2020-2021學(xué)年河北省石家莊市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.某學(xué)校有高中學(xué)生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分層抽

樣的方法抽取一個(gè)容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為

（）

A.25、15、5B.20、15、10C.30、10、5D.15、15、15

.2021_

2.已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^——，則z的共根復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知a,P是兩個(gè)不同的平面，m,n是兩條不同的直線，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.如果相〃a,n//a,那么相〃〃

B.如果加_La,n//a,那么m_L〃

C.如果機(jī)_L〃，m±a,幾〃0,那么a_L0

D.如果a〃（3,直線小與a所成的角和直線〃與0所成的角相等，那么加〃〃

4.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3,再減去50,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平

均數(shù)是1.6,方差是3.6,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）

A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.4

5.已知AA3c內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c,面積為S.若公皿蟲尸=加1謾，2s

=V3BA*CA）則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為寫，面積為

6.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上,

3TT,則球O的表面積等于（）

81兀c81HC⑵兀D1211

AA.---B.---

82.~8~-2~~

7.已知函數(shù)g（x）=/3sin（a）x+cp）,g（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的寺，得

到了（X）的圖象，了（無）的部分圖象如圖所示，若標(biāo)?前=|標(biāo)|2,則3等于（)

8.已知菱形A3C。邊長為1,ZBAD=60°,對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)0,將菱形ABCD沿

對(duì)角線折成平面角為。的二面角，若。060。，120。］,則折后點(diǎn)O到直線AC距離

A.最小值為孚，最大值為5

B.最小值為卓，最大值為

44

c.最小值為六，最大值為g

44

D.最小值為日，最大值為府

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)或不選得0分.

9.下列命題不正確的是（）

A.若z=a+bi（a,beR）,則當(dāng)。=0時(shí)，z為純虛數(shù)

B.若Zl,Z26C,ZI2+Z22=0,則Zl=Z2=0

C.若實(shí)數(shù)。與出對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

D.若|z+愿+i|=l,則團(tuán)的最大值為3

10.已知向量彳=（2,1）,E=（-3,1）,則（）

A?（a+b）_La

B,向量之在向量芯上的投影向量是-華工

C-Ia+2bl=5

D.與向量W共線的單位向量是（2普,

11.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改

造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A（3,-3?）出發(fā)，沿圓周

按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過/秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到尸點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸

JT

的坐標(biāo)為（％,y）,其縱坐標(biāo)滿足＞=/（力=Rsin什cp）（/20,a）＞0,|（p|＜^-）,

則下列敘述正確的是（）

7T

A?

B.當(dāng)上［0,60］時(shí)，函數(shù)＞=/（力單調(diào)遞增

C.當(dāng)正［0,60］時(shí)，點(diǎn)尸到x軸的距離的最大值為3d5

D.當(dāng)1=100時(shí),\PA\=6

12.已知直三棱柱ABC-AiBiG中，ABLBC,AB=BC=BBi,。是AC的中點(diǎn)，。為AC

的中點(diǎn).點(diǎn)尸是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BCi中點(diǎn)時(shí)，直線4P與平面4BC1所成的角的正切值為陣

5

B.無論點(diǎn)尸在上怎么運(yùn)動(dòng)，都有

PQ1

C.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，才有4P與相交于一點(diǎn)，記為Q,且可豆=高

D.當(dāng)點(diǎn)P在2cl上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AiP與AB所成角可以是30°

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)2+，為一元二次方程^+ax+b=0（a,Z?GR）的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)|〃+初|

14.如圖，在△ABC中，AN=-^NC-尸是線段2N上的一點(diǎn)，若屈=，而+!記則實(shí)數(shù)

/b

15.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息.如圖（1）的多面體石凳是由圖

（2）的正方體石塊截去八個(gè)相同的四面體得到，且該石凳的體積是16°2°。sP,則正

O

方體石塊的棱長是cm；若將圖（2）的正方體石塊打磨成一個(gè)球形的石凳，則此

球形石凳的最大體積是

圖⑵

16.設(shè)定義在區(qū)間（0,—）上的函數(shù)y=2cosx的圖象與y=3tanx的圖象交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸

作無軸的垂線，垂足為P,直線PPi與函數(shù)y=sinx的圖象交于點(diǎn)2,則線段尸的長

為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知向量；、芯滿足日|=忘=1,1^a+bl^Vsia'^bl（%>。，依R）.

（1）求之關(guān)于左的解析式/（力；

（2）若之〃E，求實(shí)數(shù)上的值；

（3）求向量之與己夾角的最大值.

18.已知函數(shù)f（x）=Asin（Sx告）（A>0,3>0）只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩

個(gè)：

①函數(shù)/（》）的最大值為2；②函數(shù)/（x）的圖象可由yfQsin（x-T-）的圖象平移得

至U;③函數(shù)/（X）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為光

（1）請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，并求出了（X）的解析式；

（2）求方程f（x）+1=0在區(qū)間［-互，IT］上所有解的和.

19.如圖，在四棱錐尸-A2CD中，底面ABC。是正方形，側(cè)面尸的＞，底面ABC，E為側(cè)

棱尸。的中點(diǎn).

（1）求證：PB〃平面ACE；

（2）若平面ABE與側(cè)棱PC交于點(diǎn)F.且PA=PO=AO=2,求四棱錐P-ABFE的體積.

20.某科研課題組通過一款手機(jī)APP軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步

量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表:

竹隹

mil-

0.048

064

0.040

0036

0032

0.028

0024

0.020

0.016卜一

0.012

0.008

0.004

10152025303540455055底網(wǎng)網(wǎng)(km閨)

周跑量[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)

（km/

周）

人數(shù)100120130180220150603010

（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖;

(2)根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(3)根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝

備的價(jià)格不一樣，如表:

周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里

類別休閑跑者核心跑者精英跑者

裝備價(jià)格(單位：元)250040004500

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)多少元?

21.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對(duì)小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地AOB進(jìn)行改建.如圖

所示，平行四邊形OMPN區(qū)域?yàn)橥＼噲?chǎng)，其余部分建成綠地，點(diǎn)尸在圍墻AB弧上，點(diǎn)

M和點(diǎn)N分別在道路。1和道路上，且。4=60米，ZAOB=60°,設(shè)

(I)求停車場(chǎng)面積S關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式，并指出0的取值范圍；

(II)當(dāng)e為何值時(shí)，停車場(chǎng)面積s最大，并求出最大值.

22.如圖1,在等腰梯形中，AB//CD,AB=3,CD=1,BC=2,E、尸分別為腰AD、

的中點(diǎn).將四邊形CD所沿EF折起，使平面斯UD,，平面A2EE,如圖2,H,

M別線段ERA2的中點(diǎn).

(I)求證：平面EFCD'；

(II)請(qǐng)?jiān)趫D2所給的點(diǎn)中找出兩個(gè)點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線與平面D'HM垂直，并

給出證明：

(III)若N為線段C，D'中點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)Q,使得NQ〃面HM?如

果存在，求出線段NQ的長度，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

圖I圖2

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.某學(xué)校有高中學(xué)生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分層抽

樣的方法抽取一個(gè)容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為

（）

A.25、15、5B.20、15、10C.30、10、5D.15、15、15

解：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于黑=工，則高一、高二、高三各年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)

yuuzu

分別為

400X—=20,300X—=15,200X—=10,

202020

故選：B.

.2021_

2.已知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=^——，則z的共輾復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

[2021a境。/_i式1+-_-l+i1,1-.一=11.

1-i-1-i-（l-i）（l+i）-2-22G*'z-22匕

—11

z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，一萬），在第三象限.

故選：C.

3.已知a,p是兩個(gè)不同的平面，m,n是兩條不同的直線，下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.如果機(jī)〃a,n//a,那么

B.如果小_La,n//a,那么m_Lzz

C.如果用_L〃，m,La,n//p,那么a_L0

D.如果a〃0,直線相與a所成的角和直線〃與0所成的角相等，那么小〃〃

解：如果加〃a,n//a,那么用〃〃或相與〃相交或相與〃異面，故A錯(cuò)誤；

如果加_La,則相與平行于a的所有直線垂直，又〃〃a,那么機(jī)_L〃，故5正確；

如果加_L〃，m±a,則〃ua或〃〃a,又〃〃0,那么a〃0或a與0相交，故C錯(cuò)誤；

如果a〃仇且直線m與a所成的角和直線〃與0所成的角相等，可得m、n與平面a

成等角，

則相〃〃或相與〃相交或相與〃異面，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

4.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3,再減去50,得到一組新數(shù)據(jù)，若求得新的數(shù)據(jù)的平

均數(shù)是1.6,方差是3.6,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()

A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.4

解：設(shè)原來的數(shù)據(jù)為知

則3M-50的平均數(shù)是1.6,方差是3.6,

J37--50=1.6

,9D(xJ=3.6,

解得Xj=17,2,D(沏)=0.4.

???原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是17.2,0.4.

故選：C.

5.已知AA3c內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,面積為S.若〃sin's=AinA,2s

?不,則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

解：因?yàn)閛sin耳=bsinA,

ma.,兀B、B,.

所以〃sin(------)=acos——bsinA4,

由正弦定理可得sinAcos^-=sinBsinA,

因?yàn)閟inAWO,可得cos-^-=sinB=2sin^-cos^-,

因?yàn)锽e(0,IT),.€(0,—,cos—7^0,

所以可得$痣=￡,可得詈;，可得8=3，

又25=V3BA'CA>可得2x/bcsinA=^/^?bccosA,即tanA=^/"§,

,兀

因?yàn)锳E(0,TI),可得A=一^-,

o

所以則△ABC的形狀是正三角形.

故選：C.

6.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為面積為

O

3m則球。的表面積等于（）

,81H「81兀「121冗八121兀

A.----------o.----------C.------------D.------

8282

9JT

解：圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為三丁，面積為

3m設(shè)母線為/,所以等X12=3加所以母線長為：/=3,圓錐的底面周長為2m

底面半徑為廠=1,圓錐的高為：2%，

設(shè)球的半徑為：R,可得F=（2&-R）2+12,

9

解得仁誠，

球。的表面積：47rx曇=年?冗.

oZO

故選：A.

7.已知函數(shù)g（x）=J§sin（3x+cp）,g（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的處,得

到了（尤）的圖象，了（無）的部分圖象如圖所示，若Q?前=|標(biāo)則3等于（）

兀n7T兀

A------B--6

12cTD-T

解：已知函數(shù)g（x）=J^sin（（x）x+（p）,g（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的寺,

得到了（無）的圖象,

則/(x)=J^sin(2a)x+(p),

由標(biāo)"前=|標(biāo)|2,得-|AB||BC|cosNA2C=6BF，

9：2\AB\=\BC\,

cosZABC=--,

2

貝lJ/ABC=120°,

過8作BELc軸于E,

則2￡=遮，AE=3,

pjrJr

即周期7=12,即弓丁=12,得3=-,

2312

8.已知菱形ABC。邊長為1,ZBAD=60°,對(duì)角線AC與2。交于點(diǎn)。，將菱形ABC。沿

對(duì)角線即折成平面角為。的二面角，若。日60°,120。],則折后點(diǎn)。到直線AC距離

A.最小值為最大值為日

B.最小值為最大值為日

44

c.最小值為1，最大值為

44

D.最小值為最大值為

42

解：由二面角的定義知/AOC=e,ee[60°,120°],

在△AOC中解決點(diǎn)到直線的距離的最值,

因?yàn)锳O_LB。，COLBD,

所以NAOC=9,0e[6O°,120°],

因?yàn)榱庑蜛BC。的邊長為1，ZBAD=60°,

所以AO=CO=",

2_

i

點(diǎn)O到AC的距離d=?cos—ZAOC,

22

當(dāng)NAOC=e=60。時(shí)，d取得最大值容X^=,

224

當(dāng)/AOC=0=120。時(shí)，”取得最大值返義士=立，

224

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，選錯(cuò)或不選得0分.

9.下列命題不正確的是（）

A.若z=a+bi（a,Z?eR）,則當(dāng)。=0時(shí)，z為純虛數(shù)

22

B.若Zl,Z26C,Zl+Z2=0f則Zl=Z2=0

C.若實(shí)數(shù)。與出對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

D.若|z+?+i|=l,則|z|的最大值為3

解：對(duì)于A,當(dāng)。=0,6W0時(shí)，z為純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3,令Z1=LZ2=h則Z/+Z22=0,但不滿足Zl=Z2=0,故5錯(cuò)誤；

對(duì)于C當(dāng)。=0時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于|z+?+i|=l的幾何意義是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到（-遮，-1）的距離為1,

即z的軌跡為以（-?,-1）為圓心，1為半徑的圓，

則|z|的最大值為1+J（?）2+1=3，所以。正確；

故選：ABC.

10.已知向量彳=（2,1）,E=（-3,1）,則（）

A.（a+b）_La

B.向量Z在向量芯上的投影向量是-邛石

CIa+2bl=5

D.與向量Z共線的單位向量是（手，哈）

解：因?yàn)橄蛄緻=（2,1）,b=（-3,1）,故a，b=-5，

對(duì)于A,&+b=（-1,2）,所以（a+b）p（-1）+2X1=0,所以（a+b）Ia，

故A正確;

對(duì)于B,向量；在向量E上的投影向量是|Z|cos8?占=|之|?,一；2,?占=

lbIlaIlbI|bI

—?—?

a*b-—5-1——一

《丹—b==b,(注：9是向量a,b的夾角)，故3錯(cuò)誤；

|b|2(-3)2+12

對(duì)于C，a+2b=(-4,3)，所以于+2b|=V(-4)2+32=5,故C正確；

對(duì)于D2共線的單位向量是士高，即(攣，辱或(-攣，-李)，故。

Ia|5555

錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改

造自然的象征.如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3,-3?)出發(fā)，沿圓周

按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.經(jīng)過f秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸

的坐標(biāo)為(x,j),其縱坐標(biāo)滿足y=/G)=Rsin(co/+(p)00,a)>0,|cp|<^-),

則下列敘述正確的是()

B.當(dāng)怎［0,60］時(shí)，函數(shù)>=/(力單調(diào)遞增

C.當(dāng)正［0,60］時(shí)，點(diǎn)尸到x軸的距離的最大值為3d5

D.當(dāng)［=100時(shí)，\PA\=6

解：由題意，R=32+(-3^3)2=6>7=120,所以3=三廣=而；

又點(diǎn)A(3,-3日)代入f(x)可得-3j^=6sin(p,解得sin(p=-

又所以A正確；

4O

ITITJTITITOTT

所以/（力—6sin——），當(dāng)怎［0,60］時(shí)，——t——G［——,―--］,所以函數(shù)

60360363

/（x）先增后減，5錯(cuò)誤；

怎［0,60］時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6,。錯(cuò)誤；

當(dāng)/=100時(shí)，三"-3=絲-，尸的縱坐標(biāo)為y=-3代，橫坐標(biāo)為尤=-3,所以1PAi

□Uoo

=6,￡＞正確.

故選：AD.

12.已知直三棱柱ABC-ABG中，ABLBC,AB=BC=BB\,。是AC的中點(diǎn)，。為AC

的中點(diǎn).點(diǎn)P是8G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BQ中點(diǎn)時(shí)，直線4P與平面A1SC1所成的角的正切值為艱

5

B.無論點(diǎn)尸在3cl上怎么運(yùn)動(dòng)，都有AiP_L08i

C.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到8G中點(diǎn)時(shí)，才有4P與。氏相交于一點(diǎn)，記為Q,且行;=方

D.當(dāng)點(diǎn)尸在BG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線4P與AB所成角可以是30°

解：直三棱柱ABC-A向G中，AB1BC,AB=BC=BBi,

對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BQ的中點(diǎn)是，有E為31cl中點(diǎn)，連接4E,EP,如下所示:

B

即EPJ_平面4B1G,

所以直線AiP與平面AiBiCi所成的角的正切值，tanNP4E=矢,

AE

因?yàn)镋P*BBi,AE='A1B12+BiE2=苧BBI,

J?

所以tan/PAiEn^—,故A正確；

5

對(duì)于3：連接BiC,與BCi交于點(diǎn)E,并連接ALB,

如下圖所示:

由題意知，BBCG為正方程，即有BiCu面BICC1,

所以XAiBinBiC=Bi,

所以面A1SC,OBiu面4B1C,故3cl_LOBi,

同理可證：AtBlOBi,又AiBCBCi=B,

所以面ALBG,

又AiPu面4BC1,即有AiPLOBi,故3正確；

對(duì)于C：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到3cl的中點(diǎn)時(shí)，即在△AiBC中4尸，。氏均為中位線,

B

所以。為中位線的交點(diǎn)，

PQ1

所以根據(jù)中位線的性質(zhì)有西'=方，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由于直線4P與直線AB所成的角為4歷與4P所成的角，即NB14P,

B

當(dāng)P在8或G上是，NBiAiP最大為45。，

當(dāng)尸在BC\的中點(diǎn)時(shí)，ZBiAiP最小為arctan^-^->arctan^^-=30°,

23

所以NSAiP不可能是30°,故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.復(fù)數(shù)2+i為一元二次方程N(yùn)+QX+Z?=0（a,加R）的一個(gè)根，則復(fù)數(shù)|〃+初尸—.

解：??，2+，為一元二次方程/+以+/?=0（a,Z?GR）的一個(gè)根,

...2-i為一元二次方程必+以+8=。（〃，加R）的另一個(gè)根，

??.|〃+如=卜4+5i\=(-4)2+52=V41-

故答案為：^/41?

14.如圖，在△ABC中，祈=[而尸是線段BN上的一點(diǎn)，若屈=加鼐+春記則實(shí)數(shù)

/0

■■?1"?..

解：因?yàn)锳N=yNC，則AC=3AN，

....*?0?■—?1—?

所以AP=mAB塞AC=^ABqX3AN=mAB

因?yàn)辄c(diǎn)B，P,N三點(diǎn)共線，所以若■=]_,則相=看,

_2

故答案為：—.

b

15.某廣場(chǎng)設(shè)置了一些多面體形或球形的石凳供市民休息.如圖(1)的多面體石凳是由圖

(2)的正方體石塊截去八個(gè)相同的四面體得到，且該石凳的體積是16°i°。?！?,則正

方體石塊的棱長是40cm；若將圖(2)的正方體石塊打磨成一個(gè)球形的石凳，則此

球形石凳的最大體積是_32。?0兀_那.

用⑴圖⑵

113

解:設(shè)正方體石塊的棱長為a,則每個(gè)截去的四面體的體積為工X-X-X-X-^--

3222248

3

由題意可得8義且一+16吵°°=a?,解得。=40.

'483

故正方體石塊的棱長為40cm；

當(dāng)球形石凳的面與正方體的各個(gè)面都相切時(shí)，球形石凳的表面積最大,

此時(shí)正方體的棱長正好是球的直徑，此時(shí)石凳的最大體積是v=等兀X（岑）3=

-3-2-00--0-兀-cm'3.

3

故答案為：40皿；3205。兀那

JT

16.設(shè)定義在區(qū)間（0,―）上的函數(shù)y=2cosx的圖象與y=3tanx的圖象交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸

作x軸的垂線，垂足為尸1,直線PP與函數(shù)y=sin%的圖象交于點(diǎn)尸2,則線段P1P2的長

為I-

~2~

?2

解：設(shè)尸（龍，y）,貝U2cos%=3tanx=3^絲，???siiix=）”,

cosx3

sin2x+cos2x=1,

A

4.422

A—COSx+COSX=1,解得COs2%="Y，或COS2X=-3（舍）.

94

2=-

V0<x<^,/.sin%=71-coSX7-

PiP2=siiu=-^-.

故答案為：

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知向量；、芯滿足百=陰=1,l^a+bl=V3la_^bl（左>。，依R）.

（1）求關(guān)于左的解析式/（%）；

（2）若Z〃E，求實(shí)數(shù)上的值；

（3）求向量:與芯夾角的最大值.

解：（1）,??欣;+El=?R-亞I，

』3（藪亞）2,

","Ial=lbl=l>

?，-k2+2ka-b+l=3(1-2后兀+/)

8。?E=2+2%2,

?.,左＞0,依R,

?"?a(上^),

f(k)=-y(A:+—),

4k

⑵：/b，

a*b=±IaIIb|=±b

?*-k+^-=±4.

；M=2土美或-2土炎，

(3)設(shè)之，5夾角為e,則根據(jù)數(shù)量積公式，得

1

cos0=^r~~-=-y(A:+—)X

lallbl4k42,

.,.owew-,

向量@與b夾角9的最大值-

O

18.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x哈)(A〉0,3〉0)只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩

個(gè)：

①函數(shù)/(x)的最大值為2；②函數(shù)/(x)的圖象可由y飛歷sin(x-=-)的圖象平移得

至IJ;③函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為：.

(1)請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，并求出了(%)的解析式；

(2)求方程/(X)+1=0在區(qū)間［-TT,n］上所有解的和.

解：(1)函數(shù)f(x)=Asin(3乂々-)滿足條件為①③：

理由如下：由題意可知條件①②互相矛盾，

故③為函數(shù)￡6)=人5：111(3*今)滿足的條件之一.

由③可知：T=n,所以3=2.

故②不合題意.

TT

所以函數(shù)f(x)=Asin(O)xT)滿足條件為①③:

由①知：A=2.

所以f(x)=2sin(2x-<^-).

(2)由于/(x)+1=0.

兀1

所以sin(2%+—)=

b2

TTJTTT7TT

所以2x+丁=-^+2k?；?xr=~^+2k兀（依Z）,

6666

兀TT

解得：x=一丁+k兀或-71+k兀（依Z）,

o2

由于xe[-ii,n],

所以X的取值為一，器，?，等.

bb22

所以方程/（尤）+1=0的所有的解的和為2*.

O

19.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAO_L底面ABCD,￡為側(cè)

棱的中點(diǎn).

（1）求證：尸8〃平面ACE；

（2）若平面ABE與側(cè)棱PC交于點(diǎn)F.且PA=PD=AD=2,求四棱錐P-ABFE的體積.

【解答】（1）證明：連接BD,^BDQAC=O,則。為2D的中點(diǎn)，連接。E,

為PO的中點(diǎn)，。為B。的中點(diǎn)，J.OE//PB,

又OEu平面ACE,詠平面ACE,

〃平面ACE；

（2）解：由ABC。是正方形，可得05〃平面ABE,CDu平面尸CD,

設(shè)平面PCOC平面ABE=EP,FEPC,：.CD//EF,而E為P。的中點(diǎn)，

則尸為PC的中點(diǎn)，EF//CD且EF=^CD,

在正方形A3CD中，AB〃CD且AB=CD,J.AB//EF,EF=yAB>

則四邊形ABFE為梯形，

:側(cè)面E4O_L底面ABCO,平面PADC1底面ABCO=AO,CDu平面ABCD,CD±AD,

，CD_L平面PA。，又AEu平面E4O,可得CDL4E,

而O）〃￡R可得四邊形ABEE為直角梯形.

EF=^CD=\,A￡=^.X2=V3.

S梯形ABFE卷X（2+1）

由CD_L平面PA。，POu平面PA。，得CD_LPD,從而E7LLP。，

在正三角形尸4。中，E是尸。的中點(diǎn)，則AELP。，

又AECEF=E,AE、EFu平面ABFE,/.PD±5P?ABFE,

???PE^Pg'二小謝今年叩EgX竽X1考.

20.某科研課題組通過一款手機(jī)A尸尸軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步

量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表:

M津

而

0.048

0.044

U.O40

0.036?一

0032一

0.028--

0024--

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

周跑量[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55)

{km/

周）

人數(shù)100120130180220150603010

（I）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖;

(2)根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，試求樣本的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(3)根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝

備的價(jià)格不一樣，如表：

周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里

類別休閑跑者核心跑者精英跑者

裝備價(jià)格(單位：元)250040004500

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)多少元?

解：(I)補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖如下：

km4)

(2)由頻率分布直方圖得:

[10,25)的頻率為：