專(zhuān)題04運(yùn)算思維之平方差公式重點(diǎn)專(zhuān)練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．（2021·浙江吳興·七年級(jí)期中）要使等式(x-2y)2+A=(x+2y)2成立，代數(shù)式A應(yīng)是(

)A．4xy B．-4xy C．8xy D．-8xy【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)已知等式表示出A，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解詳析】解：∵（x－2y）2＋A＝（x＋2y）2，∴A＝（x＋2y）2－（x－2y）2＝（x＋2y＋x－2y）（x＋2y－x＋2y）＝8xy．故選C．【名師指路】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．2．下列多項(xiàng)式乘法，能用平方差公式計(jì)算的是

(

)A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)，兩個(gè)數(shù)的和乘以這兩個(gè)數(shù)的差，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解詳析】A、原式可化為-(3x+2)(3x+2)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式可化為-(a+b)(a-b)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)正確；C、原式可化為(2-3x)(2-3x)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不符合兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B．【名師指路】本題考查了平方差公式，熟記公式結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．3．從圖1到圖2的變化過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)的代數(shù)結(jié)論是(

)A．(a+b)(a-b)= B．=(a+b)(a-b)C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】圖①的面積為(a＋b)(a－b)，圖②的面積為a2－b2，由此即可解答.【詳解詳析】∵圖①的面積為(a＋b)(a－b)，圖②的面積為a2－b2，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2.故選:A【名師指路】本題考查了平方差公式的幾何表示法，根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等列出等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.4．下列整式的運(yùn)算可以運(yùn)用平方差公式計(jì)算的有（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)，即可得出答案．【詳解詳析】①一個(gè)數(shù)相同，一個(gè)數(shù)相反，可以運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，②兩個(gè)數(shù)相反，不可以運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，③兩個(gè)數(shù)相反，不可以運(yùn)用平方差公式運(yùn)算，④一個(gè)數(shù)相同，一個(gè)數(shù)相反，可以運(yùn)用平方差公式運(yùn)算．所以可以運(yùn)用平方差公式計(jì)算的有2個(gè)，故選：B．【名師指路】此題考查平方差公式,完全平方公式，根據(jù)組成平方差公式的前提是兩式必須一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·浙江·七年級(jí)月考）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】先乘以2?1，再依次根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解詳析】＝（2?1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）＝（22?1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）＝（24?1）（24＋1）…（22018＋1）＝（22018-1）（22018＋1）＝，故選：B．【名師指路】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算的能力，注意：（a＋b）（a?b）＝a2?b2，難度適中．6．（2020·浙江杭州·中考真題）（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】直接利用平方差公式計(jì)算得出答案．【詳解詳析】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．故選：C．【名師指路】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握公式的結(jié)構(gòu)特征是解答此題的關(guān)鍵．7．（2020·湖南郴州·中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為的大正方形剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（陰影部分），并將剩余部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖所示長(zhǎng)方形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】利用大正方形的面積減去小正方形的面積得到空白部分的面積，然后根據(jù)面積相等列出等式即可．【詳解詳析】第一個(gè)圖形空白部分的面積是x2-1，第二個(gè)圖形的面積是（x+1）（x-1）．則x2-1=（x+1）（x-1）．故選：B．【名師指路】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示空白部分的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)合并方程可判定A，根據(jù)積的乘方與冪的乘方法則可判定B，利用平方差公式可判定C，利用完全平方公式可判定D即可．【詳解詳析】解：A、，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C、，故選項(xiàng)C正確；D、，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．【名師指路】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，平方差公式與完全平方公式，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，平方差公式與完全平方公式是解題關(guān)鍵．9．（2021·浙江西湖·七年級(jí)期末）如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后得到的圖形，小佳將陰影部分通過(guò)剪拼，拼成了圖①、圖②、圖③三種新的圖形，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】按照不同的裁剪方式，拼接成不同的圖形，用不同的方法表示拼接前、后陰影部分的面積，即可得出答案．【詳解詳析】解：（1）如圖①，左圖的陰影部分的面積為a2-b2，裁剪后拼接成右圖的長(zhǎng)為（a+b），寬為（a-b）的長(zhǎng)方形，因此面積為（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以①符合題意；（2）如圖②，左圖的陰影部分的面積為a2-b2，裁剪后拼接成右圖的底為（a+b），高為（a-b）的平行四邊形，因此面積為（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以②符合題意；（3）如圖③，左圖的陰影部分的面積為a2-b2，裁剪后拼接成右圖的上底為2b，下底為2a，，高為（a-b）的梯形，因此面積為（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b），因此有a2-b2=（a+b）（a-b），所以③符合題意；綜上所述，①②③都符合題意，故選：D．【名師指路】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示拼接前、后陰影部分的面積是得出正確答案的關(guān)鍵．10．（2021·浙江嵊州·七年級(jí)期末）對(duì)于1到9的四個(gè)整數(shù)a，b，c，n（四個(gè)數(shù)中n最大），我們規(guī)定符號(hào)（）n的意義是：（）n＝a?n2+b?n+c?n0．例如：（）7＝2×72+4×7+5×70＝131，（）6＝2×62+4×6+5×60＝101．（）b+1﹣（）b﹣1＝70，則（）b的值為（）A．45 B．48 C．153 D．156【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)題中的新定義列出方程，求得，再求解即可．【詳解詳析】解：∵()b+1，()b-1，∴()b+1﹣()b-1，∵()b+1﹣()b-1=70，∴，即，∴()b()8．故選：D．【名師指路】本題考查了新定義的應(yīng)用，整式的運(yùn)算，解一元一次方程，根據(jù)新定義的意義找出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知x2+2x＝3，則代數(shù)式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值為_(kāi)____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】8【思路指引】利用完全平方公式及平方差公式把原式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)展開(kāi)，去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng)得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x2+2x＝3代入即可得答案.【詳解詳析】原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2=x2+2x+1-x2+4+x2=x2+2x+5.∵x2+2x＝3，∴原式=3+5=8.故答案為8【名師指路】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：完全平方公式，平方差公式，去括號(hào)法則，以及合并同類(lèi)項(xiàng)法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．12．計(jì)算：__________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1【思路指引】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可.【詳解詳析】，===1.故答案為：1.【名師指路】此題主要考查了平方差公式的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.13．（2021·浙江蕭山·七年級(jí)期中）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是60，則陰影部分的面積是_____．【標(biāo)準(zhǔn)答案】30【思路指引】直接利用正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積求法，利用平方差公式即可得出答案．【詳解詳析】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，故陰影部分的面積是：AE?BC+AE?BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD）＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×60＝30．故答案為：30．【名師指路】本題主要考查平方差公式與幾何圖形和三角形的面積公式，用代數(shù)式表示陰影部分的面積，是解題的關(guān)鍵．14．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期中）已知，則_____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】根據(jù)偶數(shù)次冪和絕對(duì)值的非負(fù)性，可得，再利用平方差公式，即可求解．【詳解詳析】∵，∴且，即，∴=1×(-3)+5=2，故答案是：2．【名師指路】本題主要考查求代數(shù)式的值，掌握偶數(shù)次冪和絕對(duì)值的非負(fù)性和平方差公式，是解題的關(guān)鍵．15．（2021·浙江越城·七年級(jí)期末）觀察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……根據(jù)這一規(guī)律計(jì)算：22020+22019+22018+…+22+2+1的結(jié)果是___________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】22021﹣1【思路指引】觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，利用得出的規(guī)律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2020代入計(jì)算即可，【詳解詳析】解：根據(jù)題意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，n=2020代入得，22020+22019+22018+…+22+2+1=（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），=22021﹣1．故答案為：22021﹣1．【名師指路】本題考查了平方差公式和多項(xiàng)式乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．邊長(zhǎng)為的正方形剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是_________（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）；A．

B．

C．（2）若，求的值；（3）計(jì)算：【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）B；（2）3；（3）【思路指引】（1）結(jié)合圖1和圖2陰影部分面積相等建立等式即可．（2）利用平方差公式計(jì)算即可．（3）利用平方差公式展開(kāi)計(jì)算化簡(jiǎn)，最后求值．【詳解詳析】解：（1）邊長(zhǎng)為的正方形面積是，邊長(zhǎng)為的正方形面積是，剩余部分面積為；圖（2）長(zhǎng)方形面積為；驗(yàn)證的等式是，故答案為：B．（2），且，；（3）【名師指路】本題主要考查平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．17．先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】12【思路指引】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可．【詳解詳析】解：原式=[2b+（a+1）][（2b-（a+1）]+（a-1）2=4b2-（a+1）2+a2-2a+1=4b2-a2-2a-1+a2-2a+1=4b2-4a，當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，原式=4×（-2）2-4×1=12．【名師指路】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式是混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（2021·浙江鎮(zhèn)?！て吣昙?jí)期中）先化簡(jiǎn)再求值：，其中．【標(biāo)準(zhǔn)答案】，6【思路指引】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將字母的值代入求解即可．【詳解詳析】原式．當(dāng)時(shí)，原式．【名師指路】本題考查了完全平方公式以及平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式的化簡(jiǎn)求值，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．19．（2021·浙江·杭州綠城育華學(xué)校七年級(jí)月考）閱讀下文，尋找規(guī)律：已知：x≠1，觀察下列各式：（x﹣1）（x＋1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2＋x＋1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4﹣1；…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根據(jù)規(guī)律可得（x﹣1）（xn﹣1＋?＋x＋1）＝；（其中n為正整數(shù)）（3）計(jì)算2×（399＋398＋397?＋32＋3＋1）＝．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn-1；（3）3100-1【思路指引】（1）觀察可得規(guī)律，直接寫(xiě)出答案；（2）觀察可知：右邊項(xiàng)的最大指數(shù)等于左邊項(xiàng)最大指數(shù)，左邊的項(xiàng)是對(duì)右邊項(xiàng)的因式分解，依此規(guī)律分別求解．（3）依據(jù)所得規(guī)律計(jì)算即可．【詳解詳析】解：（1）∵（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；∴x5-1=（x-1）（x4+x3+x2+x+1），故答案為：（x-1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x-1）（xn-1+…+x+1）=xn-1+1-1=xn-1，故答案為：xn-1；（3）2×（399+398+397+…+32+3+1）=（3-1）（399+398+397+…+32+3+1）=399+1-1=3100-1，故答案為：3100-1．【名師指路】本題主要考查了平方差公式及數(shù)字的變化，體現(xiàn)了由一般到特殊的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是探索出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律答題．20．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值