偏導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用獲獎(jiǎng)科研報(bào)告摘要：函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一，也是高等數(shù)學(xué)中的核心概念之一，并且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有著極其廣泛的應(yīng)用。尤其是在實(shí)際生活中的應(yīng)用是最常見的。本文主要探討如何利用偏導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際生活中的條件極值，最值等優(yōu)化問題，以及最小二乘法的應(yīng)用.如有不當(dāng)之處，望讀者給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：偏導(dǎo)數(shù);條件極值;最值;最小二乘法;生活應(yīng)用

一、最優(yōu)化問題

函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最重要核心概念之一，其本質(zhì)反映的是函數(shù)關(guān)于自變量中的

某一個(gè)的變化率問題。在實(shí)際的生活中，常常利用偏導(dǎo)數(shù)求條件極值，最值等最優(yōu)化問題。

在多元函數(shù)極值問題中，當(dāng)自變量各自獨(dú)立不受任何限制時(shí)，通常稱這種極值為無條件

極值.然而在實(shí)際問題中，我們所遇到的許多關(guān)于極值問題，往往對(duì)自變量還有一定的條件進(jìn)行約束，我們將這種自變量帶有約束條件的極值稱為條件極值。

比如，在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求面積S最大的三角形。我們以表示內(nèi)接三角形各邊所對(duì)應(yīng)的圓心角，則所給問題其實(shí)就是求目標(biāo)函數(shù)，在滿足約束條件下的極值問題，也就是所謂的條件極值問題。

求解條件極值，最直接的方法就是想辦法將其轉(zhuǎn)化為無條件極值來處理。比如，對(duì)于上述條件極值問題，我們可將約束條件表示為，然后，將其代入目標(biāo)函數(shù)中，得到，再求此二元目標(biāo)函數(shù)在有界閉區(qū)域上最大值。

然而，只有當(dāng)約束條件可以表示為顯函數(shù)形式的條件極值問題，才可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題來求解，但是在實(shí)際應(yīng)用中，許多情況是約束條件為隱函數(shù)的形式，我們很難將其表示為顯函數(shù)，因此我們必須尋求更為有效的求解條件極值的方法，即拉格朗日乘數(shù)法。.

以二元函數(shù)為例，設(shè)函數(shù)及在所考慮的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且不同時(shí)為零，求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值.具體步驟如下：

第1步構(gòu)造輔助函數(shù)，稱為拉格朗日函數(shù)，其中稱為拉格朗日乘數(shù)。

第2步建立聯(lián)立方程組

解出，其中就是所求條件極值的可能極值點(diǎn).

第3步由實(shí)際問題本身的性質(zhì)判定點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值.

注1：.拉格朗日乘數(shù)法對(duì)于多元目標(biāo)函數(shù)，以及約束條件多個(gè)的情形也適用，但約束條件的個(gè)數(shù)一定要小于目標(biāo)函數(shù)中自變量的個(gè)數(shù);

目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確式，為了運(yùn)算簡便，可以適當(dāng)簡化，只要簡化后的函數(shù)與原來的目標(biāo)函數(shù)有相同的極值點(diǎn)與極值即可.例如目標(biāo)函數(shù)為而約束條件為，條件極值問題，拉格朗日函數(shù)可簡化為.

注3：拉格朗日乘數(shù)前面的“+”號(hào)可以寫成“-”號(hào)，此時(shí)的值只差一個(gè)正負(fù)號(hào)

并不影響極值的取得.

例1.求在半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中，求面積S最大的三角形.

由于半徑為R的圓的一切內(nèi)接三角形中一定存在面積S最大的三角形，而可能最大

面積的三角形只有一個(gè)，所以，當(dāng)圓內(nèi)接三角形為等邊三角形時(shí)面積最大。

二.最小二乘法

在實(shí)際生活中，對(duì)于許多經(jīng)濟(jì)管理問題，經(jīng)常需要研究某一種現(xiàn)象與影響它的某一個(gè)最主要因素之間的關(guān)系，比如在研究糧食產(chǎn)量時(shí)，在眾多影響糧食產(chǎn)量的因素中施肥量是一個(gè)最重要的因素，需要研究糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系;在消費(fèi)問題的研究中，由于國民收入是影響消費(fèi)的最主要因素，需要研究消費(fèi)額與國民收入之間的關(guān)系等等.為了找出這類問題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，往往根據(jù)兩個(gè)變量的幾組觀測值或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)，找出這兩個(gè)變量的近似表達(dá)式，一般稱這樣的表達(dá)式為經(jīng)驗(yàn)公式.而一旦建立了經(jīng)驗(yàn)公式，我們就可以將理論應(yīng)用于實(shí)踐，利用經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)自變量或因變量進(jìn)行控制或預(yù)測，而最小二乘法是確定經(jīng)驗(yàn)公式中未知參數(shù)的常用方法。

例2某企業(yè)為了了解這種商品的收益情況，收集了這種商品在市場上的銷售量（單位：千件）與獲得的利潤額（單位：萬元）的幾組具體數(shù)據(jù)，如下表所示：

根據(jù)上表的數(shù)據(jù)建立與之間的一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的函數(shù)關(guān)系.

為此，在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出實(shí)際數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從圖中，我們直觀分析這些點(diǎn)的分布規(guī)律.如果這些點(diǎn)的連線大體在一條直線上，那么就用線性函數(shù)表示，否則就選取更為合