量綱分析與相同理論

流體力學(xué)1第1頁量綱、量綱友好性原理MF2Hf06110002第2頁題目什么是量綱，什么是單位，二者之間有什么區(qū)分和聯(lián)絡(luò)？

答：量綱是表示各種物理量類別；單位是度量各種物理量數(shù)值大小標(biāo)準(zhǔn)。單位和量綱都是關(guān)于度量概念，單位決定量度數(shù)量，而量綱則指量度性質(zhì)。3第3頁量綱、量綱友好性原理MF2Hf06110014第4頁題目量綱分析方法提出依據(jù)是什么，它有何作用？

答：1.提出依據(jù)（1）自然界一切物理現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律，都能夠用完整物理方法來表示。（2）任何完整物理方程，必須滿足量綱友好性原理。

2.作用可用來推導(dǎo)各物理量量綱；簡化物理方程；檢驗(yàn)物理方程、經(jīng)驗(yàn)公式正確性與完善性，為科學(xué)地組織試驗(yàn)過程、整理試驗(yàn)結(jié)果提供理論指導(dǎo)。

5第5頁量綱、量綱友好性原理MF2Hf06110026第6頁題目凡是正確反應(yīng)客觀規(guī)律物理方程，其方程各項(xiàng)量綱都必須是一致，這被之為量綱友好性原理。不過在曼寧公式中，謝齊系數(shù)C量綱為，R量綱為L，n為無量綱量，很顯著量綱是不友好，所以可能有些人認(rèn)為量綱友好性原理是錯誤，你是怎樣認(rèn)識這個問題，并闡述你理由。

7第7頁解：量綱友好性原理是以被無數(shù)事實(shí)證實(shí)客觀真理。因?yàn)橹挥袃蓚€同類型物理量才能相加減，不然沒有物理意義。而一些經(jīng)驗(yàn)公式是在沒有理論分析情況下，依據(jù)部分試驗(yàn)資料或?qū)崪y數(shù)據(jù)統(tǒng)計而得，這類公式經(jīng)常是量綱是不友好。這說明人們對客觀事物認(rèn)識還不夠全方面和充分，只能用不完全經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式來表示局部規(guī)律性。這些公式伴隨人們對流體本質(zhì)深刻認(rèn)識，將逐步被修正或被正確完整公式所替換。解題步驟8第8頁瑞利法MF2Hf0619第9頁題目試用瑞利法分析溢流堰過流時單寬流量q表示式。已知q與堰頂水頭H、水密度ρ和重力加速度g相關(guān)。10第10頁1.分析影響原因，列出函數(shù)方程解：依據(jù)題意可知，溢流堰過流時單寬流量q與堰頂水頭H、水密度ρ和重力加速度g相關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為解題步驟2.將q寫成H，ρ，g指數(shù)乘積形式，即11第11頁3.寫出量綱表示式解題步驟4.選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量量綱為5.由量綱友好性原理求各量綱指數(shù)

L：2=a-3b+cT：-1=-2cM：0=ba=3/2b=0c=1/2

12第12頁6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k1為無量綱系數(shù)，即流量系數(shù)m，由試驗(yàn)來確定。解題步驟即13第13頁瑞利法MF2Hf06114第14頁題目求水泵輸出功率表示式。已知水泵輸出功率N與單位體積水重量、流量Q、揚(yáng)程H相關(guān)。15第15頁1.分析影響原因，列出函數(shù)方程解：依據(jù)題意可知，水泵輸出功率N與單位體積水重量、流量Q、揚(yáng)程H

相關(guān),用函數(shù)關(guān)系式表示為解題步驟2.將N寫成γ，Q，H指數(shù)乘積形式，即16第16頁3.寫出量綱表示式解題步驟4.選L、T、M作為基本量綱，表示各物理量量綱為5.由量綱友好性原理求各量綱指數(shù)

L：2=-2a+3b+cT：-3=-2a-bM：1=aa=1b=1c=1

17第17頁6.代入指數(shù)乘積式，得

其中，k為無量綱系數(shù)，經(jīng)過試驗(yàn)來確定。解題步驟18第18頁π定理MF2Hf061300019第19頁題目簡述布金漢π定理利用步驟？答：1.確定關(guān)系式。依據(jù)對所研究現(xiàn)象認(rèn)識，確定影響這個現(xiàn)象各個物理量及其關(guān)系式。2.確定基本物理量。從n個物理量中選取所包含m個基本物理量作為基本量綱代表，普通取m=3。使基本量綱行列式不等于零，即保障基本不論量相互獨(dú)立。20第20頁3.確定基本物理量依次與其余物理量組成π表示式。

解題步驟4.滿足π為無量綱相，由量綱友好性原理定出各π項(xiàng)基本物理量指數(shù)a、b、c。

5.寫出描述現(xiàn)象關(guān)系式。

21第21頁π定理MF2Hf061300122第22頁題目在用布金漢π定理時，要選取3個相互基本物理量，怎樣合理選擇這3個基本物理量呢？答：（1）基本物理量與基本量綱相對應(yīng)。即若基本量綱選（M，L，T）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本物理量一樣只須選擇兩個。（2）選擇基本物理量時，應(yīng)選擇主要物理量。換句話說，不要選擇次要物理量作為基本物理量，不然次要物理量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。（3）為確保三個基本物理量相互獨(dú)立，其量綱指數(shù)行列式應(yīng)滿足不等于零條件。普通是從幾何學(xué)量、運(yùn)動學(xué)量、動力學(xué)量中各選一個，即可滿足要求。23第23頁π定理MF2Hf061300224第24頁題目

文丘里流量計是用來測量有壓管路流量，如右圖所表示，已知1-1斷面和2-2斷面之間壓強(qiáng)差△p隨流量Q，流體密度ρ，液體粘度η以及大小直徑D1，D2改變。試用π定律求出壓強(qiáng)降落△p表示流量公式。文丘里流量計25第25頁1.分析影響原因，列出函數(shù)方程解：依據(jù)題意可知，壓強(qiáng)差△p與經(jīng)過流量Q，流體密度ρ，液體粘度η以及大小直徑D1,D2相關(guān)，用函數(shù)關(guān)系式表示為：能夠看出函數(shù)中變量個數(shù)n＝6解題步驟26第26頁解題步驟

選取三個基本物理量，它們分別是幾何學(xué)量D1，運(yùn)動學(xué)量Q以及動力學(xué)量ρ。2.選取基本物理量量綱指數(shù)行列式由量綱公式：故上述所選三個基本物理量式相互獨(dú)立。27第27頁解題步驟3.列出無量綱π值列出個無量綱π值。其中為待定指數(shù)。28第28頁4.依據(jù)量綱友好性原理，確定各π項(xiàng)指數(shù)對于π1，其量綱式為：所以：解題步驟29第29頁解題步驟對于π2，其量綱式為：對于π3

，其量綱式為：30第30頁解題步驟5.寫出無量綱量方程

上式中數(shù)可依據(jù)需要取其倒數(shù)，而不會改變它無量綱性質(zhì)。即：31第31頁π定理MF2Hf061300332第32頁題目流體在水平圓管中作恒定流動，管道截面沿程不變，管徑為D，因?yàn)樽枇ψ饔?，壓?qiáng)將沿流程下降，經(jīng)過觀察，已知兩個相距為l斷面間壓強(qiáng)差Δp與斷面平均流速V，流體密度ρ，動力粘性系數(shù)μ以及管壁表面平均粗糙度δ等原因相關(guān)。假設(shè)管道很長，管道進(jìn)出口影響不計。試用布金漢π定理求Δp普通表示式。

33第33頁1.列出上述影響原因函數(shù)關(guān)系式

解：解題步驟2.在函數(shù)式中n＝7；選取3個基本物理量，依次為幾何學(xué)量D、運(yùn)動學(xué)量V和動力學(xué)量ρ，三個基本物理量量綱是34第34頁解題步驟

其量綱指數(shù)行列式為故說明基本物理量量綱是相互獨(dú)立?？蓪懗鰊－3＝7－3＝4個無量綱π項(xiàng)。

35第35頁解題步驟3.列出無量綱π值其中，為待定指數(shù)。36第36頁4.依據(jù)量綱友好性原理，各π項(xiàng)中指數(shù)分別確定以下（以π1為例）

所以：解題步驟37第37頁解題步驟同理可得5.寫出無量綱量方程，其中π2項(xiàng)依據(jù)需要取其倒數(shù)，但不會改變其無量綱性質(zhì)，所以38第38頁解題步驟求壓差Δp時，以，代入，可得

令，最終可得沿程水頭損失公式為

上式就是沿程損失普通表示式。39第39頁π定理MF2Hf061300440第40頁題目試用瑞利法和π定理（布金漢定理）推導(dǎo)圓柱繞流阻力FD表示式，并說明瑞利法和布金漢π定理各適合用于何種情況？已知圓柱繞流阻力FD與圓柱直徑為D、流體流速為V、流體密度為和流體動力粘滯系數(shù)為相關(guān)。41第41頁1.已知與阻力FD相關(guān)物理量為d，V，ρ，μ，即解：一、瑞利法求解

解題步驟2.將阻力寫成d，V，ρ，μ指數(shù)乘積形式，即

3.寫出量綱表示式

42第42頁解題步驟

因?yàn)樯厦嫒齻€方程式中有四個未知數(shù)，所以不能全部解出。我們保留其中e，待試驗(yàn)中去確定，并用它表示其余指數(shù)4.選L、T、M作基本量綱，表示各物理量量綱5.由量綱友好性原理，求各量綱指數(shù)L：1=a+b-3c-eM：1=c+eT：-2=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e43第43頁解題步驟6.帶入指數(shù)乘積式，得

即

假如令繞流阻力系數(shù)，l為圓柱長，則得阻力公式

其中，繞流阻力系數(shù)CD與物體形狀和雷諾數(shù)相關(guān)，最終由試驗(yàn)確定。44第44頁1.依據(jù)題意，本題共有5個物理量，即n=5，這些物理量之間存在下述關(guān)系式解題步驟2.選取3個基本物理量，依次為幾何學(xué)量D、運(yùn)動學(xué)量V和動力學(xué)量ρ，三個基本物理量量綱是二、π定理求解45第45頁解題步驟

其量綱指數(shù)行列式為故說明基本物理量量綱是相互獨(dú)立?？蓪懗鰊－3＝5－3＝2個無量綱π項(xiàng)。

46第46頁解題步驟3.列出無量綱π值其中，為待定指數(shù)。4.依據(jù)量綱友好性原理，各π項(xiàng)中指數(shù)分別確定以下對于π1，其量綱式為47第47頁解題步驟對于π1，其量綱式為48第48頁解題步驟5.寫出無量綱量方程，其中π2項(xiàng)依據(jù)需要取其倒數(shù)，但不會改變其無量綱性質(zhì)，所以式中：，稱為繞流阻力系數(shù)，與物體形狀和雷諾數(shù)相關(guān)，由試驗(yàn)確定。

由以上能夠看出，用兩種不一樣量綱分析法得到結(jié)果完全相同。普通，瑞利法適合用于比較簡單問題，相關(guān)變量未知數(shù)n≤4~5個，而布金漢π定理是含有普遍性方法。

49第49頁流體相同概念MF2Hf062400050第50頁題目何為模型試驗(yàn)力學(xué)相同，它包含那幾個方面內(nèi)容？

答：所謂力學(xué)相同是指原型流動和模型流動在對應(yīng)物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之間應(yīng)相互平行，并保持一定百分比關(guān)系（指矢量與標(biāo)量物理量數(shù)值，如力數(shù)值、時間與壓強(qiáng)數(shù)值等）。流體力學(xué)相同包含以下四個方面：1.幾何相同2.運(yùn)動相同3.動力相同4.初始條件和邊界條件相同。

51第51頁相同準(zhǔn)則MF2Hf062500052第52頁題目為何每個相同準(zhǔn)則都要表征慣性力？

答：作用在流體上力除慣性力是企圖維持流體原來運(yùn)動狀態(tài)力外，其它力（如重力、粘滯力、流體動壓力、表面張力和彈性力）都是企圖改變運(yùn)動狀態(tài)力。假如把作用在流體上各力組成一個力多邊形話，那么慣性力則是這個力多邊形協(xié)力，即牛頓定律。流動改變就是慣性力與其它上述各種力相互作用結(jié)果。所以各種力之間百分比關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。53第53頁相同準(zhǔn)則MF2Hf062500154第54頁題目分別寫出歐拉數(shù)與韋伯?dāng)?shù)表示式，其各自物理意義是什么？

歐拉數(shù)是壓力為主要作用力時候相同準(zhǔn)數(shù)，表征壓力與慣性力之比，兩流動歐拉數(shù)相等則壓力相同。韋伯?dāng)?shù)是表明張力為主導(dǎo)作用力時相同準(zhǔn)數(shù)，表征慣性力與表面張力之比，兩流動韋伯?dāng)?shù)相等則表面張力相同。答：55第55頁相同準(zhǔn)則MF2Hf062500256第56頁題目列表各相同準(zhǔn)則及其比尺牛頓數(shù)佛汝德數(shù)雷諾數(shù)歐拉數(shù)柯西數(shù)韋伯?dāng)?shù)斯特勞哈爾數(shù)7.諧時準(zhǔn)則6.表明張力相同準(zhǔn)則5.彈性力相同準(zhǔn)則4.壓力相同準(zhǔn)則3.粘滯力相同準(zhǔn)則2.重力相同準(zhǔn)則1.牛頓相同準(zhǔn)則相同準(zhǔn)數(shù)力百分比尺相同準(zhǔn)則57第57頁相同準(zhǔn)則MF2Hf062500358第58頁題目原型和模型能否同時滿足重力相同準(zhǔn)則和粘滯力相同準(zhǔn)則？為何？答：當(dāng)采取同一個流體，不可能同時滿足兩種相同。因?yàn)椋寒?dāng)重力相同時而粘滯力相同時可知速度比尺不一樣，也即不能同時滿足兩種相同。59第59頁解題步驟

若采取不一樣流體時，在理論上是可能。因?yàn)椋寒?dāng)重力相同時而粘滯力相同時聯(lián)立以上兩式，可得當(dāng)初，能夠同時滿足重力相同準(zhǔn)則和粘滯力相同準(zhǔn)則，不過在實(shí)際中是不可能。

60第60頁相同理論應(yīng)用MF2Hf062600061第61頁題目有一直徑d=50cm輸油管道，管道長l=200m，油運(yùn)動粘滯系數(shù)

，管中經(jīng)過油流量

?，F(xiàn)用10℃水和管徑dm=5cm管路進(jìn)行模型試驗(yàn)，試求模型管道長度和經(jīng)過流量。62第62頁解：該管道模型幾何比尺為解題步驟所以模型管道長度判別原型管道中流態(tài)：63第63頁解題步驟所以管內(nèi)流動為層流，應(yīng)該按照粘滯力相同準(zhǔn)則（雷諾相同準(zhǔn)則）計算模型中流量Qm。10℃水運(yùn)動粘滯系數(shù)為，模型運(yùn)動粘滯系數(shù)比尺為流量比尺

故模型管道中流量Qm應(yīng)為64第64頁相同理論應(yīng)用MF2Hf062600265第65頁題目渠道上設(shè)一平底單孔平板閘門泄流，上游水深H=3m，閘前水流行近流速V0=0.6m/s，閘孔寬度b=6m，下游為自由出流，閘門開度e=1.0m。今欲按長度比尺λl=10設(shè)計模型，來研究平板閘門流量系數(shù)μ，試求：（1）模型尺寸和閘前行進(jìn)流速V0m；（2）假如在模型上測得某點(diǎn)流量為Qm=81.5l/s，則原型上對應(yīng)點(diǎn)流量Q為多少？（3）閘門出流流量系數(shù)μ為多少？

66第66頁解：（1）模型尺寸設(shè)計和閘前行近流速

解題步驟因?yàn)殚l孔出流主要作用力是重力，所以按重力相同準(zhǔn)則設(shè)計模型。模型長度比尺為λl=10，則模型中尺寸為上游水深

閘孔寬度

閘門開度

67第67頁重力相同準(zhǔn)則條件下流速比尺

解題步驟所以

（2）原型流量Q計算

重力相同準(zhǔn)則條件下流量比尺

即原型上流量為68第68頁解題步驟（3）計算流量系數(shù)μ

流量系數(shù)μ是常數(shù)，在原型和模型上都相同。依據(jù)平板閘門自由出流計算公式：

因?yàn)樾薪魉俸苄?，能夠忽略不計H