2024年集英苑冬季賽

數(shù)學(xué)

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共3頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間140分鐘.

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.10g24=()

A.-1B.0C.1D.2

2.平面向量a==(2,3)則|。+口=()

A.3B.5C.7D.11

x>-1,

3.已知實(shí)數(shù)尤,y滿足約束條件｛y22x,該約束條件在坐標(biāo)平面上表示的區(qū)域如圖所示，則y的取值范圍是

y<x+V

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[-2,1]D.[-1,2]

4.已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=4%〉1，若4=L則〃=()

A.2B.3C.4D.5

5.設(shè)a,beR,集合Aulql+ibBua/z+i｝.則“A=5”是“a=b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.某考試評(píng)定考生成績(jī)時(shí)，采取賦分制度：只有原始分排名前3%的同學(xué)才能賦分97分及以上.若這些學(xué)生

的原始分的最大值為。，最小值為b,令/(x)為滿足f(a)=100,/(Z?)=97的一次函數(shù).對(duì)于原始分為

的學(xué)生，將/(x)的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分96,賦分100；小葉原始分

1

81,賦分97；小林原始分89,他的賦分是()

A.97B.98C.99D.98或99

7.在△ABC中，角所對(duì)的邊分別是〃涉,。.已知。二——/UQCCOSA,貝iJtanA=()

3

A.2—y/3B.C.1D.A/2

2

8.隨機(jī)事件ABC滿足尸(AlB)+P(B|C)+P(C|4)=1,則2(4)+2(8)+2(0的取值范圍是()

91(91(3~

A.1,—B.0,—C.0,—D.(0,2)

L7JI7」I2」

非選擇題部分(共110分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

9.函數(shù)y=sin?x的最小正周期是.

10.橢圓=1經(jīng)過(guò)雙曲線犬一丁=。2(?！?)的焦點(diǎn)，則。=.

11.已知圓錐4。的高等于底面半徑r,則圓錐AO與半徑為r的球的表面積之比是.

2

12.若數(shù)列｛見(jiàn)｝滿足對(duì)任意neN*,數(shù)列｛??)的前n項(xiàng)至少有n項(xiàng)大于w,且an>0,則稱(chēng)數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)

22

M.若存在具有性質(zhì)M的數(shù)列｛4｝，使得其前”項(xiàng)和Sn<加恒成立，則整到4的最小值是.

三、解答題：本大題共5小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

13.(本題滿分15分)如圖，已知三棱柱A5C—A4G，AG，平面3c.。,￡分別是30,4。］

的中點(diǎn).

(I)證明：。石〃平面44G；

(II)設(shè)AQ與平面ABB^所成角的大小是a,若AD，BQ，證明：ZBAC=a.

14.(本題滿分15分)設(shè)QWR,函數(shù)/(x)=(x+a)lnx,g(x)=xln(x+a).

2

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)是否存在使得/(X)是(0,+00)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且g(x)是(-a,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)？若存在，

試求出。的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.(本題滿分20分)設(shè)M是由復(fù)數(shù)組成的集合，對(duì)M的一個(gè)子集A,若存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得A的所

有數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上，且gA中的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓外，則稱(chēng)A是一個(gè)M的“可分離

子集”.

(I)判斷｛1,2,3｝是否是",1,2,3｝的“可分離子集”，并說(shuō)明理由；

(II)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足0<Re(z)<l,0<Im(z)<1,其中Re(z),Im(z)分別表示z的實(shí)部和虛部.證明：｛z,刃是

｛Liz,z,R的“可分離子集”當(dāng)且僅當(dāng)|z|<l.

16.(本題滿分20分)已知A是拋物線>2=2px(p〉0)上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，斜率為％的直線4與拋物線恰

有一個(gè)公共點(diǎn)A(4與x軸不平行).

(I)當(dāng)％1=32p時(shí)，求點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；

(H)斜率為左2的直線4與拋物線交于8,c兩點(diǎn)，且△ABC是正三角形，求2的取值范圍.

17.(本題滿分20分)春節(jié)將至，又是一年萬(wàn)家燈火的團(tuán)圓之時(shí).方方正正的小城里，住著IO。。2戶人家，恰

好構(gòu)成了坐標(biāo)平面上集合A=｛(x,y)|l<x,y<1000,x,yeZ)的所有點(diǎn).夜里，小城的人家掛上大紅燈籠，

交相輝映，將小城的夜晚編織成發(fā)光的大網(wǎng).在坐標(biāo)平面上看，A中的每個(gè)點(diǎn)均獨(dú)立地以概率°被點(diǎn)亮，或以

1-P的概率保持暗滅.若A中兩個(gè)點(diǎn)的距離為1,則這兩個(gè)點(diǎn)被稱(chēng)為是相鄰的.若A中的〃個(gè)被點(diǎn)亮的點(diǎn)(〃21)

構(gòu)成一依次相鄰的點(diǎn)列4,…,4,則稱(chēng)這〃個(gè)點(diǎn)組成的集合｛A，…,4｝是長(zhǎng)度為〃的“相鄰燈籠串”.規(guī)定空

集是長(zhǎng)度為。的“相鄰燈籠串”.

(I)給定A中3個(gè)依次相鄰的點(diǎn)a。/),4(2』),4(3,1),記隨機(jī)變量X為集合｛&4,4｝包含的“相鄰燈

籠串”的長(zhǎng)度的最大值，試直接寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列(用p表示)；

(II)若°=0.3,證明：存在長(zhǎng)度為1000的“相鄰燈籠串”的概率小于0.01；

(III)若p=0.9,證明：存在長(zhǎng)度為1000的“相鄰燈籠串”的概率大于0.99.

參考答案

3

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，共40分.

1.D2.B3.A4.C5.C6.D7.C8.D

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題5分，共20分.

1+72

9.n10.111.---------12.2

4

三、解答題：本大題共5小題，共90分.

13.本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查直觀想象素養(yǎng).滿分

15分.

(I)由。,E分別是的中點(diǎn)知。石〃AB.

又因?yàn)锳BC—44G是三棱柱，故

又。E不在平面AgG上，因此。石〃平面

(II)設(shè)銳二面角A-4與一G的平面角的大小是P，連接A3],由AG1平面4與。]知a+￡=.

又AB，3C,故14cl，因此NAB?=/3,ZB.AQ=a,tanZBjAQ=烏邑.

AC]

由ADL3G，。是BG的中點(diǎn)知AG=A3.又tanNR4C=有，而3C=與q,得

tanABAC=tan，故ABAC=ABXACX=a.

14.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等素養(yǎng).滿分15分.

(I)當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)=x]nx,x>0.

/'(%)=l+ln%,

所以，/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(o,，],單調(diào)遞增區(qū)間是

(II)不存在，理由如下:

4

假設(shè)存在a,使得/(x)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且g(x)是(-a,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù).

令h(x)=8(%-。)=(%-4)111%,則/?)是(0,+00)上的單調(diào)遞增函數(shù).

又以x)也是(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，令/(%)=/(尤)+/?(幻=xlnx,則尸。)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函

數(shù).

但由(I)知函數(shù)/(%)=xlnx在(0,+co)上不單調(diào).

故不存在a,使得/(%)是(0,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且g(x)是(-a,+oo)上的單調(diào)遞增函數(shù).

15.本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯

推理等素養(yǎng).滿分20分.

(I)是，理由如下：

取復(fù)平面上的圓｛z||z-2|=2｝,

則復(fù)數(shù)1,2,3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在圓內(nèi).

而|2-i|=&\

故復(fù)數(shù)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外.

因此，｛1,2,3｝是",1,2,3｝的“可分離子集”.

(II)必要性：當(dāng)|z|<l時(shí)，令復(fù)數(shù)

a=~(l-\z|)Re(z),

取復(fù)平面上的圓｛。||?！?。|=|z-a|｝,

則z,彳在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓周上，

又|1—Q|—|z—a|>l—2a—|z|>0,

故1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外.

由|z—1『二|2『一2aRe(z)+a?,

\iz-a|2=|z|2+2〃Im(z)+/,

知|iz-a|>|z-a\.

故iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓外.

因此，當(dāng)|z|<l時(shí)，｛z,R是目的“可分離子集”.

充分性：只需證當(dāng)|z|21時(shí)，｛z3｝不是z,刃的“可分離子集”.

5

假設(shè)存在復(fù)平面上的一個(gè)圓，使得Z,彳在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓內(nèi)或圓周上，且1,iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

圓外.

設(shè)圓心表示的復(fù)數(shù)為④x=Re(0),y=Im(G).再設(shè)Z?=Re(z),c=Im(z).

由|Z—CD|<|1—69|知

(x_b)2+(y-c)2<(x-1)2+y2,

故2(l—〃)%—2cy<l—|z『<0.

由|Z—CD|<|1-69|知

(x-Z?)2+(y+c)2<(x-l)2+y2,

故2(1-Z;)X+2C7<1-1z|2<0.

進(jìn)而(1-b)2f_c2y2>0,

x<0,

由|三一G|<|iz-g|知

(x-b)2+(y+c)2<(x+c)2+(y-Z?)2,

故x-y>0,

進(jìn)而(1-Z?)2%2-c2y2<(1-|zI2-2b)y2<0.

這與(1-6)2/_c2y2〉0矛盾，故所假設(shè)的圓在復(fù)平面上不存在.

即當(dāng)|z|21時(shí)，｛Z,可不是｛Liz,z3｝的“可分離子集”.

16.本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)

學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).滿分20分.

(I)由題意可設(shè)直線乙：丁―%=%(％—/)，代入拋物線：/=2px得

)

9+2PFf=0.

%I勺J

由題意，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，故

又勺二32p,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)

6

(II)由題意可設(shè)直線45:〉—%=/(%—/)，代入拋物線＞2=2口工得

,2一勺+24+,=0'

,,_2P

故%=7—%.

設(shè)直線AC:y—%=s(x—5)，同理可得

2P

先丁9

由|A3|=|AC|知

TT

不妨設(shè)A,B,C是繞著△A5C的重心逆時(shí)針排列的，則由ABAC=上知

3

結(jié)合t<-A/3及/>0時(shí)>3—丁從與一VA同號(hào)可知

p—r+3t

yA+D（2/—+3）

又—力一先=2P,進(jìn)而

-XB—XCyB+yc

l=A±2c=fl+lV_b

&2%{ts）yA

代入化簡(jiǎn)得

7

當(dāng)f時(shí)，易知A。，％軸，B位于坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)

3

左1=%+>c=1

%22yA2

而/=0,土百，—-均不符合題意.

3

因此，的取值范圍是(一1，°)1°，；

17.本題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，古典概型中事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)

運(yùn)算，邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).滿分20分.

(I)X的分布列為:

X01