重難點突破03陰影部分面積求解問題

目錄

題型過關(guān)練N

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構(gòu)造和差法

題型03割補法

類型一全等法

類型二等面積法

類型三平移法、旋轉(zhuǎn)法

類型四對稱法

題型04容斥原理

題型過關(guān)練N

【基礎(chǔ)】設(shè)。O的半徑為R,n。圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長公式/=寢（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表

180

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）

2

扇形面積公式cmiR1e

S扇形=360=JR

圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=Tirl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=7ui+Tir2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h,圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長公式計算弧長時，應(yīng)先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結(jié)果.在弧長公式

1=黑中，已知1,n,R中的任意兩個量，都可以求出第三個量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然

后直接代入公式S扇形=需或S扇形=中求解即可.

3）扇形面積公式S扇形="R與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、

把弧長1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量.

5）在解決有關(guān)圓錐及其側(cè)面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側(cè)面展開圖扇形的弧長，即

2b=寢，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開圖扇形圓心角n。之間的關(guān)系，有時也根據(jù)圓

錐的側(cè)面積計算公式來解決問題.

6）求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個扇形的

弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開

后的扇形半徑兩個概念.

【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖

形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構(gòu)造和差法

法全等法

等面枳法

和差法割補法平移法

旋轉(zhuǎn)法

對稱法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個規(guī)則圖形面積的和或差，進行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形土S常見圖形）

圖形面積計算方法圖形面積計算方法

AS陰影二SaACB—S扇形ABD0S陰影一S扇形AOB一

SAAOB

BXC

S陰影=S^AOB—S扇形COD,1）S陰影一S扇形BAD一S

力半圓AB

4b------'（：＜

S陰影二S半圓AB-SAAOBs陰影二s扇形之和

C_nnR2_nR2

3602

ABGJ<9

S陰影二S扇形EAF-SAADE

巨,4^-----------l

R

②構(gòu)造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構(gòu)造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進行相加減。）

圖形公式

S陰影二S扇形AOc+S^BOC

S陰影=SAODLS扇形DOE

S陰影二S扇形AOB-Sz\AOB

第4+

F_Br,_B+

出S陰景鄉(xiāng)二S扇形BOESAOCE-S扇形COD

A（：0A（：0.

3）割補法：直接求面積較復(fù)雜或無法計算時，可通過旋轉(zhuǎn)、平移、割補等方法，對圖形進行轉(zhuǎn)化，為利用

公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解.

①全等法

圖形公式

運歹S陰影"SAAOB

r?

_(S陰影二S扇形BOC

aVLrk

D.

S陰影二S矩形ACDF

^DF1A）F

I

0LA□A

C（）c

L__S陰影二S正方形PCQE

%H7

M\/C

②等面積法

圖形公式

陰影二扇形

1入團SSCOD

p0P0

圖形公式

4EAES陰影二S扇形AOE

@B3

*S陰影二S扇形BOD

心)

AOEA0E

E怎盧S陰影二S扇形ABE—S扇形MBN

4后-D

AMBDMB

⑤對稱法

當(dāng)陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,

1）需先找出疊加前的幾個圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關(guān)系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB，+S半圓AB，-S半圓AB

€AsB

B

S陰景〃二S半圓AC+S半圓BC—S^ACB

cA

CS陰影二S扇形AEC+S扇形BCD—S/^ACB

4工

ANDEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢??？既＃┤鐖D，4B是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、C4為半徑向內(nèi)作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內(nèi)作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若48=10,則陰影部分的面積

為（）

ACB

A.167rB.127rC.87TD.47r

【答案】C

【分析】過點E作EFJ.48于點八連接4E,BE,首先證明△AEF?△設(shè)/C=%,貝!MF=2%,BF

10-2%,EF=x,利用相似三角形的性質(zhì)列方程即可求出工的值，再利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：如圖，過點E作EF14B于點F,連接ZE,BE,

是半圓的直徑,

???乙4EB=90°,即SW+Z.EBA=90°,

,-'EF1AB,

：.^AFE=乙EFB=90°,

-.^EAB+Z.AEF=90°,

'-Z-EBA=Z.AEF,

AEF—△EBF,

?嗡喑即獷=WBF,

設(shè)ZC=x,

■.-EF1AB,且由作圖可知陰影部分是兩個半徑相等的半圓,

.??四邊形DCFE是正方形,

.?,CD=DE=EF=CF=AC=%,

'-AF=2x,

??BF=10—2%,

?,.%2=2x(10—2x),

?,?%1=0(舍去)，x2=4,

.C-7y90X7TX42

?4陰影一NX3608TT,

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形和扇形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及扇形的面積公式是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川成都??？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,以B為圓心，BC的長為半徑畫弧,

交2。于點E.若將一骰子（看成一個點）投到矩形A8CD中，則骰子落在陰影部分的概率為

【分析】本題考查了幾何概率，先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出NAEB=30。，再根據(jù)扇形面積公式求出陰影部分

的面積，最后根據(jù)幾何概率的求法解答即可.

【詳解】解：：以8為圓心，BC的長為半徑畫弧，交4D于點E,

：.BE=BC=2,

在矩形2BCD中，/.A=/.ABC=90°,AB=1,BC=2,

.".sin^AEB=-=

BE2

：.AAEB=30°,

：.Z.EBA=60°,

:.乙EBC=30°,

...陰影部分的面積：5=堂爭=：加

???矩形的面積為2,

.??將一骰子（看成一個點）投到矩形ABC。中，則骰子落在陰影部分的概率為g

26

故答案為：:71.

6

3.（2023?吉林長春?吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在中，/.BAC=90°,BC=6,點。是

BC的中點，將4。繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得4。.那么圖中陰影部分的面積為.

BDC

【答案】V

4

【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出2。的長，再由扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：*.?在RtZkABC中，ABAC=90°,BC=6,點。是BC的中點，

：.AD=-BC=3,

2

2

.C_90°TTX3_97r

??3扇形400,=360。=7，

故答案為：

4

【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

方法二和差法

題型01直接和差法

4.(2019上?河北石家莊?九年級統(tǒng)考期中)已知點C在以為直徑的半圓上，連接ZC、BC,AB=10,

BC'.AC=3:4,陰影部分的面積為.

【答案】yTt-24

【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)48=10,BC-.AC=3:4,可以

求得力C,BC的長，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進行計算.

【詳解】解：???AB為直徑，

???Z4CB=90°,

BC\AC=3:4,

設(shè)BC=3a,AC=4a(a>0),

AC2+BC2=AB2,即(4a)2+(3a)2=102,

解得：a=2,

BC=6,AC=8,

S陰影=S半圓一S—BCU^XTTX5?—5X8x6=—it—24.

故答案為：yn-24.

【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長是4,分別以點A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留兀）.

【分析】分析出陰影面積=正方形面積-圓的面積，再利用相應(yīng)的面積公式計算即可.

【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積-4個扇形面積，

即陰影面積=正方形面積一圓的面積，

???S陰影=42—兀?2?=16—47r.

故答案為：16-471.

【點睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關(guān)鍵.

6.（2023?湖南婁底?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=五,以點C為圓心畫弧

與斜邊4B相切于點D,交4C于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積是.

【答案】1-3

4

【分析】連接CD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=S“BC-

S扇形CEF即可解答，

【詳解】解：連接CD,如圖,

???以點C為圓心畫弧與斜邊48相切于點D,

???CD1AB,

???△4CB為等腰直角三角形，

1

?-.CD=AD=BD=-AB.

2

???yljB=V2XC=V2-V2=2,

?-.CD=1,

???陰影部分的面積=S^ABC—

=涉"一號穿

=|xV2xV2-J

=1/

故答案為：1一%

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)定理、扇形、三角形的面積等知識點,

連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

7.（2023?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2,以力為圓心，以4B為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結(jié)果保留兀）.

B

【答案】Y

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出乙4的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=(5-2)x180°=540°,

???4/=*54_0°=108°,

.r_1087T22_67r

??扇形ABE-360-5'

故答案為：y.

【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內(nèi)角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內(nèi)角和公式是

解答本題的關(guān)鍵.

題型02構(gòu)造和差法

8.(2023?四川瀘州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留n)()

A.—B.6--C.5D.3+—

4444

【答案】c

【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)；勾股定理求得48=5,進而根據(jù)等面積法求得，三角形的內(nèi)切

半徑，根據(jù)S陰影=SAABC—圓一S正方形，即可求解?

【詳解】解：Rt△力BC中，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

S&ABC=54c,BC=6,C^ABC="C+BC+AB=12,

二內(nèi)切圓半徑r=蓑=1,

,,,S圓=nr2=n,

設(shè)O。與AC切于點D,與BC切于點E,連接OD、OE,

則四邊形ODCE為正方形,

33廣3

二S陰影=SAABC_]S圓一s正方形=6—1兀-1=5--7T-

故選：C.

9.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形A8CD中，AD=2,48=4,乙4=30。,以點人為

圓心，4D的長為半徑畫弧交2B于點E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

H

1111

A.3—KB.3IT—C.-ITD.-n—3

3333

【答案】A

【分析】利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解.

【詳解】解：過點。作于R

"：AD=2,乙4=30°,

：.DF=-AD=1.

2

???以點A為圓心，的長為半徑畫弧交于點E,

??AE=AD=2,

又???48=4,

C.BE=2,

??S陰影=S+1BC。-S扇形力OE-S.CE

30K-AD121

=AB-DF-——BE,DF

~360

307rx221

4x1---x2x1

3602

=3

3

故選A.

【點睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和三角形的面積公式，扇形的面積公式，不規(guī)

則圖形面積的求法，掌握相關(guān)面積公式和定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，。。的半徑為2,AB=2V3,則陰影部分的面積是.（結(jié)果保留兀）

【分析】過點。作OH于點"連接OB,求出。H的長和乙4。8的度數(shù)，根據(jù)S^AOB-S“OB即可求

出答案.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。H14B于點H,連接0B,

2

.?.sinNAOH=竺=四，^.AOH-Z.BOH^-^AOB,OH=7A0?一冊=22_^)=1,

AO22\v7

???乙AOH=60°,

：.Z-AOB=2/-AOH=120°,

...圖中陰影部分的面積為S扇形40B—S^AOB=12°^22-iX2V3X1=i7T-V3,

36UZ3

故答案為：^7T—V3.

【點睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，

求出。H的長和N40B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.（2023上?安徽六安?九年級校考期末）如圖，在RtAABC中，乙C=90°,乙4=60°,AC=2.點。為BC邊

的中點，以點。為圓心，CB長為直徑畫半圓，交4B于點E,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)

果保留兀）

【答案】兀一乎

4

【分析】本題考查了含30。角的直角三角形的特征、勾股定理、扇形的面積，根據(jù)含30。角的直角三角形的

特征得2B=2AC=4,再利用勾股定理得BC=2?BD=CD=V3,進而可得CE=V3,BE=3,再利

用陰影部分的面積=S扇形-SABDE即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識，利用分割法解決問題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接CE、ED,如圖:

N4=60。，4C=2,點。為邊的中點,

.-./.ABC=30°,AB=2AC=4,

???4CDE=60°,乙BDE=180°-60°=120°,

BC=V42-22=2A/3,BD=CD=V3,

CE=|BC=技BE=<BC2-CE2=J（2網(wǎng)?_后=

???圖中陰影部分的面積=S扇形皿一S△皿=S扇形皿一3BCE=制件-1x|x3xV3=7T-^.

故答案為：7T—

4

12.（2022?廣東江門?鶴山市沙坪中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在半徑為遮，圓心角等于45。的扇形2。8內(nèi)部作

一個正方形CDEF,使點C在。力上，點D、E在。B上，點尸在池上，則陰影部分的面積為

A

【答案】》-|

【分析】連接。尸，由勾股定理可計算得正方形CDEF的邊長為1,則正方形CDEF的面積為1,等腰直角三角

形COD的面積為:，扇形4。8的面積為，?(遙『=濘，所以陰影部分的面積為J

【詳解】解：連接。F,貝1」09=遍，

VZ-AOB=45°,

:,(DCO=90°-(COD=45°.

J.Z-COD=乙DCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

Rt△OEF中，

OE2+EF2=OF2,

：.(2EF)2+EF2=(V5)2,解得EF=1

：.OD=CD=EF=1

???S陰影=S扇形408—S^ooc-SCOEF=孤兀x(V5)2-|X1X1-1X1=|TT-|.

故答案為：|TT—|

oz

【點睛】本題考查扇形面積的計算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構(gòu)造直角三角形運用勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

13.(2022?福建?一模)如圖，在平行四邊形紙板4BCD中，點E,F,。分別為4B,CD,BD的中點，連接

DE,OF,BF.將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為

【答案】|

【分析】根據(jù)點。分別為的中點，得到，從

E,F,4B,CD,BDS.OD=[SABEDSABEF=ShBED=^SBABCD,

而得到SAEOD=：SM4BCD，進而得出S陰影=:S?4BCD，由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖，連接。E,

???四邊形4BCC為平行四邊形，點E,F,。分別為AB,CD,BD的中點,

.?.點E,F,。在同一直線上，

iiii

S^EOD=QS^BED'S^BEF=S^BED=2=2，2^^ABCD=^^BCD9

xi

???S〉EOD—2S〉BED—g^ABCD?

113

S陰影=S^BEF+S〉EOD=4^ABCD+g^ABCD=g^ABCD?

飛鏢落在陰影部分的概率為

o

故答案為：

【點睛】本題考查了幾何概率，平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比，根

據(jù)題意計算出S陰影=9s?4BCD是解此題的關(guān)鍵.

14.（2023?廣東梅州??？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OD經(jīng)過原點。，與x軸、y軸分別交于

48兩點，點B坐標(biāo)為（0,2次），。。與OD交于點C,Z0CX=30°,則圓中陰影部分的面積

為.

【分析】連接48,從圖中明確S陰影=S半圓-S-B。，然后根據(jù)公式計算即可.

'：LAOB=90°,

...AB是直徑,

根據(jù)同弧對的圓周角相等得：^OBA=/.OCA=30°,

:點8坐標(biāo)為（0,2百）,

OB=2V3,

.??=OB^ABO=°Btan30。=28x9=2,4B=肅=4,

即圓的半徑為2,

,陰影=S半圓一S^ABO=_3X2X2-\/3=2?r—2y/3.

故答案為：2兀一2g.

【點睛】本題考查了同弧對的圓周角相等；90。的圓周角對的弦是直徑；銳角三角函數(shù)的概念；圓、直角三

角形的面積分式，解題的關(guān)鍵是熟練運用所學(xué)的知識進行解題.

15.（2023?河南周口?淮陽第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，扇形力MB的圓心角=60。，將扇形

沿射線M8平移得到扇形CMD,已知線段CN經(jīng)過初的中點E,若4M=2有，則陰影部分的周長為

【答案】28+亨

【分析】連接ME,根據(jù)E為AB的中點，扇形4MB的圓心角N4MB=60。，得出=NAME=（乙4MB

-兀

30°,求出1gg=30X2=國,證明EN=MN,根據(jù)NE+NB+1/="可+可8+（糜求出結(jié)果即可.

1803

【詳解】解：連接ME,如圖所示：

：E為4B的中點，扇形4MB的圓心角=60°,

1

=Z,AME=-Z-AMB=30°,

2

*：AM=2V3,

：.EM=BM=2V3,

.,_30x2V37r_V3TT

一180一3，

根據(jù)平移可知，AM||CN,

：.^AME=乙MEN,

???乙BME=乙MEN,

：.EN=MN,

???陰影部分的周長為：

NE+NB+L=MN+NB+降

=MB+院

=2舊+等.

故答案為：2舊+苧.

【點睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握平移的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2024?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）如圖，等腰△ABC的頂點A,C在。。上，BC邊經(jīng)過圓心0且與0。交

于。點，乙B=30°.

（1）求證：力B是O。的切線；

（2）若4B=6,求陰影部分的面積

【答案】（1）見解析；

（2）673-2兀

【分析】（1）連接。4,由AB=4C,ZB=30°,可得NC4B=120。，由。C=。4可得/。48=90。，即可

求證;

（2）在中，利用勾股定理可求得=2百，再根據(jù)5陰=SRM°4B扇形MD，即可求解.

【詳解】（1）證明：連接。4

"：AB=ac,

.,.ZC=NB=30°,ACAB=120°,

VOC=OA,

：.^OAC="=30°,

：.^LOAB=90°,

?..。4是0。的半徑，

.?.AB是圓。的切線.

(2)解：：NB=30°,ZOXF=90°,

：.OB=2。4

"：AB=6,

?.OA2+62=（204）2

OA=2V3

2

?ccc1cdAC607r'OA1c/7Tr607rxi2r/7To

..5陰=SRtA0AB-s扇形04P=-0A-AB=-X2^3X6=6V3-27T.

【點睛】此題主要考查切線的判定定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式，熟練掌握切線

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?山西長治?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在A/IBC中，CA=CB,4B=4,點。是4B的中點，分別以點力、

B、。為圓心，4。的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H,若點E、F是線段2C的三等分點時,

圖中陰影部分的面積為（）

C

A.8V2-2TTB.16V2-4nC.8a一4TTD.16V2-2TT

【答案】A

【分析】連接CD,由等腰三角形的性質(zhì)可得CD14B,4。=BD=2,由題意可得4c=8C=34。=6,

由勾股定理可得CD-4V2,再由S陰影=SAABC-S扇形4DF一S扇形CEG-S扇形BDH代入進行計算即可?

【詳解】解：如圖，連接CD,

CA=CB,AB=4,點。是28的中點,

???CD1AB,AD=BD=2,

???分別以點4、B、C為圓心，4。的長為半徑畫弧，交線段AC、BC于點E、F、G、H,點、E、F是線段AC的三

等分點,

AC=BC=3AD=6,

???CD=y/AC2-AD2=V62-22=4VL

S陰影=SA4BC—S扇形ADF-S扇形CEG-S扇形BDH

Z.FADX22XTIZECGX22XTIZ.DBHX22XH

360°360°360°

122XIT、

=—,x4x4V2—Oue。(z^Z-FAD+Z-ECG+乙DBH)

2360

4xTtx180°

8V2-

360°

=8>/2—2it,

故選：A.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積的計算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、

勾股定理、扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

18.(2022?湖北武漢??？寄M預(yù)測)已知是。。的直徑,D4DE、BC是。。的三條切線，切點分別為4E、

B,連接OE.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：OE2=DE-CE；

(2)如圖2,AD=1,BC=3,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)3百-it

【分析】(1)連接OD,OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得2B1BC,AB1AD,OE1CD,由。4=OE可得D。垂直

平分N40E,貝同理可得N8C。=NEC。，可得出4ODE+4OCE=90。，根據(jù)同角的余角

相等可得NE。。=乙ECO,證明△ODE八COE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)連接0C,過點。作DF,8c于點F,則四邊形是矩形，可得CF=2,利用勾股定理求出DF,可

得半徑是OC=2V3,可求出ZBOE=120。，根據(jù)S陰影部分=5四邊形BCEO—S扇形OBE即可求出答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，OC,

???DA.DE、是。。的三條切線，切點分別為2、E、B,

ABIBC,ABLAD,0E1CD,

???AD||BC,AOED=乙CEO=90°,

OA—OE,

???0。平分4ZDE,

i

???/-ADO=(CDO=-/.ADE,

2

同理可得：乙BCO=乙ECO=QCE,

???AD||BC,

???/.ADE+乙BCE=180°,

???(ODE+Z.OCE=90°,

???Z.ODE+Z.EOD=90°,

???Z-EOD=Z-ECO,

ODECOE,

OE_DE

''CE~OE9

OE2=DE-CE；

(2)解：如圖，連接。C,過點。作DFLBC于點F,

則四邊形是矩形,

???AD=BF,DF=AB,

■.DA,DE、8C是O。的三條切線，切點分別為人E、B,AD=1,BC=3,

???DE=AD=BF=1,CE=BC=3,

???CF=BC-BF=2,CD=CE+DE=4,

DF=yJCD2-CF2=2^/3,

???AB=DF=2V3,

.??。。的半徑是舊，

OC=VOB2+BC2=2V3,

OC=208,

??.Z,0CB=30°,

???乙BCE=2乙OCB=60°,

???乙BOE=360°-乙OBC-乙OEC-乙BCE=120°,

2

r_rc_n1120XTTXOF_。石

3陰影部分=、四邊形BCE0一、扇形。BE=N*36c-Ub——=5Vs-TT.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型03割補法

類型一全等法

19.（2022上?安徽阜陽?九年級?？计谀?B是。。的直徑，弦CDLAB,a=30°,CD=473,則S陰影=

A.7iB.2KC.-7iD.4兀

3

【答案】c

【分析】先求出NE。。，再根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)得CE,及AC=24E,然后根據(jù)勾股定理求出4E,進

而得出4C,同理求出。E,OD,最后根據(jù)S陰影=S扇形a。。得出結(jié)論.

【詳解】解：VzC=30°,

."EOD=2NC=60。.

,：AB1CD,AB過圓心O,CD=4V3,

：./.AEC=^DEO=90°,CE=DE=2?

4EDO=30°.

在RtAACE中，ZC=3O°,

：.AC=2AE,

根據(jù)勾股定理，得（24E）2=（2/）2+452,

解得力E=2（負數(shù)舍去），

.,.AC-2AE=4,

同理。E=2,OD=4,

，SA4EC=SA0ED=5X2V3X2=2V3,

.?___607rx42_8

陰影=、扇形4。。=360=17r

故選：c.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面

積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

20.（2023?山西晉城?模擬預(yù)測）如圖，在矩形4BCD中，AB=1,以點4為圓心，矩形的長4。為半徑畫弧,

交BC于點E,交AB的延長線于點F,若力E恰好平分NB2D,則陰影部分的面積為（）

?7T-V2-1C2近+71

A.1D.------------------D.V2-1

2.4

【答案】D

【分析】由矩形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求出NB4E=/.EAD=^BAD=45°,AB=BE=1,AE=五,

再根據(jù)扇形的面積公式，矩形的面積公式和三角形面積公式計算出S陰影REF=S扇形4EF-和S陰影DCE=

S矩形4BCD一S扇形力DE—取后相加即可.

【詳解】解：???四邊形為矩形,

AZ.BAD=Z.ABC=90°.

?.IE恰好平分NB4D,

——m=45。,

*.AB=BE=1,

：.AE=y/AB2+BE2=V2,

W_4SnAE2_457rx（迎）2_1111

扇形/EF-360—36014兀S,ABE=-AB-BE=-XIXI=-,

??S陰影BEF=S扇形4EF一$A4BE-4n~2'

由題意可知a。=AE=五,

，S矩形ABCD=4B?4"=1x&=V2,S扇形ADE=360=酒

，S陰影DCE=S矩形4BCD-S扇形4DE-SLABE=V2--7T--

?,陰影部分的面積為S陰影BEF+S陰影DCE=奩-L

故選D.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積

計算等知識.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

21.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為2,對角線2C,B。相交于點0,以點8為圓心,

對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】n

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形BED的面積，然后由勾股定理得出BD=2企，再由

扇形的面積公式求解即可.

【詳解】解：正方形力BCD,

：.A0=CO,BO=DO,AD=CD,4DBE=45°,

A△AOD^ACOB（SSS）,

,/正方形48CD的邊長為2,

：.BD=V22+22=2A/2

陰影部分的面積為扇形BE。的面積，即45x：（f⑵2=兀，

360

故答案為：TT.

【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

22.（2022.青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形48CD的對角線相交于點O,過點。的直線交4。，BC于點、E,F,

若2B=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】6

【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)證明A40E三ACOF,可得A40E與AC0F的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)

化為△BDC的面積進行求解即可.

【詳解】解：：四邊形4BCD是矩形，AB=3,

：.0A=0C,AB=CD=3,AD\\BC,

：.Z.AEO=乙CFO,

又'ZOE=乙COF,

在AAOE和Aw中，

Z-AEO=乙CFO

OA-OC,

./.AOE=Z.COF

：.△AOESACOF(ASA),

,?S—OE=SHOF'

?陰影=SAAOE+S^BOF+SACOD=S4COF+^ABOF+^ACOD=1^ABCD)

11

,,S^BCD~3BCCD=-x4x3=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三家形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明三角形全等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化

為矩形面積的一半是解題的關(guān)鍵.

23.（2022上.江西南昌.九年級統(tǒng)考期末）如圖，半徑為10的扇形。48中，乙4OB=90。，C為弧48上一點，

CD1OA,CE1OB,垂足分別為D,E.若NCDE=40。，則圖中陰影部分的面積為（）

.40_110?100n.

A.—ITB.—7TC.—TCD.10TT

399

【答案】c

【分析】連接OC,易證得四邊形CDOE是矩形，則aDOE四△CEO,得到NC03=NOEO=40。，圖中陰

影部分的面積=扇形03。的面積，利用扇形的面積公式即可求得.

【詳解】解：如圖，連接OC,

VZAOB=90°,CDLOA,CELOB,

???四邊形CQOE是矩形，

；.OD=CE,DE=OC,CD//OE,

???NCDE=40。,

???ZDEO=NCZ)E=40。,

OD=EC

在△OOE和△CEO中,DE=CO,

OE=EO

???△DOE/ACEO(SSS),

：.ZCOB=ZDEO=40°,

，圖中陰影部分的面積=扇形08C的面積，

S魏0.C=4°GI°2=3兀,

3609

.?.圖中陰影部分的面積為等兀，

故選：C.

【點睛】本題考查了扇形面積的計算，矩形的判定與性質(zhì)，利用扇形OBC的面積等于陰影的面積是解題的

關(guān)鍵.

類型二等面積法

24.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考二模）如圖，在AaBC中，4B=4C,以"為直徑的。。與力B,BC分別交于點D

E,連接AE,DE,若NBED=45。，AB=2,則陰影部分的面積為（）

A.-B.-C.—D.it

433

【答案】A

【分析】連接OE,OD,證明SAAOD=SA4ED，可得S陰影=S扇形。的，求解乙4。。=90°,再利用扇形的面積

公式計算即可.

【詳解】解：連接。E,OD,

為。。的直徑,

J./.AEC=90°,

"：AB=4C,

：.BE=CE,

即點E是BC的中點，

???點。是的中點，

???0E是的中位線，

：.OE\\ABf

,?S^AOD=S—EO，

'S陰影=S扇形。4。'

??ZEC=90°,

AZ-AEB=90°,

?:（BED=45°,

C.2LAED=45°,

???乙4。。=90°,

.q_9071X12_TT

??3扇形0/0=360=4f

??D陰影?4’

故選：A.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計算，熟練的證明S陰影=S扇形

是解本題的關(guān)鍵.

25.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀與思考

下面是小明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：

通過構(gòu)造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中常常會遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構(gòu)造全等三角形才能得到解決，

比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構(gòu)造全等三

角形，再運用全等三角形的性質(zhì)解決此問題.

例：如圖1,。是AABC內(nèi)的點，且4。平分ABAC,CD1AD,連接BD.若AdBC的面積是10,求圖中陰影

部分的面積.

A

圖1

該問題的解答過程如下：

解：如圖2,延長CD交2