2024年江蘇省揚州市廣陵區(qū)九年級中考一模數(shù)學模擬試題

學校:姓名：班級:____________考號：____________

一、單選題

1.16的平方根是（）

A.8B.4C.±4D.±8

x-1

2.要使分式有意義，則X應(yīng)滿足（)

x-2

A.x<2B.%C.%w2D.xwl且xw2

3.下列整式計算正確的是（）

A./+=2a4B.(-=一6/C.a3-a2,6D./.(-Q)2=々5

4.“等閑識得東風面，萬紫千紅總是春.”下列與花元素有關(guān)的圖案中,不是軸對稱圖

形的是（）

A.揚州市近三天會下雨

B.任意畫一個五邊形，其外角和為540。

C.打開電視體育頻道，正在播放乒乓球比賽

D.從一個班級中任選13人，至少有兩人的出生月份相同

6.中國古代人民很早就在生產(chǎn)生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學問題，其中《孫子算經(jīng)》

中有個問題：今有四人共車，一車空；二人共車，八人步，問人與車各幾何？這道題的

意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，最終剩余1輛車，若每2人共乘一車，最終

剩余8個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果我們設(shè)有x輛車，則可列方程（）

A.4(x-l)=2x+8B.4(x+l)=2x-8

-xrx+8-x,%—8

C.—+1=------D.—+1=------

4242

7.象棋是中國的傳統(tǒng)棋種.如圖所示的象棋盤中，各個小正方形的邊長均為1.“馬

從圖中的位置出發(fā)，按照“馬走日”的規(guī)則，走一步之后的落點與“帥”的最大距離是（）

C.V13D.V17

8.如圖，拋物線與＞=-;（％T）（xT+6）直線y=x-l有兩個交點，這兩個交點的縱坐

標分別為，"、n.雙曲線y=?的兩個分支分別位于第二、四象限，貝卜的取值范圍是

X

二、填空題

9.2024年3月31日“揚馬”鳴槍開賽，“唐宋元明清，從古跑到今.”本屆“揚馬”對賽事

線路進行了全新優(yōu)化，全程約21100米.數(shù)據(jù)21100用科學記數(shù)法表示為.

10.分解因式：2%2-18=.

JQ3%+y

11.己知二=彳，則一的值為_____.

y2x-y

12.已知機是一元二次方程/+%-1012=0的一個根，則2濟+2m的值是.

13.若點（一1,%）、（3,%）都在一次函數(shù)＞=（左+2卜+1的圖象上，且%＞為，則實數(shù)左

的取值范圍是.

14.如圖，48是1O的直徑，是今O的弦，若NADC=32。，則N54C=

15.給樹木涂白可以起到滅菌殺蟲、防曬防凍的作用.現(xiàn)給一棵古樹涂白，涂白部位是

距地面1.5米以下的樹干（近似圓柱體）表面，已知樹干的半徑為Q4米，如果每平方米樹

干表面需用涂白齊IJ0.5升，則共需要涂白劑升（結(jié)果保留兀）.

試卷第2頁，共6頁

16.用方差公式計算一組數(shù)據(jù)的方差:

S2=|[(4-6)2+(7-6)2+(9-6)2+(〃?-6)2+(w-6)2],貝!]m+n=.

3

17.如圖，。「的半徑是1,圓心P在函數(shù)y=--(x>-2)的圖像上運動，當。P與

x+2

坐標軸相切時，圓心P的坐標為.

18.如圖，在中，/B4c=90。，AB=AC=10,。為AC上一點，以BD為邊,

在如圖所示位置作正方形BDEF,點。為正方形BDEF的對稱中心，且OA=2垃,則DE

的長為.

三、解答題

19.計算或化簡：

(1)2一+2cos45。-曲;

l-x<2(2x+3)

20.解不等式組5+尤1,并寫出滿足條件的正整數(shù)解.

-------2尤+一

133

21.為迎接第29個世界讀書日，營造愛讀書、讀好書、善讀書的濃厚學習氛圍，某校

組織開展“書香校園閱讀周”系列活動，擬舉辦5類主題活動.A：閱讀分享會；B：征

文比賽；C：名家進校園；D：知識競賽；E：經(jīng)典誦讀表演.為了解同學們參與這5類

活動的意向，現(xiàn)采用簡單隨機抽樣的方法抽取部分學生進行調(diào)查(每名學生僅選一項)，

并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅統(tǒng)計圖：

學生參加主題活動意向人數(shù)頻數(shù)學生參加主題活動意向人數(shù)

扇形統(tǒng)計圖

請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題:

(1)這次抽樣共調(diào)查了名學生:

(2)請把這幅頻數(shù)分布直方圖補充完整：(畫圖后請標注相應(yīng)數(shù)據(jù))

(3)扇形統(tǒng)計圖中“C”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)等于。；

(4)該校共有2400名學生，請你估計該校想?yún)⒓印癊：經(jīng)典誦讀表演”活動的學生人數(shù).

22.“雙減”政策下，為了切實提高課后服務(wù)質(zhì)量，某中學開展了豐富多彩的社團活動,

設(shè)置了生物社、合唱社、創(chuàng)客社三大板塊課程(依次記為A、3、C).若該校小紅和小

星兩名同學隨機選擇一個板塊課程.

(1)小紅選擇“合唱社”板塊課程的概率是.

(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求小紅和小星同時選擇“創(chuàng)客社”板塊課程的概率.

23.2024年春節(jié)聯(lián)歡晚會的吉祥物“龍辰辰”具有龍年吉祥、幸福安康的寓意，深受大家

喜歡，為滿足市場需求，某超市打算購進大、小兩種型號的吉祥物.已知大號吉祥物比

小號吉祥物的進價每個貴50元，用3000元購進小號吉祥物的數(shù)量是用1500元購進大

號吉祥物數(shù)量的4倍.求每個大、小號吉祥物的進價各多少元？

24.如圖1,在.ABC中，。、￡分別為AB、AC的中點，延長至點F,使B=

連接和EF.

ffll圖2

⑴求證：四邊形DEFC是平行四邊形.

(2)如圖2,當二ABC是等邊三角形且邊長是12時，求四邊形的面積.

25.如圖，48為(O的直徑，點C在。上，/ACB的平分線交(O于點。，過點。

作DE〃AB,交CB的延長線于點E.

試卷第4頁，共6頁

c

ED

⑴求證：ED是，：。的切線；

(2)若AC=30，BC=C，求8。、C。的長.

26.閱讀感悟：

已知方程尤2+2尤-1=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為九貝口=2萬.所以》=不

把尤=與代入已知方程，得⑶,+22-1=0.

化簡，得丁+今-4=0,

故所求方程為/+4y-4=0.

這種利用方程的代換求新方程的方法，我們稱為“換元法”.

請用閱讀材料提供的“換元法”求新方程(要求：把所求方程化為一般形式.

解決問題：

⑴已知方程尤2_》-3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別比已知方程的根大L則

所求方程為：;

(2)方程0^+法+°=0(4*0，-0,尸-4"20)的兩個根與方程的兩個根互為

倒數(shù).

(3)已知關(guān)于x的一元二次方程依2+6x+c=0(aw0)的兩個實數(shù)根分別為1和-；，求關(guān)

于'的一元二次方程c(y-2024)2+3(y-4)=2020Z2-a(cw0)的兩個實數(shù)根.

27.某數(shù)學小組在一次數(shù)學探究活動過程中，經(jīng)歷了如下過程：

如圖，正方形ABCD中，P在CO邊上任意一點(不與點C重合)，以尸為旋轉(zhuǎn)中心，將

逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到PM,連接A",AM,PM分別交BC于點E,F.

⑴當NZMP=25。時，㈤河的度數(shù)為°；

⑵連接當P為8中點時，求證：ZCBM=45°；

(3)若AB=6,"是否存在最小值?如果存在，求此最小值：如果不存在，說明理由.

28.直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C,拋物線y=a(x-l)2+左經(jīng)過點B、C,

并與x軸交于另一點A.

(1)求此拋物線及直線AC的函數(shù)表達式；

(2)垂直于y軸的直線I與拋物線交于點P(4，％),Q(N，為)，與直線BC交于

點，N(x3,%)，若與＜當＜巧，結(jié)合函數(shù)的圖象，求玉+%+三的取值范圍;

(3)經(jīng)過點D(0,1)的直線m與射線AC、射線OB分別交于點M、N.當直線m繞

點D旋轉(zhuǎn)時，巫+2是否為定值，若是，求出這個值，若不是，說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)平方根的定義進行計算.

【詳解】解：16的平方根是±4,

故答案選：C.

【點睛】本題主要考查的是平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是本題的解題關(guān)鍵.

2.C

【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件為分母不等于2得出*-2/0,

求解即可.

【詳解】解：分式上4有意義，

x-2

%—2w0，

解得：x手2,

故選：C.

3.D

【分析】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.計算出各個選項

中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個選項符合題意.

【詳解】解：/+/=2/,故選項A錯誤，不符合題意；

(-3a)3=-27a3,故選項B錯誤，不符合題意；

故選項C錯誤，不符合題意；

4/3-(-a)2=a3-a2=a5,故選項D正確，符合題意.

故選：D.

4.A

【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.據(jù)

軸對稱圖形的定義逐項分析即可.

【詳解】解：選項A不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能

夠完全重合，所以不是軸對稱圖形，

選項B、C、D能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重

合，所以是軸對稱圖形.

故選A.

答案第1頁，共18頁

5.D

【分析】本題考查了隨機事件、必然事件、不可能事件，根據(jù)隨機事件、必然事件、不可能

事件的特點逐項判斷即可，熟練掌握隨機事件、必然事件、不可能事件的特點是解此題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A、揚州市近三天會下雨，是隨機事件，故A不符合題意；

B、任意畫一個五邊形，其外角和為540。，是不可能事件，故B不符合題意；

C、打開電視體育頻道，正在播放乒乓球比賽，是隨機事件，故C不符合題意；

D、從一個班級中任選13人，至少有兩人的出生月份相同，是必然事件，故D符合題意；

故選：D.

6.A

【分析】設(shè)有X輛車，根據(jù)四人共車，一車空，則一共有4（彳-1）人，再根據(jù)每2人共乘一

車，最終剩余8個人列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)有x輛車，則一共有4（x-l）人，

由題意得4（x-l）=2x+8,

故選A.

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】本題借助象棋中的“馬走日”的規(guī)則考察了兩點之間的距離公式，解題的關(guān)鍵是讀懂

題意.先按照“馬走日”的規(guī)則，找出馬走一步之后的落點，然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，

由圖可知，當馬落在店B處與“帥”的距離最大,

最大距離是J32+42=5

故選A.

答案第2頁，共18頁

8.C

【分析】先根據(jù)題意得加“<0,然后讓拋物線y=(xT)(x-r+6)與直線y=x-i相等化

簡得到無1+%=2r-9,xtx2=r-6t-3,再將相,〃代入y=x-l,從而得到機，〃關(guān)于毛，巧

的關(guān)系式，再進行計算即可.

【詳解】解：：雙曲線丫=型的兩個分支分別位于第二、四象限，

X

mn<0,

設(shè)拋物線y=+6)與直線y=x-l的兩個交點坐標為((外,m),(x2,ri),

貝!]一](兀--，+6)—x-1

化簡得d+(9-2。x+/-6，-3=0,

2

工玉+/=21—9,再入2=t-6t-3,

*.*m=Xj-1,n=x2-1,

=(玉-l)(x2-1)

=^x2—(西+x2)+l

=t2-St+7

=("7)(1)

mn<0,

/.(二-7)(f-1)<0

解得l<f<7,

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，雙曲線的性質(zhì)，一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系，求不等式組的解集，解題關(guān)鍵是得到網(wǎng)+%和網(wǎng)％的值.

9.2.11X104

【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.，運用科學計數(shù)法進行解答，科學記數(shù)法的表

示形式為。xlO"的形式，其中"為整數(shù).確定"的值時，要看把原數(shù)變成。時,

小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，〃是正

答案第3頁，共18頁

整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，”是負整數(shù).

【詳解】解：數(shù)據(jù)21100用科學記數(shù)法表示2.11x104

故答案為：2.11X104

10.2(m+3)(7n-3)/2(m-3)(m+3)

【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

【詳解】解：2m2-18

=2(m2-9)

=2(m+3)(m-3).

故答案為：20+3)(m-3).

【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的

關(guān)鍵.

11.5

33

【分析】本題主要考查了分式的求值，根據(jù)題意得到x=再把x=代入所求式子中

進行求解即可.

V3

【詳解】解：???一=5,

y2

.3

??，

3

.—y+y

.x+y2」-：5

??一Q-，

x—y3

故答案為：5.

12.2024

【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.利用一元二次方程的解的定義得到蘇+機-1012=0即可求解.

【詳解】解：：機為一元二次方程1012=0的一個根.

***m2+m—1012=0,

?**m2+m=1012,

BP2m2+2m=2(^m2+=2x1012=2024,

故答案為：2024.

答案第4頁，共18頁

13.k<-2

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，由題意得出一次函數(shù)的y隨尤的增大而減小，從而得

到左+2<0,求解即可，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：點（-1，%）、（3,%）都在一次函數(shù)〉=（左+2卜+1的圖象上，且%>%，

,一次函數(shù)的y隨尤的增大而減小，

.-.k+2<0,

k<—2,

故答案為：k<-2.

14.58

【分析】本題考查了圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，由圓周角定理得出/ACB=90。,

ZABC=ZADC=32°,再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得解.

【詳解】解：如圖，連接BC,

42是《。的直徑,

AC=AC，

ZABC=ZADC=32°,

ABAC=180°-ZABC-ZACB=58°,

故答案為：58.

15.0.6萬

【分析】本題考查了圓柱體的側(cè)面積，根據(jù)地面的圓周長乘上高即為圓柱體的側(cè)面積，即可

作答.

【詳解】解：???涂白部位是距地面1.5米以下的樹干（近似圓柱體）表面，已知樹干的半徑

為0.4米，

/.2x0.4^-xl.5x0.5=0.6^（升）

.?.則共需要涂白劑0.6萬升

故答案為：0.6萬

答案第5頁，共18頁

16.10

【分析】本題考查了方差公式，方差是各數(shù)據(jù)值離差的平方和的平均數(shù)，熟練掌握計算公式

是解答本題的關(guān)鍵.對于w個數(shù)石，%，-%，方差的計算公式為:

52+(9—J+伍一葉根據(jù)方差計算公式列式求解即可.

【詳解】解：V52=1[(4-6)2+(7-6)2+(9-6)2+(m-6)2+(?-6)2],

?*.4+7+9+〃?+〃=6x5,

?*.〃7+〃=10.

故答案為：10.

17.(1,1)或(-1,3).

【詳解】試題分析：0P與坐標軸相切時，有*=±1或y=l,當x=l時，y=1,當*=

—1時，y=3,所以圓心P的坐標為(1,1)或(-1,3).

考點：1.圓與函數(shù)綜合題；2.分類思想.

18.25/34

【分析】本題考查了中心對稱、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三

角形的判定與性質(zhì)，連接。8、OD,由題意得出.38、ABC是等腰直角三角形，得出

OB:DB=1：6,，AB:BC=l:>j2,證明△欣力/4比心，求出8、長，最后由勾股定

理計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。3、OD,

點0為正方形BDEF的對稱中心,

300是等腰直角三角形，

OBDB=1:y/2,

ZBAC=90°,AB=AC=10,

：.ABC是等腰直角三角形，

答案第6頁，共18頁

/.AB:BC=\:也,

ZOBA+ZABD=ZCBD+ZABD=45°,

:.NOBA=NCBD,

：.BOA^4BDC,

OA:DC=AB:BC,

QOA=2④,AB:BC=1：A/2,

..CD=4,

:.AD=AC-CD=6,

BD=^AB'+AD1=2734,

ED=BD=2A/34,

故答案為：2后.

19.(1)1-V2

⑵x+2

【分析】本題考查了負整數(shù)指數(shù)塞、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、分式的混合運

算，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)負整數(shù)指數(shù)嘉、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)進行化簡，再計算乘法，

最后計算加減即可；

(2)括號內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可.

【詳解】(1)解：2-+2cos45。一曲

=-+2x—-2y/2

22

=-+72-272

2

=g-6；

(2)解：

xvxJ

_%2-4x-2

xx

_(x+2)(x-2)x

xx—2

答案第7頁，共18頁

=x+2.

20.不等式組的解集為_i＜xV2,正整數(shù)解為1,2

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小無解了確定不等式組的解集.

1-》＜2(2尤+3)①

解不等式①，得：尤＞-1,

解不等式②，得：%＜2,

.??不等式組的解集為-1＜尤42,

則不等式組的正整數(shù)解為1,2.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同

大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

21.(1)200

(2)見解析

(3)126

(4)552人

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、條形統(tǒng)計圖、求扇形統(tǒng)計圖中圓

心角度數(shù)、由樣本估計總體，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用B：征文比賽的人數(shù)和所占的比例計算即可得出答案；

(2)先求出D：知識競賽的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；

(3)用C：名家進校園所占的比例乘以360。即可得出答案；

(4)用2400乘以參加“E：經(jīng)典誦讀表演”活動的學生人數(shù)所占的比例即可.

【詳解】(1)解：這次抽樣共調(diào)查了20-10%=200名學生，

故答案為：200；

(2)解：D：知識競賽的人數(shù)為：200—24—20—70—46=40(人)，

補全統(tǒng)計圖如圖所示：

答案第8頁，共18頁

（3）解：扇形統(tǒng)計圖中“C”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)等于**360。=126。，

200

故答案為：126；

46

（4）解:一x2400=552（人），

200

估計該校想?yún)⒓印癊：經(jīng)典誦讀表演”活動的學生人數(shù)為552人.

22.⑴；

⑵」

9

【分析】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率：

（1）根據(jù)概率公式直接求解；

（2）畫樹狀圖或列表得出所有等可能的情況，從中找出符合條件的情況數(shù)，再利用概率公

式求解.

【詳解】（1）解：小紅從3個課程中選擇“合唱社”板塊課程的概率是g,

故答案為：—;

（2）解：畫樹狀圖如下，

開始

小紅

小星ABCABCABC

由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，小紅和小星同時選擇“創(chuàng)客社”板塊課程的結(jié)果有1種可

能，

...P（小紅和小星同時選擇“創(chuàng)客社”板塊課程）=g.

答案第9頁，共18頁

23.每個大號吉祥物的進價為100元，每個小號吉祥物的進價為50元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.設(shè)每個小號吉祥

物的進價為尤元，則每個大號吉祥物的進價為(x+50)元，根據(jù)用3000元購進小號吉祥物的

數(shù)量是用1500元購進大號吉祥物數(shù)量的4倍列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每個小號吉祥物的進價為了元，則每個大號吉祥物的進價為(x+50)元.

/日3000，1500

根據(jù)題意,得----=4x--------

xx+50

解這個方程，得x=50.

經(jīng)檢驗，x=50是所列方程的解.

X+50=100.

答：每個大號吉祥物的進價為100元，每個小號吉祥物的進價為50元.

24.⑴見解析

(2)18^

【分析】(1)由三角形中位線定理得=DEIBC,再由=得DE=CF,

即可得出結(jié)論；

(2)過點。作于由等邊三角形的性質(zhì)得/B=60。，5D=；AB=6,貝ij

Z.BDH=30。，再由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得BH=^DB=3,由勾股定理得DH=343,

然后由C尸=-CB=6,即可求解.

2

【詳解】(1)證明：Q、E分別為AB、AC的中點，

:.DE是ABC的中位線，

:.DE=-BC,DEBC,

2

CF=-BC,

2

.'.DE=CF,

四邊形￡>EFC是平行四邊形.

(2)解：過點。作3c于H,如圖2所示：

答案第10頁，共18頁

4

"C是等邊三角形，。為48的中點

圖2

.?.N6=60。，BD=-AB=6,

2

ZDHB=90°,

;.NBDH=3。。,

:.BH=-DB=3,

2

DH=y/BD^-BH2=V62-32=373，

CF=-CB=6,

2

S四邊形DEFC=CF-DH=6x3A/3=18+.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、含

30。角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形

DEFC為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

25.⑴見解析

⑵BD=回,CD=4

【分析】(1)連接O。，利用角平分線的定義，圓周角定理和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得到/ACB=90。，ZADB^90°,根據(jù)勾股定理得到

AB=y/AC2+BC2=7(3A/2))2+(V2)2=2后,根據(jù)角平分線的定義得到ZACD=/BCD,

求得AD=BD=與AB=M,過點B作四，CD于點H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到

BH=CH=&C=1,再根據(jù)勾股定理即可.

2

【詳解】(1)證明：連接OO,如圖，

答案第11頁，共18頁

c

/v\\|/]CD是ZACB的平分線,

ED

:.ZACD=ZBCD,

:.ZAOD=NBOD,

AB為：O的直徑，

ZAOD=ZBOD=1x180°-90°,

2

:.ODrAB,

DE//AB,

:.ODLDE,

OD為OO的半徑，

二直線是。的切線；

（2）解：筋為（。的直徑，

,-.ZACB=90°,ZADB=90°,

AC=3及，BC=五，,

22

AB=yjAC+BC=J（30）），+（揚2=25/5，

./ACS的平分線CD交C。于點。，

:.ZACD=ZBCD,

…AD=BD，

：.AD=BD=%AB=M,

過點8作3〃LCD于點”,

ZBCD=-ZACB=45°,

2

:.BH=CH=—BC=l,

2

答案第12頁，共18頁

DH=y/BD2-BH2=3>

:.CD=CH+DH=1+3=4.

【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，直角三角形的

性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線，也是解題的關(guān)鍵.

26.(l)y2-3y-l=0

(2)cy2+by+a=O

(3)2025和2022

【分析】本題考查了解一元二次方程，理解題意，熟練掌握換元法是解此題的關(guān)鍵.

(1)仿照例子，寫出已知方程和所求方程的根的關(guān)系，進行替換，化簡可得所求方程；

(2)仿照例子，寫出已知方程和所求方程的根的關(guān)系，進行替換，化簡可得所求方程；

(3)由(2)可得：關(guān)于x的一元二次方程的根與關(guān)于y-2024的一元二次方程的根互為倒

數(shù)，可求出關(guān)于V-2024的一元二次方程c(y_2024)2+》(y-2024)+a=。的兩個實數(shù)根，即

可得解.

【詳解】(1)解：設(shè)所求方程的根為九貝物=x+l,

.-.x=y-l,

把X=y_］代入已知方程得：(y-l)2-(y-l)-3=O,

化簡得：y2-3y-l=0,

故答案為：y2-3y-l=0；

(2)解:設(shè)所求方程的根為y,則y=L

X

1

:.x=—9

y

把x代入已知方程得：a］；］+?J+c=0,

化簡得：cy2+by+a=0,

故答案為：cy2+by+a=0；

(3)解：c(y-2024)2+b(y-4)=2.020b-a(c0),

答案第13頁，共18頁

c(y-2024)2+b(y-2024)+a=0,

由(2)可得：關(guān)于x的一元二次方程的根與關(guān)于y-2024的一元二次方程的根互為倒數(shù)，

y-2024=-,

X

關(guān)于X的一元二次方程辦2+施+°=0伍。0)的兩個實數(shù)根分別為1和

關(guān)于y-2024的一元二次方程0(y—2024)2+0(、-2024)+。=0的兩個實數(shù)根分別為1和

-2,

y—2024=1或y—2024=—2,

解得：y=2025或y=2022,

；?關(guān)于》的一元二次方程。(>-2024)2+6(丫-2024)+。=0的兩個實數(shù)根分別為2025或

2022.

27.(1)65

(2)見解析

(3)存在,—

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出上4=尸3,ZAPB=90°,求出/和/AEB的度數(shù)，則

可得出答案；

(2)過點M作“Q，DC交0c延長線于Q,MNLBC于N,貝。NQ=N%VC=NBVB=90。，

證明一ADPZPQW(AAS),得出。P=MQ,AD=PQ,證出.是等腰直角三角形，則

可得出答案；

(3)連接"，設(shè)。P=x,CF=y,則PC=6—x,由(2)可知，ZDAP=ZFPC,證明

ADr)p

AWP-APCF,得出片=天，可得出答案.

PCCF

【詳解】(1)解：四邊形ABCD是正方形，

:.ZBAD=ZB=90°,

,將PA逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PM，

,\PA=PM,ZAPM=90°,

:.ZPAM=ZM=45°,

ZDAP=25°,

答案第14頁，共18頁

:.ZBAE=ZBAD-ZPAM-ZDAP=20°,

ZAEB=ZFEM=90°-/BAE=70°,

:.ZEFM=1SO°-ZFEM-ZM=65°,

故答案為：65；

(2)過點”作。交QC延長線于。，MN，BC于N,連接則

ZQ=ZMNC=ZBNB=90°,

ND=NQ=ZBCQ=ZMNC=ZBNB=90°,ZDAP+ZAPD=90°,

二?四邊形MNCQ為矩形，

將PA逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PM,

:.PA=PM,ZAPM=90°,

ZAPD+ZMPQ=90°,

/DAP=/MPQ,

ADP"PQM(AAS),

:.DP=MQ,AD=PQ,

尸為CD的中點，

,PD=PC=^CD=^AD=^PQ,

/.MQ=PC=CQ,

二?四邊形MVCO為正方形

/.MN=CN=MQ=；AD=；BC,

:.BN=CN,

:.MN=BN,

5AW是等腰直角三角形,

答案第15頁，共18頁

;.NCBM=45°；

(3)存在.理由如下:

連接AF,

四邊形ABC。是正方形,

:.AB=BC=CD=AD=6,ZABC=ZBCD=ZD=90°,

由勾股定理可知AF=yjAB2+BF2，

當8尸取最小值時，AF有最小值，

^BF=BC-CF,

???當C/取最大值時，M有最小值時,

即：當CP取最大值時，■有最小值,

設(shè)。尸=x,CF=y,則PC=6—x,

由(2)可知，NDAP=NFPC,

ADPsPCF,

,ADDP

"~PC~~CF

6_x

6-xy

x(6-x)

y=^

3

.?.x=3時，y有最大值萬,

3Q

此時DP=3,CF=~,則5尸=一，

22

AF=>JAB2+BF2=J6?+(1)2=號，

即：當OP=3時，AF存在最小值，此時竊取得最小值為g.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌

握正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似和三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？?/p>

答案第16頁，共18頁

題型.

2

28.(1)=y=-x+2x+3；y=3x+3；(2)1<+x2+x3<2；(3)典+2為定值3.

AMAN

【詳解】分析：(1)先求得直線y=-x+3與x軸、y軸的交點B、C的坐標，代入入y=a(x-l)2+Z

求得a、k的值，即可得拋物線的函數(shù)表達式；令y=0,求得點A的坐標，再用待定系數(shù)法

求得直線AC的函數(shù)表達式即可；(2)根據(jù)題意可得y尸y2,即可得XI+X2=2；當直線h經(jīng)過

點C時，xi=X3=0,X2=2,此時XI+X3+X2=2,當直線b經(jīng)過頂點(1,4)時，直線BC的解

析式為丁=一％+3,y=4時，x=-1,此時，XI=X2=LX3=-l,止匕時XI+X3+X2=1;當直線1在直

線11與直線12之間時，X3<X1<X2,即可得1<再+%+不<2;(3)典+?_為定值3,設(shè)直

一AMAN

線MN的解析式為y=kx+l.把y=0代入y=kx+l得：kx+l=O,解得：x=-y,所以點N的

k

坐標為(-：，0).所以AN=-;+1二一，即可得言=3;將y=3x+3與y=kx+l聯(lián)立解得：

kkkANk-\

22