第二十七章相似27.1圖形的相似目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。2.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。3.掌握基本事實(shí)∶兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。1.掌握比例的基本性質(zhì)，能利用比例的基本性質(zhì)對(duì)比例進(jìn)行化簡(jiǎn)；理解黃金分割的概念。2.了解和掌握相似圖形的概念，掌握相似圖形的性質(zhì)。3.理解和掌握成比例線段的概念。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01相似圖形1.形狀相同的圖形叫作相似圖形?！疚Ⅻc(diǎn)撥】（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的。（2）全等圖形是一種特殊的相似圖形。2.相似多邊形定義：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形。它們對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比。【微點(diǎn)撥】（1）相似多邊形是特殊的相似圖形。（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例?！炯磳W(xué)即練1】下列說法正確的是（）A．經(jīng)過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓B．兩個(gè)矩形一定相似C．等弧所對(duì)的圓心角相等D．相等的圓心角所對(duì)的弧相等【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件，相似圖形的定義，圓心角、弧、弦的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，所以A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以兩個(gè)矩形不一定相似，故B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；等弧所對(duì)的圓心角相等，故C選項(xiàng)正確，符合題意；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意．故選C．知識(shí)點(diǎn)02比例線段1.比例線段：對(duì)于4條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比(即它們長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd(即ad=bc)，說明求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。2.比例的基本性質(zhì)：如果ab=cd,那么ad=bc.它的逆命題也成立，即：如果3.黃金分割：把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，叫作把這條線段黃金分割?！疚Ⅻc(diǎn)撥】把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫作這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的5-12得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是【即學(xué)即練2】若且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用分式的基本性質(zhì)得到，然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，故選D．能力拓展能力拓展考法01比例的性質(zhì)【典例1】已知四條線段、、、滿足，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例和分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵根據(jù)內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積可得，∴A正確；B錯(cuò)誤；根據(jù)分式的基本性質(zhì)若，則，故C錯(cuò)誤；由得，故D錯(cuò)誤；故選：A．考法02相似多邊形的性質(zhì)【典例2】下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)有（

）①如果不等式的解集為，那么②已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?、垌槾芜B接對(duì)角線相等的四邊形的四邊中點(diǎn)所形成的圖形是菱形④各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形相似A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)解不等式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，相似多邊形的判斷分析即可．【詳解】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，原不等式即，不等式無解；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．綜上，，該命題為真命題，符合題意；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，隨的增大而減小，該命題為真命題，符合題意；對(duì)于③，對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形為菱形，該命題為真命題，符合題意；對(duì)于④，因?yàn)槎噙呅尾痪哂蟹€(wěn)定性，所以各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形的形狀也可能不同，即不相似，該命題為假命題，不符合題意．綜上，真命題有①②③，共個(gè)．故選：C．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．將等邊三角形，菱形，矩形，正方形各邊向外平移1個(gè)單位并適當(dāng)延長(zhǎng)，得到如圖所示的4組圖形，變化前后的兩個(gè)多邊形一定相似的有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的判定條件求解即可．【詳解】解：∵等邊三角形，正方形，菱形的邊長(zhǎng)都相等，∴經(jīng)過平移后，等邊三角形，正方形，菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，∴等邊三角形，正方形，菱形變化前后的兩個(gè)多邊形一定相似，矩形變化前后雖然對(duì)應(yīng)角相等，但是對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，即矩形變化前后兩個(gè)多邊形不一定相似，∴變化前后的兩個(gè)多邊形一定相似的有3組，故選C．2．四條線段a，b，c，d成比例，其中，則線段c的長(zhǎng)為（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【答案】B【分析】根據(jù)成比例線段的定義得到，據(jù)此求解即可【詳解】解：∵四條線段a，b，c，d成比例，∴，∴，故選B．3．已知線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，若，則b的值為（

）A． B．4 C．32 D．【答案】C【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的，然后代入求解即可．【詳解】解：∵線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴，∵，∴，∴，故選：C．4．兩相似多邊形的面積比是，較小多邊形的周長(zhǎng)為，則較大多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面積比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：兩相似多邊形的面積比是，∴兩相似多邊形的相似比為：，∴兩相似多邊形的周長(zhǎng)比為：，∵較小多邊形的周長(zhǎng)為，∴較大多邊形的周長(zhǎng)為：；故選A．5．如圖，已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義和得出，代入數(shù)據(jù)即可得出的長(zhǎng)度．【詳解】解：由于P為線段的黃金分割點(diǎn)，且，則，∴．故選：C6．若C是線段的黃金分割點(diǎn)（），若，則線段的長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】設(shè)，然后根據(jù)黃金分割比可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)，則有，∵C是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，即，解得：；∴；故答案為：．7．如果，那么________．【答案】【分析】根據(jù)得到，把它代入后面的式子求出比值．【詳解】解：∵，∴，即，∴．故答案是：．8．已知：求代數(shù)式的值___________．【答案】【分析】設(shè)，則再代入中，求值即可．【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，則∴．故答案為：．9．（1）已知線段，，求線段，的比例中項(xiàng)線段的長(zhǎng)度．（2）已知，求的值．【答案】（1）6；（2）．【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案；（2）設(shè)，，代入計(jì)算，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，，，（負(fù)值舍去）．∴線段a，b的比例中項(xiàng)c是6．（2）設(shè)，，∴．10．已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)、點(diǎn)B與點(diǎn)、點(diǎn)C與點(diǎn)、點(diǎn)D與點(diǎn)對(duì)應(yīng)．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【答案】(1)120°；(2)42【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等解決問題即可．（2）根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解決問題即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．題組B能力提升練1．如圖，線段，在線段AB上找一點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中，若，則點(diǎn)C就叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中（或）的值叫做黃金分割數(shù)．則黃金分割數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合題意的值，最后計(jì)算比值即可．【詳解】設(shè)，則，∵，∴，整理，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．∵，∴，∴，∴．故選B．2．在比例尺為的地圖上，測(cè)得兩地間的圖上距離為，則兩地間的實(shí)際距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)兩地間的實(shí)際距離為，根據(jù)比例線段得，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)兩地間的實(shí)際距離為，根據(jù)題意得，解得．所以兩地間的實(shí)際距離為，故選：C．3．下列圖形中不一定是相似圖形的是（

）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)等腰直角三角形C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)正方形【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的定義判斷即可．【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)等邊三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)等邊三角形一定相似，故A不符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)等腰直角三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)等腰直角三角形一定相似，故B不符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以兩個(gè)菱形不一定相似，故C符合題意；因?yàn)閮蓚€(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，所以兩個(gè)正方形一定相似，故D不符合題意；故選C．4．已知四條線段a，b，c，d滿足，則下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到ad＝bc，可判斷A，根據(jù)分式的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)分式的和比性質(zhì)可判斷B，D．【詳解】解：A、由已知得ad＝bc，故選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式一定成立，故選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)分式的性質(zhì)可知該等式不成立，故選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式不一定成立，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．5．電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，若舞臺(tái)從到的距離，那么舞臺(tái)長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義結(jié)合圖形的特征求解即可．【詳解】解：依題意，，即，解得（負(fù)值舍去），故答案為：．6．四條線股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，則b的長(zhǎng)為___________．【答案】4cm或16cm或cm【分析】由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，分類討論，即可求得b的值．比例線段的定義是在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【詳解】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴，或，或，∴，或，或，∵，，，∴，或，或，解得：，或，或．故答案為：4cm或16cm或cm．7．若且，則的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)等比性質(zhì)即可求得．【詳解】解：且，，，故答案為：．8．如圖，將一張矩形紙片沿它的長(zhǎng)邊對(duì)折（EF為折痕），得到兩個(gè)全等的小矩形．如果小矩形長(zhǎng)邊與短邊的比等于原來矩形長(zhǎng)邊與短邊的比，那么原來矩形的長(zhǎng)邊與短邊的比值是______．【答案】【分析】先根據(jù)題意得到，再代入變形得到，然后求解．【詳解】根據(jù)題意，得．將代入，得，開平方得（舍去）．故答案為：．9．①若，則＝___；②已知，則的值為___．【答案】2

2【分析】①先將等式去分母，再進(jìn)行同類項(xiàng)合并即可得到答案；②將y和分別轉(zhuǎn)換為含的代數(shù)式，再代入式子即可得到答案．【詳解】解：①∵，∴，∴，∴；②∵，∴，，∴．10．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)．現(xiàn)設(shè)的長(zhǎng)為1．(1)求的長(zhǎng)；(2)若令，，記，，，，求的值．【答案】(1)(2)5050【分析】（1）根據(jù)可得方程，解方程即可求解；（2）由，，可得，通分化簡(jiǎn)可得：，，依據(jù)規(guī)律可得：，即問題得解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴整理有，∴解得：，（負(fù)值不符合題意，舍去）即的長(zhǎng)為：；（2）∵，，∴，∴，，同理可得：，∴，即答案為：5050．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知代數(shù)式，，，下列結(jié)論：①若，則；②若，且z為方程的一個(gè)實(shí)根，則；③若x，y，z為正整數(shù)，且，則；④若，則；其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)及求代數(shù)式的值的方法，依次化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：①若x:y:z=1:2:3，設(shè)x=a；y=2a；z=3a；∴A=；B=；C=；∴，故①正確；②若x=y=1，則A=，B=，C=，∴，∵z為方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴z≠0，∴，∴，∴，故②正確；若xyz為正整數(shù)，則，，，∵x>y>z，∴，∴，即，∴A>B>C，故③正確；若A=B=C，即，當(dāng)x+y+z≠0時(shí)，；當(dāng)x+y+z=0時(shí)，,綜上A=或1，故④錯(cuò)誤；∴正確的有3個(gè)，故選：C．2．我們把寬與長(zhǎng)的比等于黃金比()的矩形稱為黃金矩形.如圖,在黃金矩形中,的平分線交邊于點(diǎn),于點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定可得四邊形ABFE是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)黃金矩形的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】四邊形ABCD是矩形，，，即，四邊形ABFE是矩形，是的平分線，且，，四邊形ABFE是正方形，，又四邊形ABCD是黃金矩形，且，，設(shè)，則，，，，則，，即，選項(xiàng)A正確；，，即，選項(xiàng)B正確；，，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)D正確；故選：C．3．已知AB＝2，點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則AP的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義和AP＞BP得出AP=AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長(zhǎng)度．【詳解】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則AP＝×2＝﹣1．故選：B．4．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），如圖，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)某人身高為mcm，脖子下端至肚臍的長(zhǎng)度為ncm，由腿長(zhǎng)為105cm，可得，解得，根據(jù)得到，由此得到答案.【詳解】解：設(shè)某人身高為mcm，脖子下端至肚臍的長(zhǎng)度為ncm，則由腿長(zhǎng)為105cm，可得，解得.由頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm，可得，解得.由已知可得，解得.綜上，此人身高m滿足.所以其身高可能為175cm.故選：B5．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一點(diǎn)，，，則______．【答案】【分析】如圖，先利用三角形的面積關(guān)系可得，，再結(jié)合比例的基本性質(zhì)證明，可得，同理可得：，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)AD，BE，CF相交于點(diǎn)，，，，，同理可得：，，，，，．故答案為：6．若，且，則的值為_________．【答案】19【分析】設(shè)x=3k,則y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，進(jìn)而求出x、y、z的值即可求得答案.【詳解】設(shè)x=3k,則y=5k，z=6k，代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，所以x=3，y=5，z=6，所以x+2y+z=3+10+6=19，故答案為19.7．已知三條線段的長(zhǎng)分別為1cm，2cm，cm，如果另外一條線段與它們是成比例線段，則另外一條線段的長(zhǎng)為__________________．【答案】2cm或cm或cm【詳解】設(shè)另外一條線段的長(zhǎng)為acm，因四條線段成比例，可得或或，解得a=或a=或a=，所以另外一條線段的長(zhǎng)為2cm或cm或cm.點(diǎn)睛：本題主要考查了成比例線段的關(guān)系，已知成比例線段的四條中的三條，即可求得第四條，解決本題要注意分類討論.8．如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形，它的面積為1；取和各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形，如圖（2）中陰影部分；取和各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形，如圖（3）中陰影部分；如此下去……，則正六角星形的面積為__________．【答案】．【分析】先分別求出第一個(gè)正六角星形與第二個(gè)邊長(zhǎng)之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：、、、、、分別是和