專題10尺規(guī)作圖（解析版）1．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點(diǎn)G，求tan∠ADB【答案】(1)作圖見解析(2)5【分析】（1）先過點(diǎn)A作BD的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進(jìn)而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根據(jù)BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用tan【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點(diǎn)E，CF與⊙A相切于點(diǎn)G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5-12，即tan∠【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長(zhǎng)建立方程是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段MN=a,AR⊥AK，垂足為a．（1）求作四邊形ABCD，使得點(diǎn)B，D分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn)，求證：直線AD,BC,PQ相交于同一點(diǎn)．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)AB=a，點(diǎn)B在射線AK上，過點(diǎn)A作AB=a；根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，得AB=BC=AC，分別過點(diǎn)A、B，a為半徑畫圓弧，交點(diǎn)即為點(diǎn)C；再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)作CD，即可得到答案；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S、直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'，根據(jù)平行線和相似三角形的性質(zhì)，得ADS'【詳解】（1）作圖如下：四邊形ABCD是所求作的四邊形；（2）設(shè)直線BC與AD相交于點(diǎn)S，∵DC//∴△SBA∽△SCD，∴SA設(shè)直線PQ與AD相交于點(diǎn)S'同理S'∵P，Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，∴PA=12∴PA∴S'∴S'∴ADS∴S'∴點(diǎn)S與S'重合，即三條直線AD,BC,PQ【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖、等邊三角形、直角三角形、平行線、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握推理能力、空間觀念、化歸與轉(zhuǎn)化思想，從而完成求解．3．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，C為線段AB外一點(diǎn)．（1）求作四邊形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)P，AB，CD的中點(diǎn)分別為M,N，求證：M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）按要求進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；(2)通過證明角度之間的大小關(guān)系，得到∠CPN+∠CPM=180°，即可說明M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形ABCD就是所求作的四邊形．（2）∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴ΔABP∽ΔCDP，∴ABCD∵M(jìn),N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN連接MP，NP，又∵∠BAP=∠DCP，∴ΔAPM∽ΔCPN，∴∠APM=∠CPN，∵點(diǎn)P在AC上∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M,P,N三點(diǎn)在同一條直線上．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．4．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC為和點(diǎn)A'.(1)以點(diǎn)A'為頂點(diǎn)求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)設(shè)D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，D'、E'、F'分別是你所作的△A'B'C'三邊A'B'、B'C'、A'C'的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△D'E'F'.【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）分別作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．（2）根據(jù)中位線定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.【詳解】解：（1）作線段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即為所求．證明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△A'B'C'（2）證明：∵D、E、F分別是△ABC三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE＝12AC，DF＝12BC，EF＝1∴△DEF∽△CAB，同理：△D'E'F'∽△C'A'B'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及三角形的中位線定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．5．（2018·福建·統(tǒng)考中考真題）求證：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比．要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；②在已有的圖形上畫出一組對(duì)應(yīng)中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程．【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；（2）依據(jù)D是AB的中點(diǎn)，D'是A'B'的中點(diǎn)，即可得到A'D'AD=A'B'AB，根據(jù)△ABC∽△A'B'C'，即可得到A'B'AB=A'C'AC，∠A'=∠A，進(jìn)而得出△A'【詳解】（1）如圖所示，△A'B′C′即為所求；（2）已知，如圖，△ABC∽△A'B'C'，A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k，D是AB的中點(diǎn)，D求證：C'D'CD=k證明：∵D是AB的中點(diǎn)，D'是A'B'的中點(diǎn)，∴AD=12AB，A'D'=12A'B∴A'D'AD∵△ABC∽△A'B'C'，∴A'B'AB=A'C'AC，∠∵A'D'AD=A'C'AC，∠∴△A'C'D'∽△ACD，∴C'D'CD=A'C'【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，以及兩三角形相似的判定方法，要注意文字?jǐn)⑹鲂悦}的證明格式．1．（2023·福建莆田·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，CA=CB(1)求作⊙C，使⊙C與AB相切，切點(diǎn)為D，⊙C與AC，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)；（要求：尺規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法）(2)若∠A=30°，AB=6，求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)AE=3【分析】（1）作AB的垂直平分線，連接CD，再以CD為半徑畫圓即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD=BD=12AB=3，再利用∠A=30°求出CD(1)解：如圖，⊙C為所作；(2)解：∵⊙C與AB相切，切點(diǎn)為D，∴CD⊥AB，∵CA=CB，∴AD=BD=1∵∠A=30°，∴CE=CD=33AD=∴AE=AC-CE=23【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，畫圓，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求出AD=BD=12AB=3，再解直角三角形求出AC2．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°．以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交⊙O于點(diǎn)D．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C1(2)在（1）的條件下，連接C1D，證明：直線C1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AD的垂直平分線即可；（2）連接CC1，DC1，CC【詳解】（1）解：如圖點(diǎn)C1作線段AD的垂直平分線，利用對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段即可得到點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C1

（2）證明：連接CC1，DC1，CC

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=22.5°，又∵∠CAD是△ABC的外角，∴∠CAD=2∠B=45°，在⊙C中，CA=CD，∴∠CDA=∠CAD=45°，由（1）得，DA垂直平分CC∴DC∴在△C1DC中，DE∴∠C即C1∴直線C1D與【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和切線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我們規(guī)定：在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，那么這樣的三角形稱為“3倍角三角形”．如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC，CD∥AB．（1）當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，判斷△ABC是否為“3倍角三角形”；（2）用直尺和圓規(guī)作出線段BP，使得點(diǎn)P在直線CD上，且∠ABP＝12∠BAC，將AC與BP的交點(diǎn)記為點(diǎn)E，若△PEC為“3倍角三角形”，求∠BAC【答案】（1）不是；（2）作圖見解析，∠BAC=60°【分析】（1）先求解出∠B與∠ACB，根據(jù)定義判斷即可得出結(jié)論；（2）先作出線段AB的垂直平分線，交AC于M點(diǎn)，則∠BAC=∠ABM，再作∠ABM的角平分線交AC于E點(diǎn)，交CD于P點(diǎn)，則∠ABP=12∠BAC；結(jié)合作圖過程中得出的數(shù)量關(guān)系，在△PCE中求出∠P，從而得出∠BAC【詳解】（1）∵AB＝AC，當(dāng)∠BAC＝40°時(shí)，∴∠B=∠ACB=(180°-40°)÷2=70°，∵∠B=∠ACB≠3∠A，∴△ABC不是“3倍角三角形”；（2）如圖所示，①作線段AB的垂直平分線，交AC于M點(diǎn)，則∠BAC=∠ABM，②作∠ABM的角平分線交AC于E點(diǎn)，交CD于P點(diǎn)，則∠ABP=12∠ABM=12∠∵CD∥AB，∴∠A=∠PCA，即：∠PCA=2∠P，∴若△PEC為“3倍角三角形”，則∠PEC=3∠P，∵在△PEC中，∠P+∠PCE+∠PEC=180°，∴∠P+2∠P+3∠P=180°，∴∠P=30°，∴∠BAC=2∠P=60°．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，以及基本作圖-作中垂線與角平分線等，理解題干中描述的定義，熟練掌握幾種基本作圖，并且理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，直線l⊥AB，垂足為點(diǎn)C．

(1)在直線l上作一點(diǎn)P，使∠APB=90°（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接PA、PB，若BC=AP，求【答案】(1)見解析(2)sin【分析】（1）作出AB的垂直平分線與AB交于點(diǎn)O，然后以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，于l交于點(diǎn)P即可；（2）解法一：設(shè)BC=AP=m，AC=x，然后證明出∴△ACP∽△APB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到xm=m解法二：設(shè)BC=AP=m，AC=x，由∴cos∠B=ACAP=【詳解】（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．

（2）解法一：設(shè)BC=AP=m，AC=x，由（1）可知，∠ACP=∠APC=90°，∴∠APC+∠A=90°，∠A+∠B=90°，∴∠APC=∠B，∴△ACP∽△APB，∴ACAP=整理得，x2解得，x=-1+sin∠B=解法二：設(shè)BC=AP=m，AC=x，由（1）可知，∠ACP=∠APC=90°，∴cos∠B=AC整理得，x2解得，x=-1+sin∠B=【點(diǎn)睛】此題考查了圓直徑的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程，求正弦值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．5．（2023春·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）已知點(diǎn)O在BC邊上，求作⊙O，使⊙O過點(diǎn)C且與AB相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并求⊙O的半徑．【答案】（1）AB＝5；（2）作圖見解析；⊙O的半徑為43【分析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）作∠BAC的角平分線，以Ｏ為圓心，OC為半徑畫圓，與AB相切于點(diǎn)D，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得半徑．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝BC2+AC2（2）如圖，⊙O為所作；設(shè)⊙O的半徑為r，⊙O與AB相切于點(diǎn)D，連接OD，如圖，∴OD⊥AB，∵OC⊥AC，∴AC為⊙O的切線，∴AD＝AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝1，在Rt△OBD中，12+r2＝（3﹣r）2，解得r=4即⊙O的半徑為43【點(diǎn)睛】本題考查切線的畫法，直角三角形中勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)定理內(nèi)容解題是關(guān)鍵．6．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC是鈍角(1)求作⊙O，使得圓心O在邊AC上，且⊙O經(jīng)過點(diǎn)B,C（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，設(shè)AC與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且AC=2AB=4AD求證：AB是⊙O的切線【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由⊙O經(jīng)過點(diǎn)B,C可知圓心O到點(diǎn)B,C的距離相等，因此線段BC的垂直平分線與AC的交點(diǎn)即為圓心O，由此可解；（2）連接OB，設(shè)AC=8k(k>0)，則AB=4k，AD=2k，利用勾股定理的逆定理判斷∠ABO=90°，即可證明AB是⊙O的切線．【詳解】（1）解：如圖1，⊙O是所求作的圓：圖1（2）證明：如圖2，連接OB，圖2設(shè)AC=8k(k>0)，則AB=4k，AD=2k，∴CD=AC-AD=8k-2k=6k，∴OC=OB=OD=1AO=AD+OD=2k+3k=5k．在△ABO中，OB2+A∴OB∴∠ABO=90°，即AB⊥BO．∵點(diǎn)B在⊙O上，∴AB是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的逆定理，切線的判定等，難度不大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)．7．（2023·福建福州·福建省福州華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC，△ADE均為等腰直角三角形，∠CAB=∠EAD=90°，AC=AB，AD=AE，H為BC的中點(diǎn)，連接BD．(1)尺規(guī)作圖：求作點(diǎn)F，使得BD=BF，BD⊥BF，點(diǎn)F在BD下方；(2)在（1）的條件下，求證：E，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長(zhǎng)DB，在其延長(zhǎng)線上取BD=BG，作線段DG的垂直平分線，在BM上且在BD下方截取BD=BF，即可求得答案；（2）連接CE，EH，F(xiàn)H，可證△CAE≌△BADSAS，可得CE=BD=BF，∠ACE=∠ABD=α，再證∠ECH=∠FBH，CH=BH，即可證得△ECH≌△FBHSAS，可知∠EHC=∠FHB，由∠EHC+∠EHB=180°，可知∠FHB+∠EHB=180°，即可證得E，H，【詳解】（1）解：延長(zhǎng)DB，在其延長(zhǎng)線上取BD=BG，以點(diǎn)D，點(diǎn)G為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧交于一點(diǎn)M，連接BM，可知BM為線段DG的垂直平分線，在BM上且在BD下方截取BD=BF，

如圖，點(diǎn)F即為所求；（2）證明：連接CE，EH，F(xiàn)H，∵∠CAB=∠EAD=90°，AC=AB，AD=AE，則∠CAB-∠CAD=∠EAD-∠CAD，∠ACB=∠ABC=45°，∴∠CAE=∠BAD，∴△CAE≌△BADSAS∴CE=BD=BF，∠ACE=∠ABD=α，∴∠ECH=∠ACE+∠ACB=45°+α，∠DBC=∠ABC-∠ABD=45°-α，∵BD⊥BF，∴∠DBF=90°，則∠FBH=∠DBF-∠DBC=90°-45°-α∴∠ECH=∠FBH，又∵H為CB的中點(diǎn)，∴CH=BH，∴△ECH≌△FBHSAS∴∠EHC=∠FHB，又∵∠EHC+∠EHB=180°，∴∠FHB+∠EHB=180°，∴E，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，作出圖形，掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AD平分∠BAC交BC于D

(1)尺規(guī)作圖：求作⊙O，使得圓心O在AB上，且⊙O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)；(2)求證：直線BC是⊙O的切線．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】（1）先作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，AO為半徑作圓，即可；（2）連接OD．根據(jù)OA=OD，可得∠OAD=∠ODA，即可得∠CAD=∠ADO，則有AC∥OD，進(jìn)而有∠ODB=∠C=90°，問題隨之得證．【詳解】（1）如圖，

⊙O即為所求；（2）證明：連接OD．∵根據(jù)作答圖可知點(diǎn)O在線段AD的垂直平分線上，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∵OD是半徑，∴BC是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，切線的判定以及平行線的判與性質(zhì)等知識(shí)，按要求作出符合要求的圓是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠CAE是△ABC的一個(gè)外角．（1）用尺規(guī)作圖方法，按要求作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）①作△ABC的高AD；②作∠CAE的平分線AM；（2）判斷（1）中的AM與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）AM//【分析】（1）①根據(jù)過直線外一點(diǎn)做已知直線垂線的方法作高AD；②根據(jù)角平分線的作法作∠CAE的平分線AM；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD=12∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CAM=【詳解】解：（1）如圖：①AD為所作的△ABC的高；②射線AM為所作的∠CAE的平分線．（2）AM//證明如下：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=1∵AM是∠CAE的平分線，∴∠CAM=1∴∠CAD+∠CAM=1∴AD⊥AM，∴AM//【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及平行線的判定，關(guān)鍵是掌握角平分線和過直線外一點(diǎn)做已知直線垂線的作圖方法．10．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在銳角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺規(guī)作圖：作BC邊的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D、E（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連結(jié)BD，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案】（1）作圖見解析；（2）△ABD的周長(zhǎng)為【詳解】分析：（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分BC；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC，則利用等量代換得到△ABD的周長(zhǎng)=AB+AC，然后把AB=2cm，AC=3cm代入計(jì)算計(jì)算．詳解：（1）如圖，DE為所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．點(diǎn)睛：本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．11．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖，證明：三角形一內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．（要求：在給出的△ABC中用尺規(guī)作出∠A的角平分線AD交BC于D，保留作圖痕跡，不要求寫出作法，并根據(jù)圖形寫出已知、求證和證明．【答案】見解析【分析】先按要求作出圖形，過C作CE//DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)平行的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到∠3＝∠E，得到AC＝AE，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到答案；【詳解】如圖所示，AD即為所求已知：△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D求證：ABAC=證明：過C作CE//DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∵AD是角平分線，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E（等量替換），∴AC＝AE

又∵AD∥CE，∴ABAE∴ABAC【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023·福建廈門·福建省廈門第二中學(xué)校考二模）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B=70．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AE，交CD于點(diǎn)E；(要求：不寫作法，保留作圖痕跡)（2）求∠AEC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）125°【分析】（1）根據(jù)角平分線的畫法直接作圖即可；（2）利用角的等量代換運(yùn)算求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示：圖即為所求；（2）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ABC=70°∴∠BAC+∠ACB=180°-70°=110°∵∠EAC=12∴∠EAC+∠ECA=∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-55°=125°【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用角的等量代換是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC．(1)求作一點(diǎn)O，使得△ABC繞點(diǎn)O不論旋轉(zhuǎn)多少度，得到的△A'B(2)在（1）的條件下，求證：△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形也內(nèi)接于△ABC的外接圓．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出△ABC的外心點(diǎn)O，即可求解；（2）根據(jù)圓的半徑處處相等，即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，作AB,BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求，（2）解：如圖所示，△A'B'C證明：∵△A'B'C設(shè)⊙O的半徑為r，∴OA=OA1∴△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形也內(nèi)接于△ABC的外接圓．【點(diǎn)睛】本題考查了作三角形的外心，中心對(duì)稱的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．14．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ODB，其中點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q．(1)請(qǐng)畫出△QDB（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若AB=2，求PA+PB+PC的最小值．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）以點(diǎn)B與點(diǎn)P為圓心，以BP長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)Q，同理，以點(diǎn)B與點(diǎn)A為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)D，連接BD，BQ，DQ，則△QDB為所求三角形；（2）過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，由題可知△PAB≌△QDB，即可證得△PBQ是等邊三角形，根據(jù)△ABC是等邊三角形，即可得到BE、CE的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理求得DE、CD的長(zhǎng)，于是根據(jù)由兩點(diǎn)之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，故當(dāng)C，P，Q，D四點(diǎn)共線時(shí)，即可得到【詳解】（1）解：如圖所示，△QDB即為所求作的三角形．（2）解：過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E，連接PQ，CD，∴∠BED=90°．∵△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△QDB，其中點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q，∴△PAB≌△QDB，∴PA=DQ，PB=QB，BD=AB=2，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=QP．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，BC=AB=2．∵∠ABC+∠ABD+∠DBE=180°，∴∠DBE=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=12BD=1，在Rt△BDE中，DE=在Rt△CDE中，CD=由兩點(diǎn)之間，線段最短可得DQ+QP+PC≥CD，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，Q，D四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，∴DQ+QP+PC≥23，即PA+PB+PC≥2∴PA+PB+PC的最小值是23【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，尺規(guī)作三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)以及定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．(1)作⊙O，使其與線段AB、CD分別相切于點(diǎn)E、F（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)⊙O與OD相交于點(diǎn)G，連接AG，若AG與⊙O相切，求tan∠ACB【答案】(1)見解析(2)tan【分析】（1）過點(diǎn)O作EF⊥AB于E，交CD于F，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作⊙O，即可；（2）證明∠ACB=60°，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，⊙O即為所求；（2）解：如圖，∵AB，AG與⊙O分別相切于E，G，且OG為半徑，∴OG⊥AG于G，∠OAE=∠OAG，∴∠AGB=90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB，∴OA=OB，∴∠OAE=∠OBE=∠OAG，又∠OAE+∠OBE+∠OAG=∠GAB+∠GBA=90°．∴∠OAE=30°，∴∠ACB=90°-∠OAE=60°，∴tan∠ACB=【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．16．（2023·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）在AB上求作點(diǎn)D，使△CDB∽△ACB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若BC=5，AC=12，求BD長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BD=【分析】（1）已知△ACB是直角三角形，要使△CDB∽△ACB，則△CDB也是直角三角形，因此我們需要作D點(diǎn)，使得CD⊥AB；（2）根據(jù)勾股定理先求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)第（1）問的結(jié)論，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，列出等式BCAB=BDBC【詳解】（1）當(dāng)∠ADC=∠ACB=90°，∠B=∠B時(shí)，△CDB∽△ACB．如圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn)．（2）證明：∵BC=5，AC=12，∠ACB=90o，∴AB=A∵△CDB∽△ACB，∴BCAB∴BD=B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用和尺規(guī)作圖．解本題的關(guān)鍵要掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及作圖方法．17．（2023·福建廈門·中考模擬）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°．（1）尺規(guī)作圖：在BC上求作E點(diǎn)，使得△ABE與△ABC相似；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，AC＝3，AB＝4，求△AEC的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）△AEC的周長(zhǎng)＝36【分析】（1）過點(diǎn)A作BC的垂線即可；（2）在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理可求出BC長(zhǎng)，由（1）知，△ABE與△ABC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例，由此，可求出AE,CE長(zhǎng)，即知△AEC的周長(zhǎng).【詳解】解：（1）如圖所示，點(diǎn)E即為所求；（2）由（1）可得，△ABE∽△CBA，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，∴AE＝125，CE＝9∴△AEC的周長(zhǎng)＝3+125+95＝【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，確定相似三角形成比例的線段是解題的關(guān)鍵.18．（2023·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）如圖