高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)至選擇性必修第三冊(cè)第七章7.4.1.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，復(fù)數(shù)，則（）A. B.5 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)模求解即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：A2.已知函數(shù)圖象一個(gè)對(duì)稱中心為，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助二次函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對(duì)A：二次函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，由不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故不是的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，，由不是函數(shù)的對(duì)稱中心，故不是的對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，由是函數(shù)的對(duì)稱中心，故是的對(duì)稱中心，故D正確.故選；D.3.已知隨機(jī)變量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算.【詳解】隨機(jī)變量，則.故選：A4.甲與10名同學(xué)參加了一場(chǎng)一對(duì)一乒乓球友誼賽，這10名同學(xué)中有6名同學(xué)球技一般，有4名同學(xué)球技高超.甲打贏球技一般的同學(xué)的概率為0.9，打贏球技高超的同學(xué)的概率為0.1.甲從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取一名作為對(duì)手，則他打贏這場(chǎng)比賽的概率為（）A.0.54 B.0.58 C.0.60 D.0.64【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用分別表示甲隨機(jī)選取的選手時(shí)球技一般的同學(xué)，球技高超的同學(xué)，用表示甲打贏這場(chǎng)比賽，可得，所以由全概率公式，可得.故選：B.5.在中，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】由，得，整理得.故選：D6.將一個(gè)母線長(zhǎng)為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個(gè)球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可得其內(nèi)切球的半徑與該圓錐過(guò)頂點(diǎn)與底面直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，借助等面積法求出該半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得.【詳解】原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，該內(nèi)切球的半徑與該圓錐過(guò)頂點(diǎn)與直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長(zhǎng)為，底面半徑為可得該圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則有，解得，即內(nèi)切球表面積為.故選：A.7.已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過(guò)的直線與直線交于點(diǎn)，射線與交于點(diǎn)，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意可得，借助相似三角形的性質(zhì)可得，即可得，，代入橢圓方程計(jì)算即可得離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由，即有，，則，由，即，故，，故有，整理可得，故或（大于1，故舍去），故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，結(jié)合題意得到的，計(jì)算出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓中即可得解.8.已知函數(shù)滿足，則（）A.10000 B.10082 C.10100 D.10302【答案】C【解析】【分析】賦值得到，利用累加法得到，令得到，賦值得到，從而求出答案.【詳解】中，令得，，故，故，其中，①，②，③……，，上面99個(gè)式子相加得，，令得，中，令得，故.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量及其增長(zhǎng)速度如圖所示，則（）A.2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量逐漸增加B.2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元C.2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的眾數(shù)為D.2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度的分位數(shù)為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定的條形圖及折線圖，結(jié)合極差、眾數(shù)及分位數(shù)的意義判斷即得.【詳解】對(duì)于A，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量逐漸增加，A正確；對(duì)于B，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的極差為（億元），B正確；對(duì)于C，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量增長(zhǎng)速度的眾數(shù)為，C正確；對(duì)于D，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長(zhǎng)速度從小到大依次為：，而，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為線段上的一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，可得，可得，由余弦定理，可得，解得，所以B正確；對(duì)于C、D中，由，可得，可得，所以，則的面積為，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知集合滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為1B.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為15C.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為45D.若，則中的元素的個(gè)數(shù)為78【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對(duì)于B，中的元素均為正奇數(shù)，對(duì)分類討論即可驗(yàn)算；對(duì)于C，原問(wèn)題等價(jià)于將11個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法即可驗(yàn)算；對(duì)于D，原問(wèn)題等價(jià)于將14個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法驗(yàn)算即可.【詳解】由題意得，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，A錯(cuò)誤.由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，當(dāng)時(shí)，有共5個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共4個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共3個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共2個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，有共1個(gè)元素，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，B正確.，可轉(zhuǎn)化為將11個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為45，C正確.，可轉(zhuǎn)化為將14個(gè)大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個(gè)數(shù)為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷CD選項(xiàng)的關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，并利用隔板法，由此即可順利得解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的漸近線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的方程，直接求出漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：13.被17除的余數(shù)為______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到，再化簡(jiǎn)得到，得到答案.【詳解】由題意得，因?yàn)椋运蟮挠鄶?shù)為15．故答案為：1514.的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】可以看作兩點(diǎn)距離的平方，即可轉(zhuǎn)化為研究直線上的點(diǎn)到曲線的距離的平方的最小值，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【詳解】可以看作兩點(diǎn)距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，，當(dāng)曲線在處的切線與平行時(shí)，最小，則，得或（負(fù)根舍去），所以切點(diǎn)），到的距離，所以的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及指數(shù)的運(yùn)算，利用分組求和法、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，,,.16.如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）的坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，且到直線的距離之和等于.（1）求的方程；（2）若的斜率大于，在第一象限，過(guò)與垂直的直線和過(guò)與軸垂直的直線交于點(diǎn)，且，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由因?yàn)榈街本€的距離之和等于，根據(jù)拋物的定義和焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，列出方程，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合跑線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)得到，再設(shè)，求得，根據(jù)，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離之和等于，因?yàn)榈街本€的距離之和等于，可得，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由焦點(diǎn)，可得設(shè)且，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，設(shè)，由，可得，即，所以，由，可得，代入，可得，解得，所以直線的方程為.18.A盒子中有6個(gè)小球，B盒子中有8個(gè)小球，甲?乙兩人玩摸球游戲，約定：甲先投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則從A盒子中取出2個(gè)小球放入B盒子，否則從A盒子中取出3個(gè)小球放入B盒子，乙再投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)大于4，則從B盒子中取出3個(gè)小球放入A盒子，否則從B盒子中取出2個(gè)小球放入A盒子，整個(gè)游戲過(guò)程為一個(gè)回合.（1）求第一個(gè)回合后兩個(gè)盒子中小球個(gè)數(shù)相同的概率；（2）兩個(gè)回合后，記兩個(gè)盒子中小球的個(gè)數(shù)分別為，求的分布列與期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分別計(jì)算出每種情況的概率后借助相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可得；（2）分別計(jì)算出每個(gè)回合的各種情況的概率后，借助相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算兩個(gè)回合的不同情況的概率即可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可得從A盒子中取出2個(gè)小球放入B盒子的概率為，從A盒子中取出3個(gè)小球放入B盒子的概率也為，從B盒子中取出3個(gè)小球放入A盒子的概率為，從B盒子中取出2個(gè)小球放入A盒子的概率為，設(shè)、分別表示從盒子和從盒子中拿出個(gè)小球放入另一個(gè)盒子的情況，則第一個(gè)回合后兩個(gè)盒子中小球個(gè)數(shù)相同的概率為：；【小問(wèn)2詳解】一個(gè)回合中，從A盒子中取出個(gè)小球后再?gòu)腂盒子中取出個(gè)小球的概率為:，此時(shí)A盒子、B盒子中分別有個(gè)、個(gè)小球，從A盒子中取出個(gè)小球后再?gòu)腂盒子中取出個(gè)小球的概率為：，此時(shí)A盒子、B盒子中分別有個(gè)、個(gè)小球，從A盒子中取出個(gè)小球后再?gòu)腂盒子中取出個(gè)小球的概率為：，此時(shí)A盒子、B盒子中分別有個(gè)、個(gè)小球，從A盒子中取出個(gè)小球后再?gòu)腂盒子中取出個(gè)小球的概率為：，此時(shí)A盒子、B盒子中分別有個(gè)、個(gè)小球，即一個(gè)回合中，甲盒子中減少一球的概率為，甲盒子中小球數(shù)量不變的概率為，甲盒子中小球數(shù)量增加一個(gè)的概率為，設(shè)第一回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個(gè)的情況分別為,,,第二回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個(gè)的情況分別為,,,則的可能取值為、、、、，，，，，，即其分布列為：其期望為.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值集合；（3）若存在，且，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)即可得解.（2）由已知可得，再利用（1）的結(jié)論求出函數(shù)的最小值，并構(gòu)造函數(shù)探討函數(shù)最大值即得.（3）根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在和存在零點(diǎn)，再分類討論并借助導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)存在性定理探討零點(diǎn)即得.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，遞減，由，得，遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】依題意，，由恒成立，得，則，由（1）知，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，因此，由恒成立，得，則，所以的取值集合為.【小問(wèn)3詳解】由，得，令，依題意，函數(shù)在和上存在零點(diǎn)，求導(dǎo)得，在，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，因此，，則函數(shù)上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)