.

解⑴由曲+。4=84-45得。4=28,

+3d=28,ai=22,

由“乂得/C

a\+id=36,[a=2,

/.數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為。〃=22+(〃-1)義2=2〃+20.

n(n-1).

(2)由(1)得，S,.=22?+—2—X2=/+21N,

Sn+2020。

—+21,〃€N*,

20

令於)=%+7+21,x>0,

2()

f(x)=l-^T,當(dāng)x€(0,2小)時，/(x)<0；

當(dāng)x€(24，+8)時，/。)>0,

則?r)在(0,2小)上單調(diào)遞減，在(2小，+8)上單調(diào)遞增，

又“WN*,.*4)=m)=30,

S),+20

當(dāng)〃=4或5時，丁廠取最小值，為30.

11.(2022.湖北恩施州高三上第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史

學(xué)習(xí)教育走深走實，舉行兩輪制的黨史知識競賽初賽，每部門派出兩個小組參賽,

兩輪都通過的小組才具備參與決賽的資格.該企業(yè)某部門派出甲、乙兩個小組，

42

若第一輪比賽時兩組通過的概率分別是彳31第二輪比賽時兩組通過的概率分別

33

是不5-兩輪比賽過程相互獨立.

(1)若將該部門獲得決賽資格的小組數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次(與

答題順序無關(guān))，若4人全部答對就給予獎金，若沒有全部答對但至少2人答對

就被評為“優(yōu)秀小組”.該部門對通過初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識培訓(xùn)，使得

每個成員答對每題的概率均為P(O<P<1)且相互獨立,設(shè)該參賽小組被評為“優(yōu)秀

小組”的概率為加)，當(dāng)。=。。時，加)最大,試求P。的值.

433

解(1)設(shè)甲、乙通過兩輪制的初賽分別為事件4,A2,貝IJP(Ai)=5X1=W，

232

P(A2)=3><5=5-

由題意知X的取值可能為0,1,2,則

P(X=O)=。苧x(i-翡今

p(x=i)=[i-1)x|+|x(i-D=i|,

P(X=2)=1X|=￡

那么X的分布列為

X012

6136

P

252525

A1QA

E(X)=0X—+1X^+2X—=1.

(2)由題意，知小組中2人答對的概率為C〃1-p)2P工3人答對的概率C^(l-

P)P)

貝IJ加)=6(1-p)y+4(1-p)p3=2p4-8P3+6P2.

f'(p)=8P3-24P2+120=4P(2p2-6p+3),

3-小3+S

令/'S)=0得=0(舍去)，P2=-2—，P3=-2—(舍去)，

在(0,三回)上，加)單調(diào)遞增，在(三迫，1]上，加)單調(diào)遞減.

3-^33-小

故。=—2一時，加)最大.所以Po=-2一?

12.在平面直角坐標(biāo)系中，動點M到定點F(-1,0)的距離與它到直線x=-

2的距離之比是常數(shù)坐，記點M的軌跡為T.

⑴求軌跡T的方程；

(2)過點b且不與x軸重合的直線機(jī)與軌跡T交于A,8兩點，線段的垂

直平分線與X軸交于點P,在軌跡T上是否存在點Q,使得四邊形AP8Q為菱形?

若存在，請求出直線機(jī)的方程；若不存在，請說明理由.

解(1)設(shè)M(x,y),根據(jù)動點M到定點F(-l,0)的距離與它到直線x=-2

的距離之比是常數(shù)牙y[2，

+>2也21

得k+2|=2，整理得彳+丁=1，

2

，軌跡T的方程為，+丁=1.

(2)假設(shè)存在直線m,設(shè)直線m的方程為x=?-1,

x-ky-1,

由f2消去工，得倍+2)戶26-1=0.

B+"1

]2k—4

設(shè)A(xi,yi),8(X2,p),貝Ijyi+y2=p^,如+*2=左。1+y2)-2=p^,

(_2卜、

線段AB的中點”的坐標(biāo)為后二，再區(qū).

???四邊形APBQ為菱形，

「?直線R2為線段AB的中垂線.

二直線PQ的方程為丫一號=-41+號)，

令y=0,解得x=-即[-/,o).

設(shè)。(xo,yo),.P,。關(guān)于點"對稱，

?.?不=亦。-后+2,不=力。+°)，

—32k

解得x°=-，*=百3，

，一32k、

即4-+2,F+2/

???點。在橢圓上,

?1F+2+2［標(biāo)+2

解得F=坐，

于是點=也,即合土版，

二直線m的方程為y=版％+版或y=-y/2x-如.

數(shù)形結(jié)合思想專練

一、選擇題

1.（2021?湖北襄陽模擬）已知a,方是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向

量c滿足（a-c>S-c）=0,則|c|的最大值是（）

C.y/2

答案C

解析如圖，設(shè)/=*OB=b,OC=c,則公=a—c,@=》—c.由題意

知畫1宓，.\。，A,C,8四點共圓.???當(dāng)。。為圓的直徑時，|c|最大，此時,

\OC\=y[2.

2.已知函數(shù)段）=77,則下列結(jié)論正確的是（）

A-1

A.函數(shù)/U）的圖象關(guān)于點（1,2）對稱

B.函數(shù)/U）在（-8,1）上是增函數(shù)

C.函數(shù)ZU）的圖象上至少存在兩點A,B,使得直線AB//x軸

D.函數(shù)/U）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

答案A

2x22

解析由7u）=「r=2+'T知.A?的圖象是由的圖象平移得到的，作

出其簡圖如圖所示.從圖象可以看出凡T）的圖象關(guān)于點（1,2）成中心對稱；其在區(qū)

間（-8,1）和（1,+8）上均是減函數(shù)；沒有能使AB//X軸的點存在.故選A.

3.（2021.廣東省七校聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，A（8,0）,

以O(shè)A為直徑的圓與直線y=2x在第一象限的交點為8,則直線A8的方程為（）

A.i+2y-8=0B.x-2y-8=0

C.2x+y-16=0D.2x-y-16=0

答案A

解析如圖，由題意知。8_LAB,因為直線。8的方程為y=2x,所以直線

A8的斜率為-；，因為A（8,0）,所以直線A8的方程為＞-0=-9-8）,即無+

2y-8=0故選A.

4.已知△A8C是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則成.（而

+陌的最小值是（)

3

A.-2B.2

D.-1

答案B

解析如圖，以等邊三角形ABC的底邊所在直線為x軸，以8C的垂直

平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則40,5)，5(-1,0),C(l,0).

設(shè)尸(x,y),則或=(-，小-y),麗=(-1-X,-y),PC=(1-x,-y).所

以成?(而+踣=(一無，仍―y〉(—2x,-2月=2?+2卜_坐｝_|.當(dāng)％=0,y=^

3

時，可.(而+南取得最小值-亍

5.(2022.廣東廣州花都區(qū)高三上調(diào)研考試)已知函數(shù)於)=

e”,x2—1,

,....g(x)=/x)-x+a,若g(x)存在3個零點，則4的取值范圍是

[In(-x),x<-1,

()

B.

-1]D-[-I-1'-1)

答案D

解析令g(x)=7U)-x+a=。，即於)=x-a,則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)即為

函數(shù)7(x)與函數(shù)y=x-a圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)/U)與函數(shù)y=x-a的圖象,

如圖所示，當(dāng)-1時，y=ev,則y'=e\令寸=1,則x=0,即直線y

=x-a與曲線y=e'相切的切點為(0,1),此時。=-1,因為g(x)存在3個零點，

a<-1,

即函數(shù)次為與函數(shù)y=x-a的圖象有3個交點，所以jU，解得-1-

一1一二，

所以a的取值范圍是.故選D.

6.(多選)(2021.廣東佛山順德容山中學(xué)高三月考)若函數(shù)加)=e'l與g(x)

=如的圖象恰有一個公共點，則實數(shù)。的可能取值為()

A.2B.0

C.lD.-1

答案BCD

解析=與g(x)=ax恒過(0,0),如圖，當(dāng)aWO時，兩函數(shù)圖象恰

有一個公共點；當(dāng)。>0時，函數(shù)/U)=-1與g(x)=ar的圖象恰有一個公共點，

則g(x)=ar為於)=e'-l的切線，且切點為(0,0),因為(x)=巴所以a(0)

=e0=1.故選BCD.

7.(多選)(2022.湖北恩施州高三上第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)段)=

IsinAlcosx,則以下敘述正確的是()

A.若/(Xi)=?X2),貝1Jxi=X2+kn(k6Z)

B./U)的最小正周期為2兀

C.於)在I，y上單調(diào)遞減

D./U)的圖象關(guān)于直線x=E伏WZ)對稱

答案BCD

解析Ax)=|sinx|cosx

sinrcosx,sirix^O,

_V

一siaxcosx,siax<0,

f^sin2x,2EWxW兀+2E(攵€Z),

兀+2kn<x<lTt+2kn(kGZ),

作出火x）的圖象如圖,

TT

對于A,由圖知，若共足）=於2）,不一定有XI=X2+E（A€Z）,如取X1=-不

TT

%2=4,此時滿足.穴如）=穴動，但不滿足XI=X2+E伙WZ）,故A不正確；對于B,

由圖知/U）的最小正周期為2兀，故B正確；對于C,由圖知犬X）在［a，Z［上單調(diào)

遞減，故C正確；對于D,由圖知7U）的圖象關(guān)于直線x=E伙6Z）對稱，故D

正確.故選BCD.

8.（多選）（2021?山東萊西一中、高密一中、棗莊三中模擬）設(shè)拋物線產(chǎn)=

2Pxs>0）的焦點為尸，「為拋物線上一動點，當(dāng)P運動到（2,r）時，|尸門=4,直線

/與拋物線相交于A,8兩點，點M（4,l）.下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線的方程為丁=4九

B.IPM+IPR的最小值為6

C.存在直線/,使得A,8兩點關(guān)于直線x+y-6=0對稱

D.當(dāng)直線/過焦點尸時，以A尸為直徑的圓與），軸相切

答案BD

解析因為點P為拋物線9=2px（p〉0）上的動點，當(dāng)P運動至以2,/）時，|Pf］

=4,所以|P/l=2+g=4,p=4,故V=8x,A錯誤;

過點P作PE垂直準(zhǔn)線于點E,貝+|PQ=\PM\+\PE\^6,當(dāng)P,E,M

三點共線時等號成立，B正確；假設(shè)存在直線/,使得A,B兩點關(guān)于直線尤+y

-6=0對稱，則直線/的斜率為1.設(shè)A(xi,y),B(X2,y2),AB的中點”(xo,yo),

則京=8xi,貨=8尤2,兩式相減得到+J2)(yi-y2)=8(xi-X2),眈

Hy\!\2

VI-V28一,

因為;~~=lyi+y2=2yo,所以元=1，故yo=4,xo=2,而點(2,4)在拋物線

xI-X2f々yu

上，故不存在直線/,使得A,8兩點關(guān)于直線x+y-6=0對稱，C錯誤；過點

A作AC垂直準(zhǔn)線于點C,交y軸于點。，取AE的中點為G,過點G作G。垂

直y軸于點。，則同+H。1)=夕4。=夕4網(wǎng)，故以AE為直徑的圓與y

軸相切，D正確.故選BD.

二、填空題

9.已知函數(shù),*》)=1。82(%+1),且a?>c>0,則等，華，平的大小關(guān)系為

答案呼**

解析作出函數(shù)/W=10g2(X+l)的大致圖象，如圖所示，可知當(dāng)?shù)?gt;0時，曲

線上各點與原點連線的斜率隨x的增大而減小，因為a>A>c>0,所以等**.

10.不等式（國-縱xO,x€[-7T,2兀]的解集為.

答案（一兀,-1）u[o,縱（兀,2兀）

解析在同一坐標(biāo)系中分別作出y=IR-^5y=sinx的圖象如圖，根據(jù)圖象

可得不等式的解集為1-兀，-舒u（o,舒US,2兀）.

11.（2021?山東省實驗中學(xué)高三模擬）已知點尸1（-3,0）,尸2（3,0）分別是雙曲

線c：^-p=l（a>0,">0）的左、右焦點，”是C右支上的一點，MB與），軸

交于點P,△MPE的內(nèi)切圓在邊上的切點為Q,若|PQ|=2,則。的離心率

為?

3

答案2

解析設(shè)△MPB的內(nèi)切圓在邊MB上的切點為K,在MP上的切點為N,

如圖所示.

則|PB|=|PE2|,|PQ|=|PN|=2,\QF2\=\KFI\,\MN]=m,則|P￥i|=|Pg|=

\PQ\+|。。|=2+\QF2\,由雙曲線的定義可得|MR|-|MB|=\MP\+\PFx\-\MK\-

\KF?\=\MP\+2+|<2F2|-\MK\-\KFi\=2+\MP\-=4=2n,解得a=2,又c

c3

=3,所以離心率e=￡=]

12.（2022.上?？亟袑W(xué)高三上開學(xué)考試）已知函數(shù)人幻=x+-+a,若對任

意實數(shù)凡關(guān)于x的不等式式x）2機(jī)在區(qū)間七，31上總有解，則實數(shù)機(jī)的取值范

圍為.

答案（-8,|

解析）=x+；在區(qū)間位，31上的圖象如下圖所示，

根據(jù)題意，對任意實數(shù)。，關(guān)于尤的不等式在區(qū)間七，3］上總有解,

則只要找到其中一個實數(shù)。，使得函數(shù)./U）=尤+；+。的最大值最小即可，如圖,

函數(shù)），=》+：的圖象向下平移到一定程度時，函數(shù)<x）=x+；+a的最大值最

小.此時只有當(dāng)人1）=人3）時，才能保證函數(shù)?r）的最大值最小.設(shè)函數(shù)y=x+:的

1（）Q

圖象向下平移了《。0）個單位，所以彳—=-（2-0,解得r所以此時函數(shù)/U）

1QQ2（2~

的最大值為于-1=則實數(shù)〃2的取值范圍為1-8,-.

三、解答題

13.已知圓C:a-3（+。-4）2=1和兩點A（一四,0）,B（m,0）（m>0）.若圓

。上存在點P,使得NAPB=90。，求機(jī)的最大值.

解根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為（3,4）,半徑/?=

1,且依5|=2加.

因為NAPB=90。，連接。P,易知|OP|=：|A陰=機(jī).

要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點。的最大距離.

因為|。。|=0+42=5,

所以10Plmax=|OC|+r=6,

即m的最大值為6.

14.記實數(shù)xi,X2,―,初中的最小數(shù)為min（xi,xi,—,x”},求定義在區(qū)

間［0,+8）上的函數(shù)/（x）=min{f+1,x+3,13-x}的最大值.

解在同一坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)y=f+l,y=x+3,y=13-x的圖象如

圖.

由圖可知，在實數(shù)集R上，min{『+l,x+3,13-x}為直線y=x+3上A點

下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段與直線y=13-無上C點下方的部

分的組合圖.

顯然，在區(qū)間［0,+8）上，在C點時，y=min{*+l,x+3,13-燈取得最

大值.

y=x+3,

解方程組得點。（5,8）.

［y=13-x,

所以/（X）max=8.

15.設(shè)A,B在圓f+產(chǎn)=1上運動，且|4用=小，點P在直線/：3x+4y-

12=0上運動，求原+兩的最小值.

解設(shè)的中點為。，則成+而=2用,

,當(dāng)且僅當(dāng)。，D,P三點共線且OP1/時，|成+而I取得最小值.

1212

???