空間向量與垂直關(guān)系

（45分鐘100分）

一、選擇題（每小題6分，共30分）

1.已知平面a的一個法向量為a=（x,1,-2）,直線/的一個方向向量為n=（；y,-l）,

2

若"a,則（）

A.x+2y=-4B.x+y=3

C.x+2y=-D.x+y=-

7

2.已知平面a與B的一個法向量分別是a=（x,2,2）,b=（l,3,y）,若a，B,且

a|二2?6,則y=（）

A.-5B.-1C.4或-4D.-5或T

3.（2013?青島高二檢測）在長方體ABCD-AiBiCD中,AB=AAi=l,BC=4,點E是DA

的中點，設(shè)F在BC上,若DEXBF,則BF=（）

A.4B.2C.1D.-

2

4.如圖，四邊形ABCD為正方形，PDL平面ABCD,PD〃C

QA,QA=AB=iPD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為

2

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.位置關(guān)系不確定

5.（2013?聊城高二檢測）在直三棱柱ABC-ABCI中,AB=AC=AAi,ABJ_AC,E是BC的

中點,則AiE與平面ABC的位置關(guān)系是（）

A.相交但不垂直B.AiE〃平面ABiCi

C.AFJ_平面ABCD.AiEu平面ABC

二、填空題（每小題8分，共24分）

6.平面a與平面B的法向量分別是m,n,直線I的方向向量是a,給出下列論斷：

①皿〃nAa〃B；

②mJ_n>aJ_B;

③a_Lm=>/〃a；

@a//m今/_La.

其中正確的論斷為（把你認為正確論斷的序號填在橫線上）.

7.（2013?四平高二檢測）已知平面a內(nèi)有一個點A（2,-l,2）,a的一個法向量為

n=（3,1,2）,則下列各點中，在平面a內(nèi)的是（把正確的序號都填上）.

①B（l,1）;②C（1,3,-）;③口。,-3,三）3,-2）.

222

8.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕,把4ABD與4ACD折成互相

垂直的兩個平面后,有以下四個結(jié)論：

①BD?ACW0;

②NBAC=60°;

③三棱錐D-ABC是正三棱錐；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正確結(jié)論的序號是（請把正確結(jié)論的序號都填上）.

三、解答題（9題,10題14分,11題18分）

9.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形,PD，底面ABCD,AD=PD=1,

AB=2a(a>0),E,F分別為CD,PB的中點.求證:EF,平面PAB.

10.如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,E,F分別是BB1,CD的中點,求證:

(1)AD±D1F.

(2)平面AEDL平面AFD1.

11.(能力挑戰(zhàn)題)直三棱柱ABC-ABCi中，底面是以NABC為

直角的等腰直角三角形,AC=2a,BBk3a,D是AC的中點，在

線段AAi上是否存在點F,使CFL平面BiDF,若存在,求出AF

的長,若不存在，說明理由.

答案解析

1.【解析】選D.?:/_La,即a二入n,

(x,1,-2)=入(-,y,-1)

2

.x=N,0'=2'.3

]=\y解得，x=1,x+y--.

、-2=-％(7=，2

2.【解析】選D.由|a|=2旄,得X2+4+4=24,解得x=±4,

Va±3,Aa±b,Z.a?b=x+6+2y=0,

當x=4時，得y=-5;當x=-4時，得y=-1.

【誤區(qū)警示】在求解本題的過程中，根據(jù)等量關(guān)系列出關(guān)系式后，切記一定不要

漏解.

3.【解析】選D.建立如圖所示的空間直角坐標系

Axyz,則D(0,4,0),E(0,2,1),B(1,0,0),設(shè)點

F(1,a,1),則EE=(0,-2,1),BF=(0,a,1),

VDE±BF,ADE±BF,

ADE?BF=-2a+1=0,解得a=-,

即BF=±

2

4.【解析】選B.如圖，以D為坐標原點，線段DA的

長為單位長度，射線DA為x軸的正半軸建立空間直

角坐標系Dxyz,

則D(0,0,0),Q(1,1,0),

0(0,0,1),P(0,2,0),

則DQ二(1,1,0),DO(0,0,1),PQ=(1,7,0).

因為n?DQ=0,PQ?DC=0,

所以PQJ_DQ,PQ±DC,又DQADC=D,

所以PQJ_平面DCQ.

又PQu平面PQC,

所以平面PQC_L平面DCQ.

5.［解析］選A.如圖所示，建立直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)AB=1,

則A(O,O,O),BM1,O,1),G(0,1,1),

AMO,0,1),E(%二,0),

0,1),A2LQ1,1),7),設(shè)平面

ABiCi的法向量為n=(x,y,z),

/ABi?〃=JT+N=0,

貝”一

(ACj?〃=N+N=0,

令Z=-1,則x=y=1，故n=(1,1,T),

，A】E?nHO,故AE與平面ABC不平行，又:A】E與n不共線，故AE與平面

ABG不垂直，即NE與平面ABG相交但不垂直.

6?【解析】①錯誤，因為a與！3可能重合，③錯誤，因為/與a除/〃a夕卜，還可能

有/uQ.顯然，②④正確.

答案:②④

7.【解析】AB=(-1,0,-1),AC=(-1,4,,AD=(-1,-2,-i),AE=(-3,4,,

222

VAC?n=0,

AC_Ln,故C￡a.

答案:②

8.【解析】①平面ABDJ_平面ACD,BD_LAD,

，BD_L平面ACD,.*.BD±AC,ABD?AC=O,故①不正確.

②AD;BD=CD,且ZADB=ZADC=ZBDC,

AABD,AACD,ABCD是全等三角形,

.,.AB=AC=BC,ZBAC=60°，故②正確.

③由②可知AB=AC=BC,DA=DB=DC,

三棱錐D-ABC是正三棱錐，故③正確.

④建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)DA=DB=DC=1,

則A(0,0,1),B(1,0,0),

C(0,1,0),可求出平面ADC的法向量是nF(1,0,0),

平面ABC的法向量是n2=(1,1,1),.*.ni?n2=1+0+0=1

H0,故④不正確.

答案：②③

9.【證明】建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,

AD=1,PD=1,AB=2a(a>0),則E(a,0,0),A(0,1,0),

B(2a,1,0),

P(0,0,1),F(a二二)，得(0「「)，

PB=(2a,1,-1),AB=(2a,0,0).

由印?晶二(0」」)?(2a,0,0)=0,

得詐_LAB,即EF±AB,

同理EF_LPB,又ABAPB二B,

所以，EF_L平面PAB.

10.【證明】建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)正

方體的棱長為1,則A(0,0,0),D(0,1,0),

E(1,0「)，F(xiàn)(3I,0),?(0,1,1).

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(1)因為AD=(0,1,0),D1產(chǎn)(g0,-1),所以AD?DiF=O,所以AD_LD〔F,即AD±D,F.

⑵因為*=(1,0「)，所以AE?DTF=--—0,所以AEJ_D；F,所以AE±DE由(1)知

AD±D1F,又ADAAE二A,所以DF，平面AED.

又DFu平面AFDi,所以平面AED_L平面AF?.

11.【解題指南】假設(shè)存在點F,利用CF_L平面BQF列出方程求AF.

【解析】以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz,則

C(0,V2a,0),B,(0,0,3a),D(―,—a,3a).

假設(shè)存在F點，使CF_L平面BQF.不妨設(shè)AF=b,

則F(V2a,0,b),CF=