梯形的常用輔助線一、平移1、平移一腰：從梯形的一個頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化為一個三角形和一個平行四邊形。［例1］如圖1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。圖1析解：過點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，那么梯形ABCD轉(zhuǎn)化為△BCM和平行四邊形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移兩腰：利用梯形中的某個特殊點(diǎn)，過此點(diǎn)作兩腰的平行線，把兩腰轉(zhuǎn)化到同一個三角形中。［例2］如圖2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長。圖2析解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°那么△EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)所以3、平移對角線：過梯形的一個頂點(diǎn)作對角線的平行線，將條件轉(zhuǎn)化到一個三角形中。［例3］如圖3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：AC⊥BD。圖3析解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，那么DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，，從而AC⊥CE，于是AC⊥BD?！咀兪?】〔平移對角線〕梯形ABCD的面積是32，兩底與高的和為16，如果其中一條對角線與兩底垂直，那么另一條對角線長為_____________［例4］如圖4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。圖4析解：過點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長線于點(diǎn)E，那么四邊形ACED是平行四邊形，即。所以由勾股定理得〔cm〕〔cm〕所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。二、延長即延長兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。［例5］如圖5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。圖5析解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。所以∠E=50°，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3【變式2】如下圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.【變式3】〔延長兩腰〕如圖，在梯形中，，，、為、的中點(diǎn)。

三、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。［例6］如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。圖6析解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。四、作梯形的高1、作一條高，從底邊的一個端點(diǎn)作另一條底邊的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形。［例7］如圖7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。圖7析證：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，那么易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。2、作兩條高：從同一底邊的兩個端點(diǎn)作另一條底邊的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形和一個矩形。［例8］如圖8，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。圖8析證：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，那么易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳B>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位線1、梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。［例9］如圖9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。圖9析證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，那么易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=〔AB＋CD〕①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE所以②由①、②得AB＋CD=AD。2、梯形兩條對角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對角線中點(diǎn)，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。［例10］如圖10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：〔1〕EF//AD；〔2〕。圖10析證：連接DF，并延長交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG那么AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因?yàn)锳D//BG，所以EF//AD，EF三、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個全等的三角形到達(dá)解題的目的。例4、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解、分析：分別延長AE與BC，并交于F點(diǎn)，從而等到△ADE與△FCE是全等的，在利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以求出結(jié)論”。解：分別延長AE與BC，并交于F點(diǎn)∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯角相等)∠AED=∠FEC〔對頂角相等〕DE=EC〔E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)〕∴△ADE≌△FCE〔AAS〕∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴BE=FE〔直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半〕∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE【模擬試題】1.假設(shè)等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，那么它的腰長為__________cm.2.如下圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，那么此等腰梯形的周長為〔〕A.19 B.20 C.21 D.223.如下圖，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，那么梯形ABCD的面積為〔〕A.130 B.140 C.150 D.1604.如下圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長.5.如下圖，等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長.6.如下圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長.7.如下圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長.8.如下圖，梯形ABCD中，AD∥BC，〔1〕假設(shè)E是AB的中點(diǎn)，且AD＋BC＝CD，那么DE與CE有何位置關(guān)系？〔2〕E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點(diǎn)，那么DE與CE有何位置關(guān)系？【課后演練】1〔本小題總分值5分〕：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD、∠CDA的平分線AE、DF分別交直線BC于點(diǎn)E、F．求證：CE=BF．2．如圖，在梯形中，，．求的長．3．如圖6，在梯形中，，，，DE=EC，AB=4,AD=2，求的長．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A〔，0〕，B〔，2〕.把矩形OABC逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形.〔1〕求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕求過點(diǎn)〔2，0〕且平分矩形面積的直線方程；備用圖〔3〕設(shè)〔2〕中直線交軸于點(diǎn)P，直接寫出與的面積和的值及與的面積差的值.備用圖5.如圖，矩形紙片ABCD中，BC=4，AB=3，點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)．現(xiàn)將△PCD沿PD翻折，得到△PC’D；作∠BPC’的角平分線，交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x,BE=y,那么以下圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是6．：如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠COD=60°，假設(shè)CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高．7．如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動，那么當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為.12題圖12題圖DDCPBA8如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿路線作勻速運(yùn)動，那么△ABP的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動的路程之間的函數(shù)圖象大致是OO3113SxA．O113SxO3Sx3O113SxB．C．D．29．如圖，在四邊形中，AC平分∠BAD，，，．求AC的長．OOOOP10題10如圖，直線：與直線：相交于點(diǎn)．〔1〕求的值；〔2〕不解關(guān)于的方程組請你直接寫出它的解；〔3〕直線：是否也經(jīng)過點(diǎn)？請說明理由．11．：關(guān)于的一元二次方程〔m為實(shí)數(shù)〕假設(shè)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；12．：如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，是軸上的一點(diǎn)，假設(shè)將△沿直線折疊，點(diǎn)恰好落在軸正半軸上的點(diǎn)處，求直線的解析式．14．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=